Theorem ovidi 6082

Description: The value of an operation class abstraction (weak version). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovidi.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∃*𝑧𝜑)
ovidi.3	⊢ 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}

Assertion

Ref	Expression
ovidi	⊢ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝜑 → (𝑥𝐹𝑦) = 𝑧))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ovidi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovidi.2	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∃*𝑧𝜑)
2		moanimv 2130	. . . 4 ⊢ (∃*𝑧((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∃*𝑧𝜑))
3	1, 2	mpbir 146	. . 3 ⊢ ∃*𝑧((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)
4		ovidi.3	. . 3 ⊢ 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}
5	3, 4	ovidig 6081	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑) → (𝑥𝐹𝑦) = 𝑧)
6	5	ex 115	1 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝜑 → (𝑥𝐹𝑦) = 𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373  ∃*wmo 2056   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5962  {coprab 5963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-setind 4598

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966

This theorem is referenced by:  ovmpt4g  6086  ovi3  6101