Theorem co02 5257

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
co02	|- ( A o. (/) ) = (/)

Proof of Theorem co02

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5242	. 2 |- Rel ( A o. (/) )
2		rel0 4858	. 2 |- Rel (/)
3		noel 3500	. . . . . . 7 |- -. <. x , z >. e. (/)
4		df-br 4094	. . . . . . 7 |- ( x (/) z <-> <. x , z >. e. (/) )
5	3, 4	mtbir 678	. . . . . 6 |- -. x (/) z
6	5	intnanr 938	. . . . 5 |- -. ( x (/) z /\ z A y )
7	6	nex 1549	. . . 4 |- -. E. z ( x (/) z /\ z A y )
8		vex 2806	. . . . 5 |- x e. _V
9		vex 2806	. . . . 5 |- y e. _V
10	8, 9	opelco 4908	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> E. z ( x (/) z /\ z A y ) )
11	7, 10	mtbir 678	. . 3 |- -. <. x , y >. e. ( A o. (/) )
12		noel 3500	. . 3 |- -. <. x , y >. e. (/)
13	11, 12	2false 709	. 2 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> <. x , y >. e. (/) )
14	1, 2, 13	eqrelriiv 4826	1 |- ( A o. (/) ) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   (/)c0 3496   <.cop 3676   class class class wbr 4093   o. ccom 4735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-rel 4738  df-co 4740

This theorem is referenced by:  co01  5258  gsumwmhm  13661  gfsumval  16809