Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | frecuzrdgtcl.3 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![)
)](rp.gif) |
2 | 1 | eleq2d 2210 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
3 | | frec2uz.1 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
4 | | frec2uz.2 |
. . . . . . . . . . 11
frec![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![1
1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) |
5 | | frecuzrdgrrn.a |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![S S](_cs.gif) ![) )](rp.gif) |
6 | | frecuzrdgrrn.f |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![C C](_cc.gif)
![S S](_cs.gif) ![)
)](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![x
x](_x.gif) ![F F](_cf.gif) ![y y](_y.gif) ![S S](_cs.gif) ![) )](rp.gif) |
7 | | frecuzrdgrrn.2 |
. . . . . . . . . . 11
frec![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif)
![<.
<.](langle.gif) ![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![x x](_x.gif) ![F F](_cf.gif) ![y y](_y.gif) ![) )](rp.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![)
)](rp.gif) ![<. <.](langle.gif) ![C C](_cc.gif) ![A A](_ca.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![) )](rp.gif) |
8 | 3, 4, 5, 6, 7 | frecuzrdgrcl 10214 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>=
ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![C C](_cc.gif) ![S S](_cs.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
9 | | ffn 5280 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>=
ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![C C](_cc.gif) ![S S](_cs.gif) ![om om](omega.gif) ![) )](rp.gif) |
10 | | fvelrnb 5477 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![`
`](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![z z](_z.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
11 | 8, 9, 10 | 3syl 17 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif)
![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![z z](_z.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
12 | 2, 11 | bitrd 187 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![`
`](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![z z](_z.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
13 | 3, 4, 5, 6, 7 | frecuzrdgrrn 10212 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif)
![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![C C](_cc.gif) ![S S](_cs.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
14 | | eleq1 2203 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>=
ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![C C](_cc.gif) ![S S](_cs.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![C C](_cc.gif) ![S S](_cs.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
15 | 13, 14 | syl5ibcom 154 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![`
`](backtick.gif) ![w w](_w.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![C C](_cc.gif) ![S S](_cs.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
16 | 15 | rexlimdva 2552 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![C C](_cc.gif) ![S S](_cs.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
17 | 12, 16 | sylbid 149 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>=
ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![C C](_cc.gif) ![S S](_cs.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
18 | 17 | ssrdv 3108 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![C C](_cc.gif) ![S S](_cs.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
19 | | xpss 4655 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>=
ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![C C](_cc.gif) ![S S](_cs.gif) ![( (](lp.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) |
20 | 18, 19 | sstrdi 3114 |
. . . . 5
![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
21 | | df-rel 4554 |
. . . . 5
![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
22 | 20, 21 | sylibr 133 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![T T](_ct.gif) ![) )](rp.gif) |
23 | 3, 4 | frec2uzf1od 10210 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) |
24 | | f1ocnvdm 5690 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![C C](_cc.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![v v](_v.gif) ![om om](omega.gif) ![) )](rp.gif) |
25 | 23, 24 | sylan 281 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![G G](_cg.gif) ![`
`](backtick.gif) ![v v](_v.gif) ![om om](omega.gif) ![) )](rp.gif) |
26 | 3, 4, 5, 6, 7 | frecuzrdgrrn 10212 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![G G](_cg.gif) ![`
`](backtick.gif) ![v v](_v.gif) ![om om](omega.gif) ![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![G G](_cg.gif) ![`
`](backtick.gif) ![v v](_v.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>=
ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![C C](_cc.gif) ![S S](_cs.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
27 | 25, 26 | syldan 280 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![v v](_v.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![C C](_cc.gif) ![S S](_cs.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
28 | | xp2nd 6072 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![v v](_v.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>=
ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![C C](_cc.gif) ![S S](_cs.gif) ![( (](lp.gif) ![2nd 2nd](_2nd.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![v v](_v.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![S S](_cs.gif) ![)
)](rp.gif) |
29 | 27, 28 | syl 14 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![2nd 2nd](_2nd.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![v v](_v.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![S S](_cs.gif) ![)
)](rp.gif) |
30 | 1 | eleq2d 2210 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![z z](_z.gif)
![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![z z](_z.gif)
![R R](_cr.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
31 | | fvelrnb 5477 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![z z](_z.gif)
![E. E.](exists.gif) ![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![z z](_z.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) |
32 | 8, 9, 31 | 3syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![z z](_z.gif)
![E. E.](exists.gif) ![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![z z](_z.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) |
33 | 30, 32 | bitrd 187 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![z z](_z.gif)
![E. E.](exists.gif) ![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![z z](_z.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) |
34 | 3 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif)
![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
35 | 5 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif)
![S S](_cs.gif) ![) )](rp.gif) |
36 | 6 | adantlr 469 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![om om](omega.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![C C](_cc.gif) ![S S](_cs.gif) ![) )](rp.gif) ![(
(](lp.gif) ![x x](_x.gif) ![F F](_cf.gif) ![y y](_y.gif) ![S S](_cs.gif) ![) )](rp.gif) |
37 | | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif)
![om om](omega.gif) ![) )](rp.gif) |
38 | 34, 4, 35, 36, 7, 37 | frec2uzrdg 10213 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif)
![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![<. <.](langle.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![2nd 2nd](_2nd.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![`
`](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![) )](rp.gif) |
39 | 38 | eqeq1d 2149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![`
`](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![z z](_z.gif) ![<.
