Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdgdomlem Unicode version

Theorem frecuzrdgdomlem 10222
 Description: The domain of the result of the recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Apr-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frecuzrdgrclt.c
frecuzrdgrclt.a
frecuzrdgrclt.t
frecuzrdgrclt.f
frecuzrdgrclt.r frec
frecuzrdgdomlem.g frec
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgdomlem
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem frecuzrdgdomlem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frecuzrdgrclt.c . . . . . 6
2 frecuzrdgrclt.a . . . . . 6
3 frecuzrdgrclt.t . . . . . 6
4 frecuzrdgrclt.f . . . . . 6
5 frecuzrdgrclt.r . . . . . 6 frec
61, 2, 3, 4, 5frecuzrdgrclt 10220 . . . . 5
7 frn 5289 . . . . 5
86, 7syl 14 . . . 4
9 dmss 4746 . . . 4
108, 9syl 14 . . 3
11 dmxpss 4977 . . 3
1210, 11sstrdi 3114 . 2
138adantr 274 . . . . . . . . 9
14 ffun 5283 . . . . . . . . . . . 12
156, 14syl 14 . . . . . . . . . . 11
1615adantr 274 . . . . . . . . . 10
17 frecuzrdgdomlem.g . . . . . . . . . . . . 13 frec
181, 17frec2uzf1od 10211 . . . . . . . . . . . 12
19 f1ocnvdm 5690 . . . . . . . . . . . 12
2018, 19sylan 281 . . . . . . . . . . 11
21 fdm 5286 . . . . . . . . . . . . 13
226, 21syl 14 . . . . . . . . . . . 12
2322adantr 274 . . . . . . . . . . 11
2420, 23eleqtrrd 2220 . . . . . . . . . 10
25 fvelrn 5559 . . . . . . . . . 10
2616, 24, 25syl2anc 409 . . . . . . . . 9
2713, 26sseldd 3103 . . . . . . . 8
28 1st2nd2 6081 . . . . . . . 8
2927, 28syl 14 . . . . . . 7
301adantr 274 . . . . . . . . . 10
312adantr 274 . . . . . . . . . 10
323adantr 274 . . . . . . . . . 10
334adantlr 469 . . . . . . . . . 10
3430, 31, 32, 33, 5, 20, 17frecuzrdgg 10221 . . . . . . . . 9
35 f1ocnvfv2 5687 . . . . . . . . . 10
3618, 35sylan 281 . . . . . . . . 9
3734, 36eqtrd 2173 . . . . . . . 8
3837opeq1d 3719 . . . . . . 7
3929, 38eqtrd 2173 . . . . . 6
4039, 26eqeltrrd 2218 . . . . 5
41 simpr 109 . . . . . 6
42 xp2nd 6072 . . . . . . 7
4327, 42syl 14 . . . . . 6
44 opeldmg 4752 . . . . . 6
4541, 43, 44syl2anc 409 . . . . 5
4640, 45mpd 13 . . . 4
4746ex 114 . . 3
4847ssrdv 3108 . 2
4912, 48eqssd 3119 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1332   wcel 1481   wss 3076  cop 3535   cmpt 3997  com 4512   cxp 4545  ccnv 4546   cdm 4547   crn 4548   wfun 5125  wf 5127  wf1o 5130  cfv 5131  (class class class)co 5782   cmpo 5784  c1st 6044  c2nd 6045  freccfrec 6295  c1 7646   caddc 7648  cz 9079  cuz 9351 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7736  ax-resscn 7737  ax-1cn 7738  ax-1re 7739  ax-icn 7740  ax-addcl 7741  ax-addrcl 7742  ax-mulcl 7743  ax-addcom 7745  ax-addass 7747  ax-distr 7749  ax-i2m1 7750  ax-0lt1 7751  ax-0id 7753  ax-rnegex 7754  ax-cnre 7756  ax-pre-ltirr 7757  ax-pre-ltwlin 7758  ax-pre-lttrn 7759  ax-pre-ltadd 7761 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7827  df-mnf 7828  df-xr 7829  df-ltxr 7830  df-le 7831  df-sub 7960  df-neg 7961  df-inn 8746  df-n0 9003  df-z 9080  df-uz 9352 This theorem is referenced by:  frecuzrdgdom  10223
 Copyright terms: Public domain W3C validator