Theorem co02 5299

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
co02	|- ( A o. (/) ) = (/)

Proof of Theorem co02

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5284	. 2 |- Rel ( A o. (/) )
2		rel0 4900	. 2 |- Rel (/)
3		noel 3525	. . . . . . 7 |- -. <. x , z >. e. (/)
4		df-br 4129	. . . . . . 7 |- ( x (/) z <-> <. x , z >. e. (/) )
5	3, 4	mtbir 682	. . . . . 6 |- -. x (/) z
6	5	intnanr 942	. . . . 5 |- -. ( x (/) z /\ z A y )
7	6	nex 1553	. . . 4 |- -. E. z ( x (/) z /\ z A y )
8		vex 2824	. . . . 5 |- x e. _V
9		vex 2824	. . . . 5 |- y e. _V
10	8, 9	opelco 4950	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> E. z ( x (/) z /\ z A y ) )
11	7, 10	mtbir 682	. . 3 |- -. <. x , y >. e. ( A o. (/) )
12		noel 3525	. . 3 |- -. <. x , y >. e. (/)
13	11, 12	2false 713	. 2 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> <. x , y >. e. (/) )
14	1, 2, 13	eqrelriiv 4867	1 |- ( A o. (/) ) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   (/)c0 3520   <.cop 3711   class class class wbr 4128   o. ccom 4776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-br 4129  df-opab 4191  df-xp 4778  df-rel 4779  df-co 4781

This theorem is referenced by:  co01  5300  gzsumwmhm  13783  gsumvalfi  14132