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Theorem tfrcllemres 6083
Description: Lemma for tfr1on 6071. Recursion is defined on an ordinal if the characteristic function is defined up to a suitable point. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f  |-  F  = recs ( G )
tfrcl.g  |-  ( ph  ->  Fun  G )
tfrcl.x  |-  ( ph  ->  Ord  X )
tfrcl.ex  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
tfrcllemsucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrcllemres.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
tfrcllemres.yx  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
Assertion
Ref Expression
tfrcllemres  |-  ( ph  ->  Y  C_  dom  F )
Distinct variable groups:    x, A, y   
f, G, x, y    S, f, x, y    f, X, x, y    f, Y, x, y    ph, f, x, y
Allowed substitution hints:    A( f)    F( x, y, f)

Proof of Theorem tfrcllemres
Dummy variables  g  h  z  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfrcl.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Ord  X )
21adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  Ord  X )
3 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  z  e.  Y )
4 tfrcllemres.yx . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
54adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  Y  e.  X )
63, 5jca 300 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  (
z  e.  Y  /\  Y  e.  X )
)
7 ordtr1 4191 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
X  ->  ( (
z  e.  Y  /\  Y  e.  X )  ->  z  e.  X ) )
82, 6, 7sylc 61 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  z  e.  X )
9 tfrcl.f . . . . . . . . 9  |-  F  = recs ( G )
10 tfrcl.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Fun  G )
11 tfrcl.ex . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
12 tfrcllemsucfn.1 . . . . . . . . 9  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
13 tfrcllemres.u . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
149, 10, 1, 11, 12, 13tfrcllemaccex 6082 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  E. g
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
158, 14syldan 276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  E. g
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
1610ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  ->  Fun  G )
171ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  ->  Ord  X )
18113adant1r 1165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S
)
19183adant1r 1165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  ( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  -> 
( G `  f
)  e.  S )
204ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  ->  Y  e.  X )
213adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  ->  z  e.  Y )
2213adantlr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
2322adantlr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  ( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  /\  x  e. 
U. X )  ->  suc  x  e.  X )
24 simprl 498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  ->  g :
z --> S )
25 feq2 5113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
g : x --> S  <->  g :
z --> S ) )
26 raleq 2558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  x  ( g `  y
)  =  ( G `
 ( g  |`  y ) )  <->  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
2725, 26anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) )  <-> 
( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) ) )
28 fveq2 5270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  u  ->  (
g `  y )  =  ( g `  u ) )
29 reseq2 4678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  u  ->  (
g  |`  y )  =  ( g  |`  u
) )
3029fveq2d 5274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  u  ->  ( G `  ( g  |`  y ) )  =  ( G `  (
g  |`  u ) ) )
3128, 30eqeq12d 2099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  u  ->  (
( g `  y
)  =  ( G `
 ( g  |`  y ) )  <->  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
3231cbvralv 2586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) )  <->  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )
3332anbi2i 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) )  <-> 
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
3427, 33syl6bb 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) )  <-> 
( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
3534rspcev 2715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  ->  E. x  e.  X  ( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )
368, 35sylan 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  ->  E. x  e.  X  ( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )
37 vex 2618 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
38 feq1 5112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  (
f : x --> S  <->  g :
x --> S ) )
39 fveq1 5269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  y )  =  ( g `  y ) )
40 reseq1 4677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  g  ->  (
f  |`  y )  =  ( g  |`  y
) )
4140fveq2d 5274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  ( G `  ( f  |`  y ) )  =  ( G `  (
g  |`  y ) ) )
4239, 41eqeq12d 2099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
4342ralbidv 2376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
4438, 43anbi12d 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <-> 
( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) ) )
4544rexbidv 2377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  ( E. x  e.  X  ( f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <->  E. x  e.  X  ( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) ) )
4637, 45, 12elab2 2754 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  A  <->  E. x  e.  X  ( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )
