Theorem co02 5117

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
co02	|- ( A o. (/) ) = (/)

Proof of Theorem co02

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5102	. 2 |- Rel ( A o. (/) )
2		rel0 4729	. 2 |- Rel (/)
3		noel 3413	. . . . . . 7 |- -. <. x , z >. e. (/)
4		df-br 3983	. . . . . . 7 |- ( x (/) z <-> <. x , z >. e. (/) )
5	3, 4	mtbir 661	. . . . . 6 |- -. x (/) z
6	5	intnanr 920	. . . . 5 |- -. ( x (/) z /\ z A y )
7	6	nex 1488	. . . 4 |- -. E. z ( x (/) z /\ z A y )
8		vex 2729	. . . . 5 |- x e. _V
9		vex 2729	. . . . 5 |- y e. _V
10	8, 9	opelco 4776	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> E. z ( x (/) z /\ z A y ) )
11	7, 10	mtbir 661	. . 3 |- -. <. x , y >. e. ( A o. (/) )
12		noel 3413	. . 3 |- -. <. x , y >. e. (/)
13	11, 12	2false 691	. 2 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> <. x , y >. e. (/) )
14	1, 2, 13	eqrelriiv 4698	1 |- ( A o. (/) ) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   (/)c0 3409   <.cop 3579   class class class wbr 3982   o. ccom 4608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611  df-co 4613

This theorem is referenced by:  co01  5118