Theorem co02 5278

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
co02	|- ( A o. (/) ) = (/)

Proof of Theorem co02

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5263	. 2 |- Rel ( A o. (/) )
2		rel0 4879	. 2 |- Rel (/)
3		noel 3514	. . . . . . 7 |- -. <. x , z >. e. (/)
4		df-br 4112	. . . . . . 7 |- ( x (/) z <-> <. x , z >. e. (/) )
5	3, 4	mtbir 678	. . . . . 6 |- -. x (/) z
6	5	intnanr 938	. . . . 5 |- -. ( x (/) z /\ z A y )
7	6	nex 1549	. . . 4 |- -. E. z ( x (/) z /\ z A y )
8		vex 2818	. . . . 5 |- x e. _V
9		vex 2818	. . . . 5 |- y e. _V
10	8, 9	opelco 4929	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> E. z ( x (/) z /\ z A y ) )
11	7, 10	mtbir 678	. . 3 |- -. <. x , y >. e. ( A o. (/) )
12		noel 3514	. . 3 |- -. <. x , y >. e. (/)
13	11, 12	2false 709	. 2 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> <. x , y >. e. (/) )
14	1, 2, 13	eqrelriiv 4846	1 |- ( A o. (/) ) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   (/)c0 3510   <.cop 3694   class class class wbr 4111   o. ccom 4755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-br 4112  df-opab 4174  df-xp 4757  df-rel 4758  df-co 4760

This theorem is referenced by:  co01  5279  gsumwmhm  13728  gfsumval  16879