Theorem nnmsucr 6289

Description: Multiplication with successor. Exercise 16 of [Enderton] p. 82. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnmsucr	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) )

Proof of Theorem nnmsucr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5698	. . . . 5 |- ( x = B -> ( suc A .o x ) = ( suc A .o B ) )
2		oveq2 5698	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( A .o x ) = ( A .o B ) )
3		id 19	. . . . . 6 |- ( x = B -> x = B )
4	2, 3	oveq12d 5708	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( A .o x ) +o x ) = ( ( A .o B ) +o B ) )
5	1, 4	eqeq12d 2109	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) <-> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) ) )
6	5	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. om -> ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) ) <-> ( A e. om -> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) ) ) )
7		oveq2 5698	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( suc A .o x ) = ( suc A .o (/) ) )
8		oveq2 5698	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( A .o x ) = ( A .o (/) ) )
9		id 19	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> x = (/) )
10	8, 9	oveq12d 5708	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( A .o x ) +o x ) = ( ( A .o (/) ) +o (/) ) )
11	7, 10	eqeq12d 2109	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) <-> ( suc A .o (/) ) = ( ( A .o (/) ) +o (/) ) ) )
12		oveq2 5698	. . . . 5 |- ( x = y -> ( suc A .o x ) = ( suc A .o y ) )
13		oveq2 5698	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A .o x ) = ( A .o y ) )
14		id 19	. . . . . 6 |- ( x = y -> x = y )
15	13, 14	oveq12d 5708	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A .o x ) +o x ) = ( ( A .o y ) +o y ) )
16	12, 15	eqeq12d 2109	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) <-> ( suc A .o y ) = ( ( A .o y ) +o y ) ) )
17		oveq2 5698	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( suc A .o x ) = ( suc A .o suc y ) )
18		oveq2 5698	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( A .o x ) = ( A .o suc y ) )
19		id 19	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> x = suc y )
20	18, 19	oveq12d 5708	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ( A .o x ) +o x ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) )
21	17, 20	eqeq12d 2109	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) <-> ( suc A .o suc y ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) ) )
22		peano2 4438	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> suc A e. om )
23		nnm0 6276	. . . . . . 7 |- ( suc A e. om -> ( suc A .o (/) ) = (/) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( suc A .o (/) ) = (/) )
25		nnm0 6276	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) = (/) )
26	24, 25	eqtr4d 2130	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( suc A .o (/) ) = ( A .o (/) ) )
27		peano1 4437	. . . . . . 7 |- (/) e. om
28		nnmcl 6282	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ (/) e. om ) -> ( A .o (/) ) e. om )
29	27, 28	mpan2 417	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) e. om )
30		nna0 6275	. . . . . 6 |- ( ( A .o (/) ) e. om -> ( ( A .o (/) ) +o (/) ) = ( A .o (/) ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( ( A .o (/) ) +o (/) ) = ( A .o (/) ) )
32	26, 31	eqtr4d 2130	. . . 4 |- ( A e. om -> ( suc A .o (/) ) = ( ( A .o (/) ) +o (/) ) )
33		oveq1 5697	. . . . . 6 |- ( ( suc A .o y ) = ( ( A .o y ) +o y ) -> ( ( suc A .o y ) +o suc A ) = ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) )
34		peano2b 4457	. . . . . . . 8 |- ( A e. om <-> suc A e. om )
35		nnmsuc 6278	. . . . . . . 8 |- ( ( suc A e. om /\ y e. om ) -> ( suc A .o suc y ) = ( ( suc A .o y ) +o suc A ) )
36	34, 35	sylanb 279	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( suc A .o suc y ) = ( ( suc A .o y ) +o suc A ) )
37		nnmcl 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A .o y ) e. om )
38		peano2b 4457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om <-> suc y e. om )
39		nnaass 6286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ A e. om /\ suc y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
40	38, 39	syl3an3b 1219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
41	37, 40	syl3an1 1214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
42	41	3expb 1147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ ( A e. om /\ y e. om ) ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
43	42	anidms 390	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
44		nnmsuc 6278	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A .o suc y ) = ( ( A .o y ) +o A ) )
45	44	oveq1d 5705	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o suc y ) +o suc y ) = ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) )
46		nnaass 6286	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ y e. om /\ suc A e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
47	34, 46	syl3an3b 1219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ y e. om /\ A e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
48	37, 47	syl3an1 1214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ y e. om /\ A e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
49	48	3expb 1147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ ( y e. om /\ A e. om ) ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
50	49	an42s 557	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ ( A e. om /\ y e. om ) ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
51	50	anidms 390	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
52		nnacom 6285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o y ) = ( y +o A ) )
53		suceq 4253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A +o y ) = ( y +o A ) -> suc ( A +o y ) = suc ( y +o A ) )
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> suc ( A +o y ) = suc ( y +o A ) )
55		nnasuc 6277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
56		nnasuc 6277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ A e. om ) -> ( y +o suc A ) = suc ( y +o A ) )
57	56	ancoms 265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( y +o suc A ) = suc ( y +o A ) )
58	54, 55, 57	3eqtr4d 2137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o suc y ) = ( y +o suc A ) )
59	58	oveq2d 5706	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
60	51, 59	eqtr4d 2130	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
61	43, 45, 60	3eqtr4d 2137	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o suc y ) +o suc y ) = ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) )
62	36, 61	eqeq12d 2109	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( suc A .o suc y ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) <-> ( ( suc A .o y ) +o suc A ) = ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) ) )
63	33, 62	syl5ibr 155	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( suc A .o y ) = ( ( A .o y ) +o y ) -> ( suc A .o suc y ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) ) )
64	63	expcom 115	. . . 4 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( ( suc A .o y ) = ( ( A .o y ) +o y ) -> ( suc A .o suc y ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) ) ) )
65	11, 16, 21, 32, 64	finds2 4444	. . 3 |- ( x e. om -> ( A e. om -> ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) ) )
66	6, 65	vtoclga 2699	. 2 |- ( B e. om -> ( A e. om -> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) ) )
67	66	impcom 124	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1296   e. wcel 1445   (/)c0 3302   suc csuc 4216   omcom 4433  (class class class)co 5690   +o coa 6216   .o comu 6217

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-oadd 6223  df-omul 6224

This theorem is referenced by:  nnmcom  6290