Theorem co02 5134

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
co02	|- ( A o. (/) ) = (/)

Proof of Theorem co02

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5119	. 2 |- Rel ( A o. (/) )
2		rel0 4745	. 2 |- Rel (/)
3		noel 3424	. . . . . . 7 |- -. <. x , z >. e. (/)
4		df-br 3999	. . . . . . 7 |- ( x (/) z <-> <. x , z >. e. (/) )
5	3, 4	mtbir 671	. . . . . 6 |- -. x (/) z
6	5	intnanr 930	. . . . 5 |- -. ( x (/) z /\ z A y )
7	6	nex 1498	. . . 4 |- -. E. z ( x (/) z /\ z A y )
8		vex 2738	. . . . 5 |- x e. _V
9		vex 2738	. . . . 5 |- y e. _V
10	8, 9	opelco 4792	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> E. z ( x (/) z /\ z A y ) )
11	7, 10	mtbir 671	. . 3 |- -. <. x , y >. e. ( A o. (/) )
12		noel 3424	. . 3 |- -. <. x , y >. e. (/)
13	11, 12	2false 701	. 2 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> <. x , y >. e. (/) )
14	1, 2, 13	eqrelriiv 4714	1 |- ( A o. (/) ) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1490   e. wcel 2146   (/)c0 3420   <.cop 3592   class class class wbr 3998   o. ccom 4624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-br 3999  df-opab 4060  df-xp 4626  df-rel 4627  df-co 4629

This theorem is referenced by:  co01  5135