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Theorem tfr1onlemres 6096
Description: Lemma for tfr1on 6097. Recursion is defined on an ordinal if the characteristic function is defined up to a suitable point. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfr1on.f  |-  F  = recs ( G )
tfr1on.g  |-  ( ph  ->  Fun  G )
tfr1on.x  |-  ( ph  ->  Ord  X )
tfr1on.ex  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f  Fn  x
)  ->  ( G `  f )  e.  _V )
tfr1onlemsucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfr1onlemres.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
tfr1onlemres.yx  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
Assertion
Ref Expression
tfr1onlemres  |-  ( ph  ->  Y  C_  dom  F )
Distinct variable groups:    x, A    f, G, x, y    f, X, x    f, Y, x    ph, f, x
Allowed substitution hints:    ph( y)    A( y,
f)    F( x, y, f)    X( y)    Y( y)

Proof of Theorem tfr1onlemres
Dummy variables  g  h  z  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfr1on.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Ord  X )
21adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  Ord  X )
3 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  z  e.  Y )
4 tfr1onlemres.yx . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
54adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  Y  e.  X )
63, 5jca 300 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  (
z  e.  Y  /\  Y  e.  X )
)
7 ordtr1 4206 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
X  ->  ( (
z  e.  Y  /\  Y  e.  X )  ->  z  e.  X ) )
82, 6, 7sylc 61 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  z  e.  X )
9 tfr1on.f . . . . . . . . 9  |-  F  = recs ( G )
10 tfr1on.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Fun  G )
11 tfr1on.ex . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f  Fn  x
)  ->  ( G `  f )  e.  _V )
12 tfr1onlemsucfn.1 . . . . . . . . 9  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
13 tfr1onlemres.u . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
149, 10, 1, 11, 12, 13tfr1onlemaccex 6095 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  E. g
( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )
158, 14syldan 276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  E. g
( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )
1610ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  Fun  G )
171ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  Ord  X )
18113adant1r 1167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  x  e.  X  /\  f  Fn  x )  ->  ( G `  f )  e.  _V )
19183adant1r 1167 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  ( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )  /\  x  e.  X  /\  f  Fn  x )  ->  ( G `  f )  e.  _V )
204ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  Y  e.  X
)
213adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  z  e.  Y
)
2213adantlr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
2322adantlr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  ( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )  /\  x  e. 
U. X )  ->  suc  x  e.  X )
24 simprl 498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  g  Fn  z
)
25 fneq2 5089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  (
g  Fn  w  <->  g  Fn  z ) )
26 raleq 2562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  ( A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
2725, 26anbi12d 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  (
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) )  <-> 
( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )
2827rspcev 2722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )  ->  E. w  e.  X  ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
298, 28sylan 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  E. w  e.  X  ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )
30 vex 2622 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
3112tfr1onlem3ag 6084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  _V  ->  (
g  e.  A  <->  E. w  e.  X  ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
3230, 31ax-mp 7 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  A  <->  E. w  e.  X  ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
3329, 32sylibr 132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  g  e.  A
)
349, 16, 17, 19, 12, 20, 21, 23, 24, 33tfr1onlemsucaccv 6088 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  e.  A
)
35 vex 2622 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
36 fneq2 5089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
g  Fn  x  <->  g  Fn  z ) )
3736imbi1d 229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( g  Fn  x  ->  ( G `  g
)  e.  _V )  <->  ( g  Fn  z  -> 
( G `  g
)  e.  _V )
) )
38113expia 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
f  Fn  x  -> 
( G `  f
)  e.  _V )
)
3938alrimiv 1802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. f
( f  Fn  x  ->  ( G `  f
)  e.  _V )
)
40 fneq1 5088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  g  ->  (
f  Fn  x  <->  g  Fn  x ) )
41 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  g  ->  ( G `  f )  =  ( G `  g ) )
4241eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  g  ->  (
( G `  f
)  e.  _V  <->  ( G `  g )  e.  _V ) )
4340, 42imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  g  ->  (
( f  Fn  x  ->  ( G `  f
)  e.  _V )  <->  ( g  Fn  x  -> 
( G `  g
)  e.  _V )
) )
4443spv 1788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. f ( f  Fn  x  ->  ( G `  f )  e.  _V )  ->  ( g  Fn  x  ->  ( G `  g )  e.  _V ) )
4539, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
g  Fn  x  -> 
( G `  g
)  e.  _V )
)
4645ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( g  Fn  x  ->  ( G `  g
)  e.  _V )
)
4746adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  A. x  e.  X  ( g  Fn  x  ->  ( G `
 g )  e. 
