Theorem co02 5184

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
co02	|- ( A o. (/) ) = (/)

Proof of Theorem co02

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5169	. 2 |- Rel ( A o. (/) )
2		rel0 4789	. 2 |- Rel (/)
3		noel 3455	. . . . . . 7 |- -. <. x , z >. e. (/)
4		df-br 4035	. . . . . . 7 |- ( x (/) z <-> <. x , z >. e. (/) )
5	3, 4	mtbir 672	. . . . . 6 |- -. x (/) z
6	5	intnanr 931	. . . . 5 |- -. ( x (/) z /\ z A y )
7	6	nex 1514	. . . 4 |- -. E. z ( x (/) z /\ z A y )
8		vex 2766	. . . . 5 |- x e. _V
9		vex 2766	. . . . 5 |- y e. _V
10	8, 9	opelco 4839	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> E. z ( x (/) z /\ z A y ) )
11	7, 10	mtbir 672	. . 3 |- -. <. x , y >. e. ( A o. (/) )
12		noel 3455	. . 3 |- -. <. x , y >. e. (/)
13	11, 12	2false 702	. 2 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> <. x , y >. e. (/) )
14	1, 2, 13	eqrelriiv 4758	1 |- ( A o. (/) ) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   (/)c0 3451   <.cop 3626   class class class wbr 4034   o. ccom 4668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-rel 4671  df-co 4673

This theorem is referenced by:  co01  5185  gsumwmhm  13200