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Theorem tfr1onlemres 6046
Description: Lemma for tfr1on 6047. Recursion is defined on an ordinal if the characteristic function is defined up to a suitable point. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfr1on.f  |-  F  = recs ( G )
tfr1on.g  |-  ( ph  ->  Fun  G )
tfr1on.x  |-  ( ph  ->  Ord  X )
tfr1on.ex  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f  Fn  x
)  ->  ( G `  f )  e.  _V )
tfr1onlemsucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfr1onlemres.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
tfr1onlemres.yx  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
Assertion
Ref Expression
tfr1onlemres  |-  ( ph  ->  Y  C_  dom  F )
Distinct variable groups:    x, A    f, G, x, y    f, X, x    f, Y, x    ph, f, x
Allowed substitution hints:    ph( y)    A( y,
f)    F( x, y, f)    X( y)    Y( y)

Proof of Theorem tfr1onlemres
Dummy variables  g  h  z  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfr1on.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Ord  X )
21adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  Ord  X )
3 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  z  e.  Y )
4 tfr1onlemres.yx . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
54adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  Y  e.  X )
63, 5jca 300 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  (
z  e.  Y  /\  Y  e.  X )
)
7 ordtr1 4179 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
X  ->  ( (
z  e.  Y  /\  Y  e.  X )  ->  z  e.  X ) )
82, 6, 7sylc 61 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  z  e.  X )
9 tfr1on.f . . . . . . . . 9  |-  F  = recs ( G )
10 tfr1on.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Fun  G )
11 tfr1on.ex . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f  Fn  x
)  ->  ( G `  f )  e.  _V )
12 tfr1onlemsucfn.1 . . . . . . . . 9  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
13 tfr1onlemres.u . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
149, 10, 1, 11, 12, 13tfr1onlemaccex 6045 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  E. g
( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )
158, 14syldan 276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  E. g
( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )
1610ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  Fun  G )
171ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  Ord  X )
18113adant1r 1163 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  x  e.  X  /\  f  Fn  x )  ->  ( G `  f )  e.  _V )
19183adant1r 1163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  ( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )  /\  x  e.  X  /\  f  Fn  x )  ->  ( G `  f )  e.  _V )
204ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  Y  e.  X
)
213adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  z  e.  Y
)
2213adantlr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
2322adantlr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  ( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )  /\  x  e. 
U. X )  ->  suc  x  e.  X )
24 simprl 498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  g  Fn  z
)
25 fneq2 5056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  (
g  Fn  w  <->  g  Fn  z ) )
26 raleq 2555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  ( A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) )  <->  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
2725, 26anbi12d 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  (
( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) )  <-> 
( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) ) )
2827rspcev 2712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )  ->  E. w  e.  X  ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
298, 28sylan 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  E. w  e.  X  ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )
30 vex 2615 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
3112tfr1onlem3ag 6034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  _V  ->  (
g  e.  A  <->  E. w  e.  X  ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
3230, 31ax-mp 7 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  A  <->  E. w  e.  X  ( g  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
3329, 32sylibr 132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  g  e.  A
)
349, 16, 17, 19, 12, 20, 21, 23, 24, 33tfr1onlemsucaccv 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  e.  A
)
35 vex 2615 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
36 fneq2 5056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
g  Fn  x  <->  g  Fn  z ) )
3736imbi1d 229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( g  Fn  x  ->  ( G `  g
)  e.  _V )  <->  ( g  Fn  z  -> 
( G `  g
)  e.  _V )
) )
38113expia 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
f  Fn  x  -> 
( G `  f
)  e.  _V )
)
3938alrimiv 1797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. f
( f  Fn  x  ->  ( G `  f
)  e.  _V )
)
40 fneq1 5055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  g  ->  (
f  Fn  x  <->  g  Fn  x ) )
41 fveq2 5253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  g  ->  ( G `  f )  =  ( G `  g ) )
4241eleq1d 2151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  g  ->  (
( G `  f
)  e.  _V  <->  ( G `  g )  e.  _V ) )
4340, 42imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  g  ->  (
( f  Fn  x  ->  ( G `  f
)  e.  _V )  <->  ( g  Fn  x  -> 
( G `  g
)  e.  _V )
) )
4443spv 1783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. f ( f  Fn  x  ->  ( G `  f )  e.  _V )  ->  ( g  Fn  x  ->  ( G `  g )  e.  _V ) )
4539, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
g  Fn  x  -> 
( G `  g
)  e.  _V )
)
4645ralrimiva 2440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( g  Fn  x  ->  ( G `  g
)  e.  _V )
)
4746adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  A. x  e.  X  ( g  Fn  x  ->  ( G `
 g )  e. 
