Theorem tfr1onlemres 6246

Description: Lemma for tfr1on 6247. Recursion is defined on an ordinal if the characteristic function is defined up to a suitable point. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfr1on.f	|- F = recs ( G )
tfr1on.g	|- ( ph -> Fun G )
tfr1on.x	|- ( ph -> Ord X )
tfr1on.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
tfr1onlemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfr1onlemres.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfr1onlemres.yx	|- ( ph -> Y e. X )

Assertion

Ref	Expression
tfr1onlemres	|- ( ph -> Y C_ dom F )

Distinct variable groups:   x, A   f, G, x, y   f, X, x   f, Y, x   ph, f, x

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( y, f)   F( x, y, f)   X( y)   Y( y)

Proof of Theorem tfr1onlemres

Dummy variables g h z u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfr1on.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Ord X )
2	1	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> Ord X )
3		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> z e. Y )
4		tfr1onlemres.yx	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. X )
5	4	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> Y e. X )
6	3, 5	jca 304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> ( z e. Y /\ Y e. X ) )
7		ordtr1 4310	. . . . . . . . 9 |- ( Ord X -> ( ( z e. Y /\ Y e. X ) -> z e. X ) )
8	2, 6, 7	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> z e. X )
9		tfr1on.f	. . . . . . . . 9 |- F = recs ( G )
10		tfr1on.g	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Fun G )
11		tfr1on.ex	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
12		tfr1onlemsucfn.1	. . . . . . . . 9 |- A = { f | E. x e. X ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
13		tfr1onlemres.u	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
14	9, 10, 1, 11, 12, 13	tfr1onlemaccex 6245	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> E. g ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
15	8, 14	syldan 280	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> E. g ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
16	10	ad2antrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> Fun G )
17	1	ad2antrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> Ord X )
18	11	3adant1r 1209	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
19	18	3adant1r 1209	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
20	4	ad2antrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> Y e. X )
21	3	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> z e. Y )
22	13	adantlr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
23	22	adantlr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
24		simprl 520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> g Fn z )
25		fneq2 5212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = z -> ( g Fn w <-> g Fn z ) )
26		raleq 2626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = z -> ( A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) <-> A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
27	25, 26	anbi12d 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = z -> ( ( g Fn w /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) <-> ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) )
28	27	rspcev 2789	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. X /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> E. w e. X ( g Fn w /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
29	8, 28	sylan 281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> E. w e. X ( g Fn w /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
30		vex 2689	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
31	12	tfr1onlem3ag 6234	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. _V -> ( g e. A <-> E. w e. X ( g Fn w /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. A <-> E. w e. X ( g Fn w /\ A. u e. w ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) )
33	29, 32	sylibr 133	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> g e. A )
34	9, 16, 17, 19, 12, 20, 21, 23, 24, 33	tfr1onlemsucaccv 6238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A )
35		vex 2689	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
36		fneq2 5212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( g Fn x <-> g Fn z ) )
37	36	imbi1d 230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( ( g Fn x -> ( G ` g ) e. _V ) <-> ( g Fn z -> ( G ` g ) e. _V ) ) )
38	11	3expia 1183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
39	38	alrimiv 1846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
40		fneq1 5211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = g -> ( f Fn x <-> g Fn x ) )
41		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = g -> ( G ` f ) = ( G ` g ) )
42	41	eleq1d 2208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = g -> ( ( G ` f ) e. _V <-> ( G ` g ) e. _V ) )
43	40, 42	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = g -> ( ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) <-> ( g Fn x -> ( G ` g ) e. _V ) ) )
44	43	spv 1832	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) -> ( g Fn x -> ( G ` g ) e. _V ) )
45	39, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( g Fn x -> ( G ` g ) e. _V ) )
46	45	ralrimiva 2505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X ( g Fn x -> ( G ` g ) e. _V ) )
47	46	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> A. x e. X ( g Fn x -> ( G ` g ) e. _V ) )
48	37, 47, 8	rspcdva 2794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> ( g Fn z -> ( G ` g ) e. _V ) )
49	48	imp 123	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ g Fn z ) -> ( G ` g ) e. _V )
50	24, 49	syldan 280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> ( G ` g ) e. _V )
51		opexg 4150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. _V /\ ( G ` g ) e. _V ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
52	35, 50, 51	sylancr 410	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
53		snidg 3554	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. _V -> <. z , ( G ` g ) >. e. { <. z , ( G ` g ) >. } )
54		elun2 3244	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. { <. z , ( G ` g ) >. } -> <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
55	52, 53, 54	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
56		opeldmg 4744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. _V /\ ( G ` g ) e. _V ) -> ( <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
57	35, 50, 56	sylancr 410	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> ( <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
58	55, 57	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
59		dmeq 4739	. . . . . . . . . 10 |- ( h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> dom h = dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
60	59	eleq2d 2209	. . . . . . . . 9 |- ( h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( z e. dom h <-> z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
61	60	rspcev 2789	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A /\ z e. dom ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> E. h e. A z e. dom h )
62	34, 58, 61	syl2anc 408	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. Y ) /\ ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) ) -> E. h e. A z e. dom h )
63	15, 62	exlimddv 1870	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> E. h e. A z e. dom h )
64		eliun 3817	. . . . . 6 |- ( z e. U_ h e. A dom h <-> E. h e. A z e. dom h )
65	63, 64	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. Y ) -> z e. U_ h e. A dom h )
66	65	ex 114	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. Y -> z e. U_ h e. A dom h ) )
67	66	ssrdv 3103	. . 3 |- ( ph -> Y C_ U_ h e. A dom h )
68		dmuni 4749	. . . 4 |- dom U. A = U_ h e. A dom h
69	12, 1	tfr1onlemssrecs 6236	. . . . 5 |- ( ph -> U. A C_ recs ( G ) )
70		dmss 4738	. . . . 5 |- ( U. A C_ recs ( G ) -> dom U. A C_ dom recs ( G ) )
71	69, 70	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom U. A C_ dom recs ( G ) )
72	68, 71	eqsstrrid 3144	. . 3 |- ( ph -> U_ h e. A dom h C_ dom recs ( G ) )
73	67, 72	sstrd 3107	. 2 |- ( ph -> Y C_ dom recs ( G ) )
74	9	dmeqi 4740	. 2 |- dom F = dom recs ( G )
75	73, 74	sseqtrrdi 3146	1 |- ( ph -> Y C_ dom F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   A.wal 1329   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   {cab 2125   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   u. cun 3069   C_ wss 3071   {csn 3527   <.cop 3530   U.cuni 3736   U_ciun 3813   Ord word 4284   suc csuc 4287   dom cdm 4539   |` cres 4541   Fun wfun 5117   Fn wfn 5118   ` cfv 5123  recscrecs 6201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-recs 6202

This theorem is referenced by:  tfr1on  6247