Theorem tfrcllemres 6341

Description: Lemma for tfr1on 6329. Recursion is defined on an ordinal if the characteristic function is defined up to a suitable point. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	|- F = recs ( G )
tfrcl.g	|- ( ph -> Fun G )
tfrcl.x	|- ( ph -> Ord X )
tfrcl.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
tfrcllemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfrcllemres.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfrcllemres.yx	|- ( ph -> Y e. X )

Assertion

Ref	Expression
tfrcllemres	|- ( ph -> Y C_ dom F )

Distinct variable groups:   x, A, y   f, G, x, y   S, f, x, y   f, X, x, y   f, Y, x, y   ph, f, x, y

Allowed substitution hints:   A( f)   F( x, y, f)

Proof of Theorem tfrcllemres

Dummy variables g h z u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcl.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Ord X )
2	1	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> Ord X )
3		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> z e. Y )
4		tfrcllemres.yx	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. X )
5	4	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> Y e. X )
6	3, 5	jca 304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> ( z e. Y /\ Y e. X ) )
7		ordtr1 4373	. . . . . . . . 9 |- ( Ord X -> ( ( z e. Y /\ Y e. X ) -> z e. X ) )
8	2, 6, 7	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> z e. X )
9		tfrcl.f	. . . . . . . . 9 |- F = recs ( G )
10		tfrcl.g	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Fun G )
11		tfrcl.ex	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
12		tfrcllemsucfn.1	. . . . . . . . 9 |- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
13		tfrcllemres.u	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
14	9, 10, 1, 11, 12, 13	tfrcllemaccex 6340	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> E. g ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
15	8, 14	syldan 280	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> E. g ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
16	10	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> Fun G )
17	1	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> Ord X )
18	11	3adant1r 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
19	18	3adant1r 1226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
20	4	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> Y e. X )
21	3	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> z e. Y )
22	13	adantlr 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
23	22	adantlr 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
24		simprl 526	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> g : z --> S )
25		feq2 5331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( g : x --> S <-> g : z --> S ) )
26		raleq 2665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) <-> A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
27	25, 26	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) <-> ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) )
28		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = u -> ( g ` y ) = ( g ` u ) )
29		reseq2 4886	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = u -> ( g |` y ) = ( g |` u ) )
30	29	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = u -> ( G ` ( g |` y ) ) = ( G ` ( g |` u ) ) )
31	28, 30	eqeq12d 2185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = u -> ( ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) <-> ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
32	31	cbvralv 2696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) <-> A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) )
33	32	anbi2i 454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) <-> ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
34	27, 33	bitrdi 195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) <-> ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) )
35	34	rspcev 2834	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. X /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
36	8, 35	sylan 281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
37		vex 2733	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
38		feq1 5330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( f : x --> S <-> g : x --> S ) )
39		fveq1 5495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( f ` y ) = ( g ` y ) )
40		reseq1 4885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = g -> ( f |` y ) = ( g |` y ) )
41	40	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( G ` ( f |` y ) ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
42	39, 41	eqeq12d 2185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> ( ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) <-> ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
43	42	ralbidv 2470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) <-> A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
44	38, 43	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) <-> ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) )
45	44	rexbidv 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) <-> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) )
46	37, 45, 12	elab2 2878	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. A <-> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
47	36, 46	sylibr 133	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> g e. A )
48	9, 16, 17, 19, 12, 20, 21, 23, 24, 47	tfrcllemsucaccv 6333	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A )
49		vex 2733	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
50	25	imbi1d 230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( ( g : x --> S -> ( G ` g ) e. S ) <-> ( g : z --> S -> ( G ` g ) e. S ) ) )
51	11	3expia 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
52	51	alrimiv 1867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
53		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = g -> ( G ` f ) = ( G ` g ) )
54	53	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = g -> ( ( G ` f ) e. S <-> ( G ` g ) e. S ) )
55	38, 54	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = g -> ( ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( g : x --> S -> ( G ` g ) e. S ) ) )
56	55	spv 1853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) -> ( g : x --> S -> ( G ` g ) e. S ) )
57	52, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( g : x --> S -> ( G ` g ) e. S ) )
58	57	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X ( g : x --> S -> ( G ` g ) e. S ) )
59	58	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> A. x e. X ( g : x --> S -> ( G ` g ) e. S ) )
60	50, 59, 8	rspcdva 2839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> ( g : z --> S -> ( G ` g ) e. S ) )
61	60	imp 123	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ g : z --> S ) -> ( G ` g ) e. S )
62	24, 61	syldan 280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> ( G ` g ) e. S )
63		opexg 4213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. _V /\ ( G ` g ) e. S ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
64	49, 62, 63	sylancr 412	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
65		snidg 3612	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. _V -> <. z , ( G ` g ) >. e. { <. z , ( G ` g ) >. } )
66		elun2 3295	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. { <. z , ( G ` g ) >. } -> <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
67	64, 65, 66	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
68		opeldmg 4816	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. _V /\ ( G ` g ) e. S ) -> ( <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
69	49, 62, 68	sylancr 412	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> ( <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
70	67, 69	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
71		dmeq 4811	. . . . . . . . . 10 |- ( h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> dom h = dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
72	71	eleq2d 2240	. . . . . . . . 9 |- ( h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( z e. dom h <-> z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
73	72	rspcev 2834	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A /\ z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> E. h e. A z e. dom h )
74	48, 70, 73	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g : z --> S /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> E. h e. A z e. dom h )
75	15, 74	exlimddv 1891	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> E. h e. A z e. dom h )
76		eliun 3877	. . . . . 6 |- ( z e. U_ h e. A dom h <-> E. h e. A z e. dom h )
77	75, 76	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> z e. U_ h e. A dom h )
78	77	ex 114	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. Y -> z e. U_ h e. A dom h ) )
79	78	ssrdv 3153	. . 3 |- ( ph -> Y C_ U_ h e. A dom h )
80		dmuni 4821	. . . 4 |- dom U. A = U_ h e. A dom h
81	12, 1	tfrcllemssrecs 6331	. . . . 5 |- ( ph -> U. A C_ recs ( G ) )
82		dmss 4810	. . . . 5 |- ( U. A C_ recs ( G ) -> dom U. A C_ dom recs ( G ) )
83	81, 82	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom U. A C_ dom recs ( G ) )
84	80, 83	eqsstrrid 3194	. . 3 |- ( ph -> U_ h e. A dom h C_ dom recs ( G ) )
85	79, 84	sstrd 3157	. 2 |- ( ph -> Y C_ dom recs ( G ) )
86	9	dmeqi 4812	. 2 |- dom F = dom recs ( G )
87	85, 86	sseqtrrdi 3196	1 |- ( ph -> Y C_ dom F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   A.wal 1346   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   u. cun 3119   C_ wss 3121   {csn 3583   <.cop 3586   U.cuni 3796   U_ciun 3873   Ord word 4347   suc csuc 4350   dom cdm 4611   |` cres 4613   Fun wfun 5192   -->wf 5194   ` cfv 5198  recscrecs 6283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-recs 6284

This theorem is referenced by:  tfrcldm  6342