Theorem tfrcllemres 6189

Description: Lemma for tfr1on 6177. Recursion is defined on an ordinal if the characteristic function is defined up to a suitable point. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	|- F = recs ( G )
tfrcl.g	|- ( ph -> Fun G )
tfrcl.x	|- ( ph -> Ord X )
tfrcl.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
tfrcllemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfrcllemres.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfrcllemres.yx	|- ( ph -> Y e. X )

Assertion

Ref	Expression
tfrcllemres	|- ( ph -> Y C_ dom F )

Distinct variable groups:   x, A, y   f, G, x, y   S, f, x, y   f, X, x, y   f, Y, x, y   ph, f, x, y

Allowed substitution hints:   A( f)   F( x, y, f)

Proof of Theorem tfrcllemres

Dummy variables g h z u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcl.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Ord X )
2	1	adantr 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> Ord X )
3		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> z e. Y )
4		tfrcllemres.yx	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. X )
5	4	adantr 272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> Y e. X )
6	3, 5	jca 302	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> ( z e. Y /\ Y e. X ) )
7		ordtr1 4248	. . . . . . . . 9 |- ( Ord X -> ( ( z e. Y /\ Y e. X ) -> z e. X ) )
8	2, 6, 7	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> z e. X )
9		tfrcl.f	. . . . . . . . 9 |- F = recs ( G )
10		tfrcl.g	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Fun G )
11		tfrcl.ex	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
12		tfrcllemsucfn.1	. . . . . . . . 9 |- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
13		tfrcllemres.u	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
14	9, 10, 1, 11, 12, 13	tfrcllemaccex 6188	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> E. g ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
15	8, 14	syldan 278	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> E. g ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
16	10	ad2antrr 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> Fun G )
17	1	ad2antrr 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> Ord X )
18	11	3adant1r 1177	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
19	18	3adant1r 1177	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
20	4	ad2antrr 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> Y e. X )
21	3	adantr 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> z e. Y )
22	13	adantlr 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
23	22	adantlr 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
24		simprl 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> g : z --> S )
25		feq2 5192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( g : x --> S <-> g : z --> S ) )
26		raleq 2584	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) <-> A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
27	25, 26	anbi12d 460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) <-> ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) )
28		fveq2 5353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = u -> ( g ` y ) = ( g ` u ) )
29		reseq2 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = u -> ( g |` y ) = ( g |` u ) )
30	29	fveq2d 5357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = u -> ( G ` ( g |` y ) ) = ( G ` ( g |` u ) ) )
31	28, 30	eqeq12d 2114	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = u -> ( ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) <-> ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
32	31	cbvralv 2612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) <-> A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) )
33	32	anbi2i 448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) <-> ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
34	27, 33	syl6bb 195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) <-> ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) )
35	34	rspcev 2744	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. X /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
36	8, 35	sylan 279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
37		vex 2644	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
38		feq1 5191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( f : x --> S <-> g : x --> S ) )
39		fveq1 5352	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( f ` y ) = ( g ` y ) )
40		reseq1 4749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = g -> ( f |` y ) = ( g |` y ) )
41	40	fveq2d 5357	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( G ` ( f |` y ) ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
42	39, 41	eqeq12d 2114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> ( ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) <-> ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
43	42	ralbidv 2396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) <-> A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
44	38, 43	anbi12d 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) <-> ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) )
45	44	rexbidv 2397	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) <-> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) )
46	37, 45, 12	elab2 2785	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. A <-> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
47	36, 46	sylibr 133	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> g e. A )
48	9, 16, 17, 19, 12, 20, 21, 23, 24, 47	tfrcllemsucaccv 6181	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A )
49		vex 2644	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
50	25	imbi1d 230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( ( g : x --> S -> ( G ` g ) e. S ) <-> ( g : z --> S -> ( G ` g ) e. S ) ) )
51	11	3expia 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
52	51	alrimiv 1813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
53		fveq2 5353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = g -> ( G ` f ) = ( G ` g ) )
54	53	eleq1d 2168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = g -> ( ( G ` f ) e. S <-> ( G ` g ) e. S ) )
55	38, 54	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = g -> ( ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( g : x --> S -> ( G ` g ) e. S ) ) )
56	55	spv 1799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) -> ( g : x --> S -> ( G ` g ) e. S ) )
57	52, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( g : x --> S -> ( G ` g ) e. S ) )
58	57	ralrimiva 2464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X ( g : x --> S -> ( G ` g ) e. S ) )
59	58	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> A. x e. X ( g : x --> S -> ( G ` g ) e. S ) )
60	50, 59, 8	rspcdva 2749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> ( g : z --> S -> ( G ` g ) e. S ) )
61	60	imp 123	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ g : z --> S ) -> ( G ` g ) e. S )
62	24, 61	syldan 278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> ( G ` g ) e. S )
63		opexg 4088	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. _V /\ ( G ` g ) e. S ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
64	49, 62, 63	sylancr 408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
65		snidg 3501	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. _V -> <. z , ( G ` g ) >. e. { <. z , ( G ` g ) >. } )
66		elun2 3191	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. { <. z , ( G ` g ) >. } -> <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
67	64, 65, 66	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
68		opeldmg 4682	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. _V /\ ( G ` g ) e. S ) -> ( <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
69	49, 62, 68	sylancr 408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> ( <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
70	67, 69	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
71		dmeq 4677	. . . . . . . . . 10 |- ( h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> dom h = dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
72	71	eleq2d 2169	. . . . . . . . 9 |- ( h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( z e. dom h <-> z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
73	72	rspcev 2744	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A /\ z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> E. h e. A z e. dom h )
74	48, 70, 73	syl2anc 406	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> E. h e. A z e. dom h )
75	15, 74	exlimddv 1837	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> E. h e. A z e. dom h )
76		eliun 3764	. . . . . 6 |- ( z e. U_ h e. A dom h <-> E. h e. A z e. dom h )
77	75, 76	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> z e. U_ h e. A dom h )
78	77	ex 114	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. Y -> z e. U_ h e. A dom h ) )
79	78	ssrdv 3053	. . 3 |- ( ph -> Y C_ U_ h e. A dom h )
80		dmuni 4687	. . . 4 |- dom U. A = U_ h e. A dom h
81	12, 1	tfrcllemssrecs 6179	. . . . 5 |- ( ph -> U. A C_ recs ( G ) )
82		dmss 4676	. . . . 5 |- ( U. A C_ recs ( G ) -> dom U. A C_ dom recs ( G ) )
83	81, 82	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom U. A C_ dom recs ( G ) )
84	80, 83	syl5eqssr 3094	. . 3 |- ( ph -> U_ h e. A dom h C_ dom recs ( G ) )
85	79, 84	sstrd 3057	. 2 |- ( ph -> Y C_ dom recs ( G ) )
86	9	dmeqi 4678	. 2 |- dom F = dom recs ( G )
87	85, 86	syl6sseqr 3096	1 |- ( ph -> Y C_ dom F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 930   A.wal 1297   = wceq 1299   E.wex 1436   e. wcel 1448   {cab 2086   A.wral 2375   E.wrex 2376   _Vcvv 2641   u. cun 3019   C_ wss 3021   {csn 3474   <.cop 3477   U.cuni 3683   U_ciun 3760   Ord word 4222   suc csuc 4225   dom cdm 4477   |` cres 4479   Fun wfun 5053   -->wf 5055   ` cfv 5059  recscrecs 6131

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-recs 6132

This theorem is referenced by:  tfrcldm  6190