Theorem ovidi 6197

Description: The value of an operation class abstraction (weak version). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovidi.2	|- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E* z ph )
ovidi.3	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) }

Assertion

Ref	Expression
ovidi	|- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ph -> ( x F y ) = z ) )

Distinct variable groups:   x, y, z   z, R   z, S

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   R( x, y)   S( x, y)   F( x, y, z)

Proof of Theorem ovidi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovidi.2	. . . 4 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E* z ph )
2		moanimv 2162	. . . 4 |- ( E* z ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) <-> ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E* z ph ) )
3	1, 2	mpbir 146	. . 3 |- E* z ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph )
4		ovidi.3	. . 3 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) }
5	3, 4	ovidig 6196	. 2 |- ( ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) -> ( x F y ) = z )
6	5	ex 115	1 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ph -> ( x F y ) = z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E*wmo 2087   e. wcel 2209  (class class class)co 6075   {coprab 6076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079

This theorem is referenced by:  ovmpt4g  6201  ovi3  6216