Theorem ovidig 6206

Description: The value of an operation class abstraction. Compare ovidi 6207. The condition ( x e. R /\ y e. S ) is been removed. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovidig.1	|- E* z ph
ovidig.2	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
ovidig	|- ( ph -> ( x F y ) = z )

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem ovidig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6088	. 2 |- ( x F y ) = ( F ` <. x , y >. )
2		ovidig.1	. . . . 5 |- E* z ph
3	2	funoprab 6188	. . . 4 |- Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph }
4		ovidig.2	. . . . 5 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }
5	4	funeqi 5398	. . . 4 |- ( Fun F <-> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
6	3, 5	mpbir 146	. . 3 |- Fun F
7		oprabid 6117	. . . . 5 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> ph )
8	7	biimpri 133	. . . 4 |- ( ph -> <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
9	8, 4	eleqtrrdi 2332	. . 3 |- ( ph -> <. <. x , y >. , z >. e. F )
10		funopfv 5740	. . 3 |- ( Fun F -> ( <. <. x , y >. , z >. e. F -> ( F ` <. x , y >. ) = z ) )
11	6, 9, 10	mpsyl 65	. 2 |- ( ph -> ( F ` <. x , y >. ) = z )
12	1, 11	eqtrid 2283	1 |- ( ph -> ( x F y ) = z )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   E*wmo 2087   e. wcel 2209   <.cop 3712   Fun wfun 5371   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   {coprab 6086

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089

This theorem is used by:  ovidi  6207