Theorem co02 5196

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
co02	|- ( A o. (/) ) = (/)

Proof of Theorem co02

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5181	. 2 |- Rel ( A o. (/) )
2		rel0 4800	. 2 |- Rel (/)
3		noel 3464	. . . . . . 7 |- -. <. x , z >. e. (/)
4		df-br 4045	. . . . . . 7 |- ( x (/) z <-> <. x , z >. e. (/) )
5	3, 4	mtbir 673	. . . . . 6 |- -. x (/) z
6	5	intnanr 932	. . . . 5 |- -. ( x (/) z /\ z A y )
7	6	nex 1523	. . . 4 |- -. E. z ( x (/) z /\ z A y )
8		vex 2775	. . . . 5 |- x e. _V
9		vex 2775	. . . . 5 |- y e. _V
10	8, 9	opelco 4850	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> E. z ( x (/) z /\ z A y ) )
11	7, 10	mtbir 673	. . 3 |- -. <. x , y >. e. ( A o. (/) )
12		noel 3464	. . 3 |- -. <. x , y >. e. (/)
13	11, 12	2false 703	. 2 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> <. x , y >. e. (/) )
14	1, 2, 13	eqrelriiv 4769	1 |- ( A o. (/) ) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   (/)c0 3460   <.cop 3636   class class class wbr 4044   o. ccom 4679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-rel 4682  df-co 4684

This theorem is referenced by:  co01  5197  gsumwmhm  13330