<.](langle.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![)
)](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![2nd 2nd](_2nd.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![)
)](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![z z](_z.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) |
40 | | vex 2692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
![_V
_V](rmcv.gif) |
41 | | vex 2692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
![_V
_V](rmcv.gif) |
42 | 40, 41 | opth2 4170 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
![( (](lp.gif) ![<. <.](langle.gif) ![(
(](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![)
)](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![2nd 2nd](_2nd.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![)
)](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![z z](_z.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![`
`](backtick.gif) ![w w](_w.gif)
![( (](lp.gif) ![2nd 2nd](_2nd.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![) )](rp.gif) ![z z](_z.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
43 | 42 | simplbi 272 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
![( (](lp.gif) ![<. <.](langle.gif) ![(
(](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![)
)](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![2nd 2nd](_2nd.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![)
)](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![z z](_z.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![`
`](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![v v](_v.gif) ![) )](rp.gif) |
44 | 39, 43 | syl6bi 162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![`
`](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![z z](_z.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![v v](_v.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
45 | | f1ocnvfv 5688 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![C C](_cc.gif)
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![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![G G](_cg.gif) ![`
`](backtick.gif) ![v v](_v.gif) ![w w](_w.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
46 | 23, 45 | sylan 281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![`
`](backtick.gif) ![w w](_w.gif)
![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![v v](_v.gif) ![w w](_w.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
47 | 44, 46 | syld 45 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif)
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48 | | fveq2 5429 |
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49 | 48 | fveq2d 5433 |
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50 | 47, 49 | syl6 33 |
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51 | 50 | imp 123 |
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52 | 40, 41 | op2ndd 6055 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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53 | 52 | adantl 275 |
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54 | 51, 53 | eqtr2d 2174 |
. . . . . . . . . . . . 13
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55 | 54 | ex 114 |
. . . . . . . . . . . 12
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56 | 55 | rexlimdva 2552 |
. . . . . . . . . . 11
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57 | 33, 56 | sylbid 149 |
. . . . . . . . . 10
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58 | 57 | alrimiv 1847 |
. . . . . . . . 9
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59 | 58 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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60 | | eqeq2 2150 |
. . . . . . . . . . 11
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61 | 60 | imbi2d 229 |
. . . . . . . . . 10
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62 | 61 | albidv 1797 |
. . . . . . . . 9
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63 | 62 | spcegv 2777 |
. . . . . . . 8
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64 | 29, 59, 63 | sylc 62 |
. . . . . . 7
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. . . . . . . 8
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67 | 64, 66 | syl 14 |
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68 | | dmss 4746 |
. . . . . . . . . . 11
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69 | 18, 68 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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70 | | dmxpss 4977 |
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71 | 69, 70 | sstrdi 3114 |
. . . . . . . . 9
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72 | 3 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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73 | 5 | adantr 274 |
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74 | 6 | adantlr 469 |
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75 | | simpr 109 |
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76 | 72, 4, 73, 74, 7, 75 | frecuzrdglem 10215 |
. . . . . . . . . . . . 13
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77 | 1 | eleq2d 2210 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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78 | 77 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
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