ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  co02 Unicode version

Theorem co02 5163
Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
co02  |-  ( A  o.  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem co02
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 5148 . 2  |-  Rel  ( A  o.  (/) )
2 rel0 4772 . 2  |-  Rel  (/)
3 noel 3441 . . . . . . 7  |-  -.  <. x ,  z >.  e.  (/)
4 df-br 4022 . . . . . . 7  |-  ( x
(/) z  <->  <. x ,  z >.  e.  (/) )
53, 4mtbir 672 . . . . . 6  |-  -.  x (/) z
65intnanr 931 . . . . 5  |-  -.  (
x (/) z  /\  z A y )
76nex 1511 . . . 4  |-  -.  E. z ( x (/) z  /\  z A y )
8 vex 2755 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
9 vex 2755 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
108, 9opelco 4820 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )  <->  E. z
( x (/) z  /\  z A y ) )
117, 10mtbir 672 . . 3  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )
12 noel 3441 . . 3  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
1311, 122false 702 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) )
141, 2, 13eqrelriiv 4741 1  |-  ( A  o.  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   (/)c0 3437   <.cop 3613   class class class wbr 4021    o. ccom 4651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-br 4022  df-opab 4083  df-xp 4653  df-rel 4654  df-co 4656
This theorem is referenced by:  co01  5164
  Copyright terms: Public domain W3C validator