_V ) )
4837, 47, 8rspcdva 2727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  (
g  Fn  z  -> 
( G `  g
)  e.  _V )
)
4948imp 122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  g  Fn  z )  ->  ( G `  g )  e.  _V )
5024, 49syldan 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  ( G `  g )  e.  _V )
51 opexg 4046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( G `  g )  e.  _V )  ->  <. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V )
5235, 50, 51sylancr 405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  <. z ,  ( G `  g )
>.  e.  _V )
53 snidg 3468 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V  ->  <. z ,  ( G `  g
) >.  e.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )
54 elun2 3166 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
z ,  ( G `
 g ) >.  e.  { <. z ,  ( G `  g )
>. }  ->  <. z ,  ( G `  g
) >.  e.  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) )
5552, 53, 543syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  <. z ,  ( G `  g )
>.  e.  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) )
56 opeldmg 4629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( G `  g )  e.  _V )  -> 
( <. z ,  ( G `  g )
>.  e.  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  z  e.  dom  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )
5735, 50, 56sylancr 405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  ( <. z ,  ( G `  g ) >.  e.  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  ->  z  e.  dom  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) ) )
5855, 57mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  z  e.  dom  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) )
59 dmeq 4624 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  dom  h  =  dom  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) )
6059eleq2d 2157 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  (
z  e.  dom  h  <->  z  e.  dom  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )
6160rspcev 2722 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  A  /\  z  e.  dom  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) )  ->  E. h  e.  A  z  e.  dom  h )
6234, 58, 61syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  E. h  e.  A  z  e.  dom  h )
6315, 62exlimddv 1826 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  E. h  e.  A  z  e.  dom  h )
64 eliun 3729 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U_ h  e.  A  dom  h  <->  E. h  e.  A  z  e.  dom  h )
6563, 64sylibr 132 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  z  e.  U_ h  e.  A  dom  h )
6665ex 113 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Y  ->  z  e.  U_ h  e.  A  dom  h ) )
6766ssrdv 3029 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  C_  U_ h  e.  A  dom  h )
68 dmuni 4634 . . . 4  |-  dom  U. A  =  U_ h  e.  A  dom  h
6912, 1tfr1onlemssrecs 6086 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. A  C_ recs ( G ) )
70 dmss 4623 . . . . 5  |-  ( U. A  C_ recs ( G )  ->  dom  U. A  C_  dom recs ( G ) )
7169, 70syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  U. A  C_  dom recs ( G ) )
7268, 71syl5eqssr 3069 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ h  e.  A  dom  h  C_  dom recs ( G ) )
7367, 72sstrd 3033 . 2  |-  ( ph  ->  Y  C_  dom recs ( G ) )
749dmeqi 4625 . 2  |-  dom  F  =  dom recs ( G )
7573, 74syl6sseqr 3071 1  |-  ( ph  ->  Y  C_  dom  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924   A.wal 1287    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   E.wrex 2360   _Vcvv 2619    u. cun 2995    C_ wss 2997   {csn 3441   <.cop 3444   U.cuni 3648   U_ciun 3725   Ord word 4180   suc csuc 4183   dom cdm 4428    |` cres 4430   Fun wfun 4996    Fn wfn 4997   ` cfv 5002  recscrecs 6051
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-recs 6052
This theorem is referenced by:  tfr1on  6097
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