ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ovidig Unicode version

Theorem ovidig 5744
Description: The value of an operation class abstraction. Compare ovidi 5745. The condition  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) is been removed. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovidig.1  |-  E* z ph
ovidig.2  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
Assertion
Ref Expression
ovidig  |-  ( ph  ->  ( x F y )  =  z )
Distinct variable group:    x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    F( x, y, z)

Proof of Theorem ovidig
StepHypRef Expression
1 df-ov 5637 . 2  |-  ( x F y )  =  ( F `  <. x ,  y >. )
2 ovidig.1 . . . . 5  |-  E* z ph
32funoprab 5727 . . . 4  |-  Fun  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
4 ovidig.2 . . . . 5  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
54funeqi 5022 . . . 4  |-  ( Fun 
F  <->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph } )
63, 5mpbir 144 . . 3  |-  Fun  F
7 oprabid 5663 . . . . 5  |-  ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  <->  ph )
87biimpri 131 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  e. 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } )
98, 4syl6eleqr 2181 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  F )
10 funopfv 5328 . . 3  |-  ( Fun 
F  ->  ( <. <.
x ,  y >. ,  z >.  e.  F  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z ) )
116, 9, 10mpsyl 64 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z )
121, 11syl5eq 2132 1  |-  ( ph  ->  ( x F y )  =  z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1289    e. wcel 1438   E*wmo 1949   <.cop 3444   Fun wfun 4996   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   {coprab 5635
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-setind 4343
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638
This theorem is referenced by:  ovidi  5745
  Copyright terms: Public domain W3C validator