4736, 46sylibr 132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  ->  g  e.  A )
489, 16, 17, 19, 12, 20, 21, 23, 24, 47tfrcllemsucaccv 6075 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } )  e.  A
)
49 vex 2618 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
5025imbi1d 229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( g : x --> S  ->  ( G `  g )  e.  S
)  <->  ( g : z --> S  ->  ( G `  g )  e.  S ) ) )
51113expia 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
f : x --> S  -> 
( G `  f
)  e.  S ) )
5251alrimiv 1799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. f
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) )
53 fveq2 5270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  g  ->  ( G `  f )  =  ( G `  g ) )
5453eleq1d 2153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  g  ->  (
( G `  f
)  e.  S  <->  ( G `  g )  e.  S
) )
5538, 54imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
)  <->  ( g : x --> S  ->  ( G `  g )  e.  S ) ) )
5655spv 1785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. f ( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S )  ->  (
g : x --> S  -> 
( G `  g
)  e.  S ) )
5752, 56syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
g : x --> S  -> 
( G `  g
)  e.  S ) )
5857ralrimiva 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( g : x --> S  ->  ( G `  g )  e.  S
) )
5958adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  A. x  e.  X  ( g : x --> S  -> 
( G `  g
)  e.  S ) )
6050, 59, 8rspcdva 2720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  (
g : z --> S  ->  ( G `  g )  e.  S
) )
6160imp 122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  g : z --> S )  ->  ( G `  g )  e.  S
)
6224, 61syldan 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  ->  ( G `  g )  e.  S
)
63 opexg 4031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( G `  g )  e.  S )  ->  <. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V )
6449, 62, 63sylancr 405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  ->  <. z ,  ( G `  g
) >.  e.  _V )
65 snidg 3458 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V  ->  <. z ,  ( G `  g
) >.  e.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )
66 elun2 3157 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
z ,  ( G `
 g ) >.  e.  { <. z ,  ( G `  g )
>. }  ->  <. z ,  ( G `  g
) >.  e.  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) )
6764, 65, 663syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  ->  <. z ,  ( G `  g
) >.  e.  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) )
68 opeldmg 4611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( G `  g )  e.  S )  -> 
( <. z ,  ( G `  g )
>.  e.  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  z  e.  dom  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )
6949, 62, 68sylancr 405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  ->  ( <. z ,  ( G `  g ) >.  e.  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  ->  z  e.  dom  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) ) )
7067, 69mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  ->  z  e.  dom  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) )
71 dmeq 4606 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  dom  h  =  dom  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) )
7271eleq2d 2154 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  (
z  e.  dom  h  <->  z  e.  dom  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )
7372rspcev 2715 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  A  /\  z  e.  dom  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) )  ->  E. h  e.  A  z  e.  dom  h )
7448, 70, 73syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g : z --> S  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )  ->  E. h  e.  A  z  e.  dom  h )
7515, 74exlimddv 1823 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  E. h  e.  A  z  e.  dom  h )
76 eliun 3719 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U_ h  e.  A  dom  h  <->  E. h  e.  A  z  e.  dom  h )
7775, 76sylibr 132 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  z  e.  U_ h  e.  A  dom  h )
7877ex 113 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Y  ->  z  e.  U_ h  e.  A  dom  h ) )
7978ssrdv 3020 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  C_  U_ h  e.  A  dom  h )
80 dmuni 4616 . . . 4  |-  dom  U. A  =  U_ h  e.  A  dom  h
8112, 1tfrcllemssrecs 6073 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. A  C_ recs ( G ) )
82 dmss 4605 . . . . 5  |-  ( U. A  C_ recs ( G )  ->  dom  U. A  C_  dom recs ( G ) )
8381, 82syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  U. A  C_  dom recs ( G ) )
8480, 83syl5eqssr 3060 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ h  e.  A  dom  h  C_  dom recs ( G ) )
8579, 84sstrd 3024 . 2  |-  ( ph  ->  Y  C_  dom recs ( G ) )
869dmeqi 4607 . 2  |-  dom  F  =  dom recs ( G )
8785, 86syl6sseqr 3062 1  |-  ( ph  ->  Y  C_  dom  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 922   A.wal 1285    = wceq 1287   E.wex 1424    e. wcel 1436   {cab 2071   A.wral 2355   E.wrex 2356   _Vcvv 2615    u. cun 2986    C_ wss 2988   {csn 3431   <.cop 3434   U.cuni 3638   U_ciun 3715   Ord word 4165   suc csuc 4168   dom cdm 4413    |` cres 4415   Fun wfun 4977   -->wf 4979   ` cfv 4983  recscrecs 6025
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-iord 4169  df-on 4171  df-suc 4174  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-recs 6026
This theorem is referenced by:  tfrcldm  6084
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