Theorem ovidig 6149

Description: The value of an operation class abstraction. Compare ovidi 6150. The condition ( x e. R /\ y e. S ) is been removed. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovidig.1	|- E* z ph
ovidig.2	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
ovidig	|- ( ph -> ( x F y ) = z )

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem ovidig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6031	. 2 |- ( x F y ) = ( F ` <. x , y >. )
2		ovidig.1	. . . . 5 |- E* z ph
3	2	funoprab 6131	. . . 4 |- Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph }
4		ovidig.2	. . . . 5 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }
5	4	funeqi 5354	. . . 4 |- ( Fun F <-> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
6	3, 5	mpbir 146	. . 3 |- Fun F
7		oprabid 6060	. . . . 5 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> ph )
8	7	biimpri 133	. . . 4 |- ( ph -> <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
9	8, 4	eleqtrrdi 2325	. . 3 |- ( ph -> <. <. x , y >. , z >. e. F )
10		funopfv 5692	. . 3 |- ( Fun F -> ( <. <. x , y >. , z >. e. F -> ( F ` <. x , y >. ) = z ) )
11	6, 9, 10	mpsyl 65	. 2 |- ( ph -> ( F ` <. x , y >. ) = z )
12	1, 11	eqtrid 2276	1 |- ( ph -> ( x F y ) = z )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   E*wmo 2080   e. wcel 2202   <.cop 3676   Fun wfun 5327   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   {coprab 6029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032

This theorem is referenced by:  ovidi  6150