Theorem nnmsucr 6392

Description: Multiplication with successor. Exercise 16 of [Enderton] p. 82. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnmsucr	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) )

Proof of Theorem nnmsucr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5790	. . . . 5 |- ( x = B -> ( suc A .o x ) = ( suc A .o B ) )
2		oveq2 5790	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( A .o x ) = ( A .o B ) )
3		id 19	. . . . . 6 |- ( x = B -> x = B )
4	2, 3	oveq12d 5800	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( A .o x ) +o x ) = ( ( A .o B ) +o B ) )
5	1, 4	eqeq12d 2155	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) <-> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) ) )
6	5	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. om -> ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) ) <-> ( A e. om -> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) ) ) )
7		oveq2 5790	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( suc A .o x ) = ( suc A .o (/) ) )
8		oveq2 5790	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( A .o x ) = ( A .o (/) ) )
9		id 19	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> x = (/) )
10	8, 9	oveq12d 5800	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( A .o x ) +o x ) = ( ( A .o (/) ) +o (/) ) )
11	7, 10	eqeq12d 2155	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) <-> ( suc A .o (/) ) = ( ( A .o (/) ) +o (/) ) ) )
12		oveq2 5790	. . . . 5 |- ( x = y -> ( suc A .o x ) = ( suc A .o y ) )
13		oveq2 5790	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A .o x ) = ( A .o y ) )
14		id 19	. . . . . 6 |- ( x = y -> x = y )
15	13, 14	oveq12d 5800	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A .o x ) +o x ) = ( ( A .o y ) +o y ) )
16	12, 15	eqeq12d 2155	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) <-> ( suc A .o y ) = ( ( A .o y ) +o y ) ) )
17		oveq2 5790	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( suc A .o x ) = ( suc A .o suc y ) )
18		oveq2 5790	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( A .o x ) = ( A .o suc y ) )
19		id 19	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> x = suc y )
20	18, 19	oveq12d 5800	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ( A .o x ) +o x ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) )
21	17, 20	eqeq12d 2155	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) <-> ( suc A .o suc y ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) ) )
22		peano2 4517	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> suc A e. om )
23		nnm0 6379	. . . . . . 7 |- ( suc A e. om -> ( suc A .o (/) ) = (/) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( suc A .o (/) ) = (/) )
25		nnm0 6379	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) = (/) )
26	24, 25	eqtr4d 2176	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( suc A .o (/) ) = ( A .o (/) ) )
27		peano1 4516	. . . . . . 7 |- (/) e. om
28		nnmcl 6385	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ (/) e. om ) -> ( A .o (/) ) e. om )
29	27, 28	mpan2 422	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) e. om )
30		nna0 6378	. . . . . 6 |- ( ( A .o (/) ) e. om -> ( ( A .o (/) ) +o (/) ) = ( A .o (/) ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( ( A .o (/) ) +o (/) ) = ( A .o (/) ) )
32	26, 31	eqtr4d 2176	. . . 4 |- ( A e. om -> ( suc A .o (/) ) = ( ( A .o (/) ) +o (/) ) )
33		oveq1 5789	. . . . . 6 |- ( ( suc A .o y ) = ( ( A .o y ) +o y ) -> ( ( suc A .o y ) +o suc A ) = ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) )
34		peano2b 4536	. . . . . . . 8 |- ( A e. om <-> suc A e. om )
35		nnmsuc 6381	. . . . . . . 8 |- ( ( suc A e. om /\ y e. om ) -> ( suc A .o suc y ) = ( ( suc A .o y ) +o suc A ) )
36	34, 35	sylanb 282	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( suc A .o suc y ) = ( ( suc A .o y ) +o suc A ) )
37		nnmcl 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A .o y ) e. om )
38		peano2b 4536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om <-> suc y e. om )
39		nnaass 6389	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ A e. om /\ suc y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
40	38, 39	syl3an3b 1255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
41	37, 40	syl3an1 1250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
42	41	3expb 1183	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ ( A e. om /\ y e. om ) ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
43	42	anidms 395	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
44		nnmsuc 6381	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A .o suc y ) = ( ( A .o y ) +o A ) )
45	44	oveq1d 5797	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o suc y ) +o suc y ) = ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) )
46		nnaass 6389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ y e. om /\ suc A e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
47	34, 46	syl3an3b 1255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ y e. om /\ A e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
48	37, 47	syl3an1 1250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ y e. om /\ A e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
49	48	3expb 1183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ ( y e. om /\ A e. om ) ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
50	49	an42s 579	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ ( A e. om /\ y e. om ) ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
51	50	anidms 395	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
52		nnacom 6388	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o y ) = ( y +o A ) )
53		suceq 4332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A +o y ) = ( y +o A ) -> suc ( A +o y ) = suc ( y +o A ) )
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> suc ( A +o y ) = suc ( y +o A ) )
55		nnasuc 6380	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
56		nnasuc 6380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ A e. om ) -> ( y +o suc A ) = suc ( y +o A ) )
57	56	ancoms 266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( y +o suc A ) = suc ( y +o A ) )
58	54, 55, 57	3eqtr4d 2183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o suc y ) = ( y +o suc A ) )
59	58	oveq2d 5798	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
60	51, 59	eqtr4d 2176	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
61	43, 45, 60	3eqtr4d 2183	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o suc y ) +o suc y ) = ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) )
62	36, 61	eqeq12d 2155	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( suc A .o suc y ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) <-> ( ( suc A .o y ) +o suc A ) = ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) ) )
63	33, 62	syl5ibr 155	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( suc A .o y ) = ( ( A .o y ) +o y ) -> ( suc A .o suc y ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) ) )
64	63	expcom 115	. . . 4 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( ( suc A .o y ) = ( ( A .o y ) +o y ) -> ( suc A .o suc y ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) ) ) )
65	11, 16, 21, 32, 64	finds2 4523	. . 3 |- ( x e. om -> ( A e. om -> ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) ) )
66	6, 65	vtoclga 2755	. 2 |- ( B e. om -> ( A e. om -> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) ) )
67	66	impcom 124	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   (/)c0 3368   suc csuc 4295   omcom 4512  (class class class)co 5782   +o coa 6318   .o comu 6319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-oadd 6325  df-omul 6326

This theorem is referenced by:  nnmcom  6393