_V ) )
4837, 47, 8rspcdva 2717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  (
g  Fn  z  -> 
( G `  g
)  e.  _V )
)
4948imp 122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  g  Fn  z )  ->  ( G `  g )  e.  _V )
5024, 49syldan 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  ( G `  g )  e.  _V )
51 opexg 4019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( G `  g )  e.  _V )  ->  <. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V )
5235, 50, 51sylancr 405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  <. z ,  ( G `  g )
>.  e.  _V )
53 snidg 3447 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V  ->  <. z ,  ( G `  g
) >.  e.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )
54 elun2 3152 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
z ,  ( G `
 g ) >.  e.  { <. z ,  ( G `  g )
>. }  ->  <. z ,  ( G `  g
) >.  e.  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) )
5552, 53, 543syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  <. z ,  ( G `  g )
>.  e.  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) )
56 opeldmg 4599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( G `  g )  e.  _V )  -> 
( <. z ,  ( G `  g )
>.  e.  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  z  e.  dom  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )
5735, 50, 56sylancr 405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  ( <. z ,  ( G `  g ) >.  e.  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  ->  z  e.  dom  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) ) )
5855, 57mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  z  e.  dom  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) )
59 dmeq 4594 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  dom  h  =  dom  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) )
6059eleq2d 2152 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  (
z  e.  dom  h  <->  z  e.  dom  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )
6160rspcev 2712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  A  /\  z  e.  dom  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) )  ->  E. h  e.  A  z  e.  dom  h )
6234, 58, 61syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  Y )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) )  ->  E. h  e.  A  z  e.  dom  h )
6315, 62exlimddv 1821 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  E. h  e.  A  z  e.  dom  h )
64 eliun 3708 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U_ h  e.  A  dom  h  <->  E. h  e.  A  z  e.  dom  h )
6563, 64sylibr 132 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y )  ->  z  e.  U_ h  e.  A  dom  h )
6665ex 113 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Y  ->  z  e.  U_ h  e.  A  dom  h ) )
6766ssrdv 3016 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  C_  U_ h  e.  A  dom  h )
68 dmuni 4604 . . . 4  |-  dom  U. A  =  U_ h  e.  A  dom  h
6912, 1tfr1onlemssrecs 6036 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. A  C_ recs ( G ) )
70 dmss 4593 . . . . 5  |-  ( U. A  C_ recs ( G )  ->  dom  U. A  C_  dom recs ( G ) )
7169, 70syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  U. A  C_  dom recs ( G ) )
7268, 71syl5eqssr 3055 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ h  e.  A  dom  h  C_  dom recs ( G ) )
7367, 72sstrd 3020 . 2  |-  ( ph  ->  Y  C_  dom recs ( G ) )
749dmeqi 4595 . 2  |-  dom  F  =  dom recs ( G )
7573, 74syl6sseqr 3057 1  |-  ( ph  ->  Y  C_  dom  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920   A.wal 1283    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   {cab 2069   A.wral 2353   E.wrex 2354   _Vcvv 2612    u. cun 2982    C_ wss 2984   {csn 3422   <.cop 3425   U.cuni 3627   U_ciun 3704   Ord word 4153   suc csuc 4156   dom cdm 4401    |` cres 4403   Fun wfun 4963    Fn wfn 4964   ` cfv 4969  recscrecs 6001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-recs 6002
This theorem is referenced by:  tfr1on  6047
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