Theorem ovidi 6010

Description: The value of an operation class abstraction (weak version). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovidi.2	|- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E* z ph )
ovidi.3	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) }

Assertion

Ref	Expression
ovidi	|- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ph -> ( x F y ) = z ) )

Distinct variable groups:   x, y, z   z, R   z, S

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   R( x, y)   S( x, y)   F( x, y, z)

Proof of Theorem ovidi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovidi.2	. . . 4 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E* z ph )
2		moanimv 2113	. . . 4 |- ( E* z ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) <-> ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E* z ph ) )
3	1, 2	mpbir 146	. . 3 |- E* z ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph )
4		ovidi.3	. . 3 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) }
5	3, 4	ovidig 6009	. 2 |- ( ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) -> ( x F y ) = z )
6	5	ex 115	1 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ph -> ( x F y ) = z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   E*wmo 2039   e. wcel 2160  (class class class)co 5891   {coprab 5892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-setind 4551

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895

This theorem is referenced by:  ovmpt4g  6014  ovi3  6028