Theorem tfrcllemres 6471

Description: Lemma for tfr1on 6459. Recursion is defined on an ordinal if the characteristic function is defined up to a suitable point. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	|- F = recs ( G )
tfrcl.g	|- ( ph -> Fun G )
tfrcl.x	|- ( ph -> Ord X )
tfrcl.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
tfrcllemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfrcllemres.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfrcllemres.yx	|- ( ph -> Y e. X )

Assertion

Ref	Expression
tfrcllemres	|- ( ph -> Y C_ dom F )

Distinct variable groups:   x, A, y   f, G, x, y   S, f, x, y   f, X, x, y   f, Y, x, y   ph, f, x, y

Allowed substitution hints:   A( f)   F( x, y, f)

Proof of Theorem tfrcllemres

Dummy variables g h z u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcl.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Ord X )
2	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> Ord X )
3		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> z e. Y )
4		tfrcllemres.yx	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. X )
5	4	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> Y e. X )
6	3, 5	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> ( z e. Y /\ Y e. X ) )
7		ordtr1 4453	. . . . . . . . 9 |- ( Ord X -> ( ( z e. Y /\ Y e. X ) -> z e. X ) )
8	2, 6, 7	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> z e. X )
9		tfrcl.f	. . . . . . . . 9 |- F = recs ( G )
10		tfrcl.g	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Fun G )
11		tfrcl.ex	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
12		tfrcllemsucfn.1	. . . . . . . . 9 |- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
13		tfrcllemres.u	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
14	9, 10, 1, 11, 12, 13	tfrcllemaccex 6470	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> E. g ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
15	8, 14	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> E. g ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
16	10	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> Fun G )
17	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> Ord X )
18	11	3adant1r 1234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
19	18	3adant1r 1234	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
20	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> Y e. X )
21	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> z e. Y )
22	13	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
23	22	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
24		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> g : z --> S )
25		feq2 5429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( g : x --> S <-> g : z --> S ) )
26		raleq 2705	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) <-> A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
27	25, 26	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) <-> ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) )
28		fveq2 5599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = u -> ( g ` y ) = ( g ` u ) )
29		reseq2 4973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = u -> ( g |` y ) = ( g |` u ) )
30	29	fveq2d 5603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = u -> ( G ` ( g |` y ) ) = ( G ` ( g |` u ) ) )
31	28, 30	eqeq12d 2222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = u -> ( ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) <-> ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
32	31	cbvralv 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) <-> A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) )
33	32	anbi2i 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) <-> ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
34	27, 33	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) <-> ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) )
35	34	rspcev 2884	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. X /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
36	8, 35	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
37		vex 2779	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
38		feq1 5428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( f : x --> S <-> g : x --> S ) )
39		fveq1 5598	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( f ` y ) = ( g ` y ) )
40		reseq1 4972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = g -> ( f |` y ) = ( g |` y ) )
41	40	fveq2d 5603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( G ` ( f |` y ) ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
42	39, 41	eqeq12d 2222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> ( ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) <-> ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
43	42	ralbidv 2508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) <-> A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
44	38, 43	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) <-> ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) )
45	44	rexbidv 2509	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) <-> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) )
46	37, 45, 12	elab2 2928	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. A <-> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
47	36, 46	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> g e. A )
48	9, 16, 17, 19, 12, 20, 21, 23, 24, 47	tfrcllemsucaccv 6463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A )
49		vex 2779	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
50	25	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( ( g : x --> S -> ( G ` g ) e. S ) <-> ( g : z --> S -> ( G ` g ) e. S ) ) )
51	11	3expia 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
52	51	alrimiv 1898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
53		fveq2 5599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = g -> ( G ` f ) = ( G ` g ) )
54	53	eleq1d 2276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = g -> ( ( G ` f ) e. S <-> ( G ` g ) e. S ) )
55	38, 54	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = g -> ( ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( g : x --> S -> ( G ` g ) e. S ) ) )
56	55	spv 1884	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) -> ( g : x --> S -> ( G ` g ) e. S ) )
57	52, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( g : x --> S -> ( G ` g ) e. S ) )
58	57	ralrimiva 2581	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X ( g : x --> S -> ( G ` g ) e. S ) )
59	58	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> A. x e. X ( g : x --> S -> ( G ` g ) e. S ) )
60	50, 59, 8	rspcdva 2889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> ( g : z --> S -> ( G ` g ) e. S ) )
61	60	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ g : z --> S ) -> ( G ` g ) e. S )
62	24, 61	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> ( G ` g ) e. S )
63		opexg 4290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. _V /\ ( G ` g ) e. S ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
64	49, 62, 63	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
65		snidg 3672	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. _V -> <. z , ( G ` g ) >. e. { <. z , ( G ` g ) >. } )
66		elun2 3349	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. { <. z , ( G ` g ) >. } -> <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
67	64, 65, 66	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
68		opeldmg 4902	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. _V /\ ( G ` g ) e. S ) -> ( <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
69	49, 62, 68	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> ( <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
70	67, 69	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
71		dmeq 4897	. . . . . . . . . 10 |- ( h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> dom h = dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
72	71	eleq2d 2277	. . . . . . . . 9 |- ( h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( z e. dom h <-> z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
73	72	rspcev 2884	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A /\ z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> E. h e. A z e. dom h )
74	48, 70, 73	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> E. h e. A z e. dom h )
75	15, 74	exlimddv 1923	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> E. h e. A z e. dom h )
76		eliun 3945	. . . . . 6 |- ( z e. U_ h e. A dom h <-> E. h e. A z e. dom h )
77	75, 76	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> z e. U_ h e. A dom h )
78	77	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. Y -> z e. U_ h e. A dom h ) )
79	78	ssrdv 3207	. . 3 |- ( ph -> Y C_ U_ h e. A dom h )
80		dmuni 4907	. . . 4 |- dom U. A = U_ h e. A dom h
81	12, 1	tfrcllemssrecs 6461	. . . . 5 |- ( ph -> U. A C_ recs ( G ) )
82		dmss 4896	. . . . 5 |- ( U. A C_ recs ( G ) -> dom U. A C_ dom recs ( G ) )
83	81, 82	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom U. A C_ dom recs ( G ) )
84	80, 83	eqsstrrid 3248	. . 3 |- ( ph -> U_ h e. A dom h C_ dom recs ( G ) )
85	79, 84	sstrd 3211	. 2 |- ( ph -> Y C_ dom recs ( G ) )
86	9	dmeqi 4898	. 2 |- dom F = dom recs ( G )
87	85, 86	sseqtrrdi 3250	1 |- ( ph -> Y C_ dom F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   A.wal 1371   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   {cab 2193   A.wral 2486   E.wrex 2487   _Vcvv 2776   u. cun 3172   C_ wss 3174   {csn 3643   <.cop 3646   U.cuni 3864   U_ciun 3941   Ord word 4427   suc csuc 4430   dom cdm 4693   |` cres 4695   Fun wfun 5284   -->wf 5286   ` cfv 5290  recscrecs 6413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-recs 6414

This theorem is referenced by:  tfrcldm  6472