Theorem ovidig 5992

Description: The value of an operation class abstraction. Compare ovidi 5993. The condition ( x e. R /\ y e. S ) is been removed. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovidig.1	|- E* z ph
ovidig.2	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
ovidig	|- ( ph -> ( x F y ) = z )

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem ovidig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5878	. 2 |- ( x F y ) = ( F ` <. x , y >. )
2		ovidig.1	. . . . 5 |- E* z ph
3	2	funoprab 5975	. . . 4 |- Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph }
4		ovidig.2	. . . . 5 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }
5	4	funeqi 5238	. . . 4 |- ( Fun F <-> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
6	3, 5	mpbir 146	. . 3 |- Fun F
7		oprabid 5907	. . . . 5 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> ph )
8	7	biimpri 133	. . . 4 |- ( ph -> <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
9	8, 4	eleqtrrdi 2271	. . 3 |- ( ph -> <. <. x , y >. , z >. e. F )
10		funopfv 5556	. . 3 |- ( Fun F -> ( <. <. x , y >. , z >. e. F -> ( F ` <. x , y >. ) = z ) )
11	6, 9, 10	mpsyl 65	. 2 |- ( ph -> ( F ` <. x , y >. ) = z )
12	1, 11	eqtrid 2222	1 |- ( ph -> ( x F y ) = z )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   E*wmo 2027   e. wcel 2148   <.cop 3596   Fun wfun 5211   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   {coprab 5876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-setind 4537

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879

This theorem is referenced by:  ovidi  5993