Theorem ovidig 6122

Description: The value of an operation class abstraction. Compare ovidi 6123. The condition ( x e. R /\ y e. S ) is been removed. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovidig.1	|- E* z ph
ovidig.2	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
ovidig	|- ( ph -> ( x F y ) = z )

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem ovidig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6004	. 2 |- ( x F y ) = ( F ` <. x , y >. )
2		ovidig.1	. . . . 5 |- E* z ph
3	2	funoprab 6104	. . . 4 |- Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph }
4		ovidig.2	. . . . 5 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }
5	4	funeqi 5339	. . . 4 |- ( Fun F <-> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
6	3, 5	mpbir 146	. . 3 |- Fun F
7		oprabid 6033	. . . . 5 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> ph )
8	7	biimpri 133	. . . 4 |- ( ph -> <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
9	8, 4	eleqtrrdi 2323	. . 3 |- ( ph -> <. <. x , y >. , z >. e. F )
10		funopfv 5671	. . 3 |- ( Fun F -> ( <. <. x , y >. , z >. e. F -> ( F ` <. x , y >. ) = z ) )
11	6, 9, 10	mpsyl 65	. 2 |- ( ph -> ( F ` <. x , y >. ) = z )
12	1, 11	eqtrid 2274	1 |- ( ph -> ( x F y ) = z )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   E*wmo 2078   e. wcel 2200   <.cop 3669   Fun wfun 5312   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   {coprab 6002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005

This theorem is referenced by:  ovidi  6123