Theorem spcegv 2907

Description: Existential specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
spcgv.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
spcegv	|- ( A e. V -> ( ps -> E. x ph ) )

Distinct variable groups:   ps, x   x, A

Allowed substitution hints:   ph( x)   V( x)

Proof of Theorem spcegv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2386	. 2 |- F/_ x A
2		nfv 1577	. 2 |- F/ x ps
3		spcgv.1	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
4	1, 2, 3	spcegf 2902	1 |- ( A e. V -> ( ps -> E. x ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817

This theorem is referenced by:  spcedv  2908  spcev  2914  elabd  2964  eqeu  2989  absneu  3765  elunii  3921  axpweq  4286  euotd  4373  brcogw  4926  opeldmg  4963  breldmg  4964  dmsnopg  5236  dff3im  5824  elunirn  5941  unielxp  6370  op1steq  6375  tfr0dm  6555  tfrlemibxssdm  6560  tfrlemiex  6564  tfr1onlembxssdm  6576  tfr1onlemex  6580  tfrcllembxssdm  6589  tfrcllemex  6593  frecabcl  6632  ertr  6784  f1oen4g  6993  f1dom4g  6994  f1oen3g  6995  f1dom2g  6997  f1domg  6999  dom3d  7015  en1  7041  en2  7067  phpelm  7123  isinfinf  7156  ordiso  7329  djudom  7386  difinfsn  7393  ctm  7402  enumct  7408  djudoml  7528  djudomr  7529  cc2lem  7582  recexnq  7707  ltexprlemrl  7927  ltexprlemru  7929  recexprlemm  7941  recexprlemloc  7948  recexprlem1ssl  7950  recexprlem1ssu  7951  axpre-suploclemres  8218  frecuzrdgtcl  10778  frecuzrdgfunlem  10785  fihasheqf1oi  11154  zfz1isolem1  11216  climeu  11985  fsum3  12077  uzwodc  12737  gsumfzval  13621  mplsubgfilemm  14870  eltg3  14939  uptx  15156  xblm  15299  2lgslem1  15981  upgrex  16115  vtxdumgrfival  16310  1loopgrvd2fi  16317  bj-2inf  16725  subctctexmid  16791