Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfr1onlemres Unicode version

Theorem tfr1onlemres 6212
 Description: Lemma for tfr1on 6213. Recursion is defined on an ordinal if the characteristic function is defined up to a suitable point. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfr1on.f recs
tfr1on.g
tfr1on.x
tfr1on.ex
tfr1onlemsucfn.1
tfr1onlemres.u
tfr1onlemres.yx
Assertion
Ref Expression
tfr1onlemres
Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,,)   ()   ()

Proof of Theorem tfr1onlemres
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfr1on.x . . . . . . . . . 10
21adantr 272 . . . . . . . . 9
3 simpr 109 . . . . . . . . . 10
4 tfr1onlemres.yx . . . . . . . . . . 11
54adantr 272 . . . . . . . . . 10
63, 5jca 302 . . . . . . . . 9
7 ordtr1 4278 . . . . . . . . 9
82, 6, 7sylc 62 . . . . . . . 8
9 tfr1on.f . . . . . . . . 9 recs
10 tfr1on.g . . . . . . . . 9
11 tfr1on.ex . . . . . . . . 9
12 tfr1onlemsucfn.1 . . . . . . . . 9
13 tfr1onlemres.u . . . . . . . . 9
149, 10, 1, 11, 12, 13tfr1onlemaccex 6211 . . . . . . . 8
158, 14syldan 278 . . . . . . 7
1610ad2antrr 477 . . . . . . . . 9
171ad2antrr 477 . . . . . . . . 9
18113adant1r 1192 . . . . . . . . . 10
19183adant1r 1192 . . . . . . . . 9
204ad2antrr 477 . . . . . . . . 9
213adantr 272 . . . . . . . . 9
2213adantlr 466 . . . . . . . . . 10
2322adantlr 466 . . . . . . . . 9
24 simprl 503 . . . . . . . . 9
25 fneq2 5180 . . . . . . . . . . . . 13
26 raleq 2601 . . . . . . . . . . . . 13
2725, 26anbi12d 462 . . . . . . . . . . . 12
2827rspcev 2761 . . . . . . . . . . 11
298, 28sylan 279 . . . . . . . . . 10
30 vex 2661 . . . . . . . . . . 11
3112tfr1onlem3ag 6200 . . . . . . . . . . 11
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
3329, 32sylibr 133 . . . . . . . . 9
349, 16, 17, 19, 12, 20, 21, 23, 24, 33tfr1onlemsucaccv 6204 . . . . . . . 8
35 vex 2661 . . . . . . . . . . 11
36 fneq2 5180 . . . . . . . . . . . . . . 15
3736imbi1d 230 . . . . . . . . . . . . . 14
38113expia 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3938alrimiv 1828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
40 fneq1 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
41 fveq2 5387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4241eleq1d 2184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4340, 42imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4443spv 1814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4539, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4645ralrimiva 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15
4746adantr 272 . . . . . . . . . . . . . 14
4837, 47, 8rspcdva 2766 . . . . . . . . . . . . 13
4948imp 123 . . . . . . . . . . . 12
5024, 49syldan 278 . . . . . . . . . . 11
51 opexg 4118 . . . . . . . . . . 11
5235, 50, 51sylancr 408 . . . . . . . . . 10
53 snidg 3522 . . . . . . . . . 10
54 elun2 3212 . . . . . . . . . 10
5552, 53, 543syl 17 . . . . . . . . 9
56 opeldmg 4712 . . . . . . . . . 10
5735, 50, 56sylancr 408 . . . . . . . . 9
5855, 57mpd 13 . . . . . . . 8
59 dmeq 4707 . . . . . . . . . 10
6059eleq2d 2185 . . . . . . . . 9
6160rspcev 2761 . . . . . . . 8
6234, 58, 61syl2anc 406 . . . . . . 7
6315, 62exlimddv 1852 . . . . . 6
64 eliun 3785 . . . . . 6
6563, 64sylibr 133 . . . . 5
6665ex 114 . . . 4
6766ssrdv 3071 . . 3
68 dmuni 4717 . . . 4
6912, 1tfr1onlemssrecs 6202 . . . . 5 recs
70 dmss 4706 . . . . 5 recs recs
7169, 70syl 14 . . . 4 recs
7268, 71eqsstrrid 3112 . . 3 recs
7367, 72sstrd 3075 . 2 recs
749dmeqi 4708 . 2 recs
7573, 74sseqtrrdi 3114 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 945  wal 1312   wceq 1314  wex 1451   wcel 1463  cab 2101  wral 2391  wrex 2392  cvv 2658   cun 3037   wss 3039  csn 3495  cop 3498  cuni 3704  ciun 3781   word 4252   csuc 4255   cdm 4507   cres 4509   wfun 5085   wfn 5086  cfv 5091  recscrecs 6167 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-recs 6168 This theorem is referenced by:  tfr1on  6213
 Copyright terms: Public domain W3C validator