Theorem co02 5052

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
co02	|- ( A o. (/) ) = (/)

Proof of Theorem co02

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5037	. 2 |- Rel ( A o. (/) )
2		rel0 4664	. 2 |- Rel (/)
3		noel 3367	. . . . . . 7 |- -. <. x , z >. e. (/)
4		df-br 3930	. . . . . . 7 |- ( x (/) z <-> <. x , z >. e. (/) )
5	3, 4	mtbir 660	. . . . . 6 |- -. x (/) z
6	5	intnanr 915	. . . . 5 |- -. ( x (/) z /\ z A y )
7	6	nex 1476	. . . 4 |- -. E. z ( x (/) z /\ z A y )
8		vex 2689	. . . . 5 |- x e. _V
9		vex 2689	. . . . 5 |- y e. _V
10	8, 9	opelco 4711	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> E. z ( x (/) z /\ z A y ) )
11	7, 10	mtbir 660	. . 3 |- -. <. x , y >. e. ( A o. (/) )
12		noel 3367	. . 3 |- -. <. x , y >. e. (/)
13	11, 12	2false 690	. 2 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> <. x , y >. e. (/) )
14	1, 2, 13	eqrelriiv 4633	1 |- ( A o. (/) ) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   (/)c0 3363   <.cop 3530   class class class wbr 3929   o. ccom 4543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-co 4548

This theorem is referenced by:  co01  5053