ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  co02 Unicode version

Theorem co02 5022
Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
co02  |-  ( A  o.  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem co02
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 5007 . 2  |-  Rel  ( A  o.  (/) )
2 rel0 4634 . 2  |-  Rel  (/)
3 noel 3337 . . . . . . 7  |-  -.  <. x ,  z >.  e.  (/)
4 df-br 3900 . . . . . . 7  |-  ( x
(/) z  <->  <. x ,  z >.  e.  (/) )
53, 4mtbir 645 . . . . . 6  |-  -.  x (/) z
65intnanr 900 . . . . 5  |-  -.  (
x (/) z  /\  z A y )
76nex 1461 . . . 4  |-  -.  E. z ( x (/) z  /\  z A y )
8 vex 2663 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
9 vex 2663 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
108, 9opelco 4681 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )  <->  E. z
( x (/) z  /\  z A y ) )
117, 10mtbir 645 . . 3  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )
12 noel 3337 . . 3  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
1311, 122false 675 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) )
141, 2, 13eqrelriiv 4603 1  |-  ( A  o.  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   (/)c0 3333   <.cop 3500   class class class wbr 3899    o. ccom 4513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-rel 4516  df-co 4518
This theorem is referenced by:  co01  5023
  Copyright terms: Public domain W3C validator