Theorem co02 5179

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
co02	|- ( A o. (/) ) = (/)

Proof of Theorem co02

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5164	. 2 |- Rel ( A o. (/) )
2		rel0 4784	. 2 |- Rel (/)
3		noel 3450	. . . . . . 7 |- -. <. x , z >. e. (/)
4		df-br 4030	. . . . . . 7 |- ( x (/) z <-> <. x , z >. e. (/) )
5	3, 4	mtbir 672	. . . . . 6 |- -. x (/) z
6	5	intnanr 931	. . . . 5 |- -. ( x (/) z /\ z A y )
7	6	nex 1511	. . . 4 |- -. E. z ( x (/) z /\ z A y )
8		vex 2763	. . . . 5 |- x e. _V
9		vex 2763	. . . . 5 |- y e. _V
10	8, 9	opelco 4834	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> E. z ( x (/) z /\ z A y ) )
11	7, 10	mtbir 672	. . 3 |- -. <. x , y >. e. ( A o. (/) )
12		noel 3450	. . 3 |- -. <. x , y >. e. (/)
13	11, 12	2false 702	. 2 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> <. x , y >. e. (/) )
14	1, 2, 13	eqrelriiv 4753	1 |- ( A o. (/) ) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   (/)c0 3446   <.cop 3621   class class class wbr 4029   o. ccom 4663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-rel 4666  df-co 4668

This theorem is referenced by:  co01  5180  gsumwmhm  13070