Theorem co02 5242

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
co02	|- ( A o. (/) ) = (/)

Proof of Theorem co02

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5227	. 2 |- Rel ( A o. (/) )
2		rel0 4844	. 2 |- Rel (/)
3		noel 3495	. . . . . . 7 |- -. <. x , z >. e. (/)
4		df-br 4084	. . . . . . 7 |- ( x (/) z <-> <. x , z >. e. (/) )
5	3, 4	mtbir 675	. . . . . 6 |- -. x (/) z
6	5	intnanr 935	. . . . 5 |- -. ( x (/) z /\ z A y )
7	6	nex 1546	. . . 4 |- -. E. z ( x (/) z /\ z A y )
8		vex 2802	. . . . 5 |- x e. _V
9		vex 2802	. . . . 5 |- y e. _V
10	8, 9	opelco 4894	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> E. z ( x (/) z /\ z A y ) )
11	7, 10	mtbir 675	. . 3 |- -. <. x , y >. e. ( A o. (/) )
12		noel 3495	. . 3 |- -. <. x , y >. e. (/)
13	11, 12	2false 706	. 2 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> <. x , y >. e. (/) )
14	1, 2, 13	eqrelriiv 4813	1 |- ( A o. (/) ) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   (/)c0 3491   <.cop 3669   class class class wbr 4083   o. ccom 4723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-rel 4726  df-co 4728

This theorem is referenced by:  co01  5243  gsumwmhm  13531