ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ovidig Unicode version

Theorem ovidig 5856
Description: The value of an operation class abstraction. Compare ovidi 5857. The condition  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) is been removed. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovidig.1  |-  E* z ph
ovidig.2  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
Assertion
Ref Expression
ovidig  |-  ( ph  ->  ( x F y )  =  z )
Distinct variable group:    x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    F( x, y, z)

Proof of Theorem ovidig
StepHypRef Expression
1 df-ov 5745 . 2  |-  ( x F y )  =  ( F `  <. x ,  y >. )
2 ovidig.1 . . . . 5  |-  E* z ph
32funoprab 5839 . . . 4  |-  Fun  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
4 ovidig.2 . . . . 5  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
54funeqi 5114 . . . 4  |-  ( Fun 
F  <->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph } )
63, 5mpbir 145 . . 3  |-  Fun  F
7 oprabid 5771 . . . . 5  |-  ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  <->  ph )
87biimpri 132 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  e. 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } )
98, 4eleqtrrdi 2211 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  F )
10 funopfv 5429 . . 3  |-  ( Fun 
F  ->  ( <. <.
x ,  y >. ,  z >.  e.  F  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z ) )
116, 9, 10mpsyl 65 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z )
121, 11syl5eq 2162 1  |-  ( ph  ->  ( x F y )  =  z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1316    e. wcel 1465   E*wmo 1978   <.cop 3500   Fun wfun 5087   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   {coprab 5743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-setind 4422
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746
This theorem is referenced by:  ovidi  5857
  Copyright terms: Public domain W3C validator