Theorem co02 5144

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
co02	|- ( A o. (/) ) = (/)

Proof of Theorem co02

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5129	. 2 |- Rel ( A o. (/) )
2		rel0 4753	. 2 |- Rel (/)
3		noel 3428	. . . . . . 7 |- -. <. x , z >. e. (/)
4		df-br 4006	. . . . . . 7 |- ( x (/) z <-> <. x , z >. e. (/) )
5	3, 4	mtbir 671	. . . . . 6 |- -. x (/) z
6	5	intnanr 930	. . . . 5 |- -. ( x (/) z /\ z A y )
7	6	nex 1500	. . . 4 |- -. E. z ( x (/) z /\ z A y )
8		vex 2742	. . . . 5 |- x e. _V
9		vex 2742	. . . . 5 |- y e. _V
10	8, 9	opelco 4801	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> E. z ( x (/) z /\ z A y ) )
11	7, 10	mtbir 671	. . 3 |- -. <. x , y >. e. ( A o. (/) )
12		noel 3428	. . 3 |- -. <. x , y >. e. (/)
13	11, 12	2false 701	. 2 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> <. x , y >. e. (/) )
14	1, 2, 13	eqrelriiv 4722	1 |- ( A o. (/) ) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   (/)c0 3424   <.cop 3597   class class class wbr 4005   o. ccom 4632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-rel 4635  df-co 4637

This theorem is referenced by:  co01  5145