Theorem ovidi 5889

Description: The value of an operation class abstraction (weak version). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovidi.2	|- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E* z ph )
ovidi.3	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) }

Assertion

Ref	Expression
ovidi	|- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ph -> ( x F y ) = z ) )

Distinct variable groups:   x, y, z   z, R   z, S

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   R( x, y)   S( x, y)   F( x, y, z)

Proof of Theorem ovidi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovidi.2	. . . 4 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E* z ph )
2		moanimv 2074	. . . 4 |- ( E* z ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) <-> ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E* z ph ) )
3	1, 2	mpbir 145	. . 3 |- E* z ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph )
4		ovidi.3	. . 3 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) }
5	3, 4	ovidig 5888	. 2 |- ( ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) -> ( x F y ) = z )
6	5	ex 114	1 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( ph -> ( x F y ) = z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   E*wmo 2000  (class class class)co 5774   {coprab 5775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778

This theorem is referenced by:  ovmpt4g  5893  ovi3  5907