Theorem tfr1onlemres 6558

Description: Lemma for tfr1on 6559. Recursion is defined on an ordinal if the characteristic function is defined up to a suitable point. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfr1on.f	|- F = recs ( G )
tfr1on.g	|- ( ph -> Fun G )
tfr1on.x	|- ( ph -> Ord X )
tfr1on.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
tfr1onlemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfr1onlemres.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfr1onlemres.yx	|- ( ph -> Y e. X )

Assertion

Ref	Expression
tfr1onlemres	|- ( ph -> Y C_ dom F )

Distinct variable groups:   x, A   f, G, x, y   f, X, x   f, Y, x   ph, f, x

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( y, f)   F( x, y, f)   X( y)   Y( y)

Proof of Theorem tfr1onlemres

Dummy variables g h z u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfr1on.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Ord X )
2	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> Ord X )
3		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> z e. Y )
4		tfr1onlemres.yx	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. X )
5	4	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> Y e. X )
6	3, 5	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> ( z e. Y /\ Y e. X ) )
7		ordtr1 4491	. . . . . . . . 9 |- ( Ord X -> ( ( z e. Y /\ Y e. X ) -> z e. X ) )
8	2, 6, 7	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> z e. X )
9		tfr1on.f	. . . . . . . . 9 |- F = recs ( G )
10		tfr1on.g	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Fun G )
11		tfr1on.ex	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
12		tfr1onlemsucfn.1	. . . . . . . . 9 |- A = { f | E. x e. X ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
13		tfr1onlemres.u	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
14	9, 10, 1, 11, 12, 13	tfr1onlemaccex 6557	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> E. g ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
15	8, 14	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> E. g ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
16	10	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> Fun G )
17	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> Ord X )
18	11	3adant1r 1258	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
19	18	3adant1r 1258	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
20	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> Y e. X )
21	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> z e. Y )
22	13	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
23	22	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
24		simprl 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> g Fn z )
25		fneq2 5426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = z -> ( g Fn w <-> g Fn z ) )
26		raleq 2731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = z -> ( A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) <-> A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
27	25, 26	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = z -> ( ( g Fn w /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) <-> ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) )
28	27	rspcev 2911	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. X /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> E. w e. X ( g Fn w /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
29	8, 28	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> E. w e. X ( g Fn w /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
30		vex 2806	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
31	12	tfr1onlem3ag 6546	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. _V -> ( g e. A <-> E. w e. X ( g Fn w /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. A <-> E. w e. X ( g Fn w /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
33	29, 32	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> g e. A )
34	9, 16, 17, 19, 12, 20, 21, 23, 24, 33	tfr1onlemsucaccv 6550	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A )
35		vex 2806	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
36		fneq2 5426	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( g Fn x <-> g Fn z ) )
37	36	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( ( g Fn x -> ( G ` g ) e. _V ) <-> ( g Fn z -> ( G ` g ) e. _V ) ) )
38	11	3expia 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
39	38	alrimiv 1922	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
40		fneq1 5425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = g -> ( f Fn x <-> g Fn x ) )
41		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = g -> ( G ` f ) = ( G ` g ) )
42	41	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = g -> ( ( G ` f ) e. _V <-> ( G ` g ) e. _V ) )
43	40, 42	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = g -> ( ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) <-> ( g Fn x -> ( G ` g ) e. _V ) ) )
44	43	spv 1908	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) -> ( g Fn x -> ( G ` g ) e. _V ) )
45	39, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( g Fn x -> ( G ` g ) e. _V ) )
46	45	ralrimiva 2606	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X ( g Fn x -> ( G ` g ) e. _V ) )
47	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> A. x e. X ( g Fn x -> ( G ` g ) e. _V ) )
48	37, 47, 8	rspcdva 2916	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> ( g Fn z -> ( G ` g ) e. _V ) )
49	48	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ g Fn z ) -> ( G ` g ) e. _V )
50	24, 49	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> ( G ` g ) e. _V )
51		opexg 4326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. _V /\ ( G ` g ) e. _V ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
52	35, 50, 51	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
53		snidg 3702	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. _V -> <. z , ( G ` g ) >. e. { <. z , ( G ` g ) >. } )
54		elun2 3377	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. { <. z , ( G ` g ) >. } -> <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
55	52, 53, 54	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
56		opeldmg 4942	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. _V /\ ( G ` g ) e. _V ) -> ( <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
57	35, 50, 56	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> ( <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
58	55, 57	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
59		dmeq 4937	. . . . . . . . . 10 |- ( h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> dom h = dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
60	59	eleq2d 2301	. . . . . . . . 9 |- ( h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( z e. dom h <-> z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
61	60	rspcev 2911	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A /\ z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> E. h e. A z e. dom h )
62	34, 58, 61	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> E. h e. A z e. dom h )
63	15, 62	exlimddv 1947	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> E. h e. A z e. dom h )
64		eliun 3979	. . . . . 6 |- ( z e. U_ h e. A dom h <-> E. h e. A z e. dom h )
65	63, 64	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> z e. U_ h e. A dom h )
66	65	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. Y -> z e. U_ h e. A dom h ) )
67	66	ssrdv 3234	. . 3 |- ( ph -> Y C_ U_ h e. A dom h )
68		dmuni 4947	. . . 4 |- dom U. A = U_ h e. A dom h
69	12, 1	tfr1onlemssrecs 6548	. . . . 5 |- ( ph -> U. A C_ recs ( G ) )
70		dmss 4936	. . . . 5 |- ( U. A C_ recs ( G ) -> dom U. A C_ dom recs ( G ) )
71	69, 70	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom U. A C_ dom recs ( G ) )
72	68, 71	eqsstrrid 3275	. . 3 |- ( ph -> U_ h e. A dom h C_ dom recs ( G ) )
73	67, 72	sstrd 3238	. 2 |- ( ph -> Y C_ dom recs ( G ) )
74	9	dmeqi 4938	. 2 |- dom F = dom recs ( G )
75	73, 74	sseqtrrdi 3277	1 |- ( ph -> Y C_ dom F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   {cab 2217   A.wral 2511   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   u. cun 3199   C_ wss 3201   {csn 3673   <.cop 3676   U.cuni 3898   U_ciun 3975   Ord word 4465   suc csuc 4468   dom cdm 4731   |` cres 4733   Fun wfun 5327   Fn wfn 5328   ` cfv 5333  recscrecs 6513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-recs 6514

This theorem is referenced by:  tfr1on  6559