Theorem co02 5250

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
co02	|- ( A o. (/) ) = (/)

Proof of Theorem co02

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5235	. 2 |- Rel ( A o. (/) )
2		rel0 4852	. 2 |- Rel (/)
3		noel 3498	. . . . . . 7 |- -. <. x , z >. e. (/)
4		df-br 4089	. . . . . . 7 |- ( x (/) z <-> <. x , z >. e. (/) )
5	3, 4	mtbir 677	. . . . . 6 |- -. x (/) z
6	5	intnanr 937	. . . . 5 |- -. ( x (/) z /\ z A y )
7	6	nex 1548	. . . 4 |- -. E. z ( x (/) z /\ z A y )
8		vex 2805	. . . . 5 |- x e. _V
9		vex 2805	. . . . 5 |- y e. _V
10	8, 9	opelco 4902	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> E. z ( x (/) z /\ z A y ) )
11	7, 10	mtbir 677	. . 3 |- -. <. x , y >. e. ( A o. (/) )
12		noel 3498	. . 3 |- -. <. x , y >. e. (/)
13	11, 12	2false 708	. 2 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> <. x , y >. e. (/) )
14	1, 2, 13	eqrelriiv 4820	1 |- ( A o. (/) ) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   (/)c0 3494   <.cop 3672   class class class wbr 4088   o. ccom 4729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-rel 4732  df-co 4734

This theorem is referenced by:  co01  5251  gsumwmhm  13582  gfsumval  16683