Theorem ovidi 6139

Description: The value of an operation class abstraction (weak version). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovidi.2	|- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E* z ph )
ovidi.3	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) }

Assertion

Ref	Expression
ovidi	|- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ph -> ( x F y ) = z ) )

Distinct variable groups:   x, y, z   z, R   z, S

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   R( x, y)   S( x, y)   F( x, y, z)

Proof of Theorem ovidi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovidi.2	. . . 4 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E* z ph )
2		moanimv 2155	. . . 4 |- ( E* z ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) <-> ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E* z ph ) )
3	1, 2	mpbir 146	. . 3 |- E* z ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph )
4		ovidi.3	. . 3 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) }
5	3, 4	ovidig 6138	. 2 |- ( ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) -> ( x F y ) = z )
6	5	ex 115	1 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ph -> ( x F y ) = z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   E*wmo 2080   e. wcel 2202  (class class class)co 6017   {coprab 6018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021

This theorem is referenced by:  ovmpt4g  6143  ovi3  6158