Theorem spcegv 2907

Description: Existential specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
spcgv.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
spcegv	|- ( A e. V -> ( ps -> E. x ph ) )

Distinct variable groups:   ps, x   x, A

Allowed substitution hints:   ph( x)   V( x)

Proof of Theorem spcegv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2386	. 2 |- F/_ x A
2		nfv 1577	. 2 |- F/ x ps
3		spcgv.1	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
4	1, 2, 3	spcegf 2902	1 |- ( A e. V -> ( ps -> E. x ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817

This theorem is referenced by:  spcedv  2908  spcev  2914  elabd  2965  eqeu  2990  absneu  3768  elunii  3924  axpweq  4289  euotd  4376  brcogw  4929  opeldmg  4966  breldmg  4967  dmsnopg  5239  dff3im  5827  elunirn  5945  unielxp  6381  op1steq  6386  tfr0dm  6566  tfrlemibxssdm  6571  tfrlemiex  6575  tfr1onlembxssdm  6587  tfr1onlemex  6591  tfrcllembxssdm  6600  tfrcllemex  6604  frecabcl  6643  ertr  6795  f1oen4g  7004  f1dom4g  7005  f1oen3g  7006  f1dom2g  7008  f1domg  7010  dom3d  7026  en1  7052  en2  7078  phpelm  7134  isinfinf  7167  ordiso  7340  djudom  7397  difinfsn  7404  ctm  7413  enumct  7419  djudoml  7539  djudomr  7540  cc2lem  7596  recexnq  7721  ltexprlemrl  7941  ltexprlemru  7943  recexprlemm  7955  recexprlemloc  7962  recexprlem1ssl  7964  recexprlem1ssu  7965  axpre-suploclemres  8232  frecuzrdgtcl  10798  frecuzrdgfunlem  10805  fihasheqf1oi  11175  zfz1isolem1  11237  climeu  12006  fsum3  12098  uzwodc  12758  gsumfzval  13654  mplsubgfilemm  14979  eltg3  15048  uptx  15265  xblm  15408  2lgslem1  16090  upgrex  16224  vtxdumgrfival  16419  1loopgrvd2fi  16426  bj-2inf  16834  subctctexmid  16900