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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > nnmsucr | Unicode version |
Description: Multiplication with successor. Exercise 16 of [Enderton] p. 82. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.) |
Ref | Expression |
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nnmsucr |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | oveq2 5698 |
. . . . 5
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2 | oveq2 5698 |
. . . . . 6
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3 | id 19 |
. . . . . 6
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4 | 2, 3 | oveq12d 5708 |
. . . . 5
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5 | 1, 4 | eqeq12d 2109 |
. . . 4
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6 | 5 | imbi2d 229 |
. . 3
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7 | oveq2 5698 |
. . . . 5
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8 | oveq2 5698 |
. . . . . 6
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9 | id 19 |
. . . . . 6
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10 | 8, 9 | oveq12d 5708 |
. . . . 5
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11 | 7, 10 | eqeq12d 2109 |
. . . 4
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12 | oveq2 5698 |
. . . . 5
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13 | oveq2 5698 |
. . . . . 6
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14 | id 19 |
. . . . . 6
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15 | 13, 14 | oveq12d 5708 |
. . . . 5
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16 | 12, 15 | eqeq12d 2109 |
. . . 4
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17 | oveq2 5698 |
. . . . 5
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18 | oveq2 5698 |
. . . . . 6
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19 | id 19 |
. . . . . 6
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20 | 18, 19 | oveq12d 5708 |
. . . . 5
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21 | 17, 20 | eqeq12d 2109 |
. . . 4
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22 | peano2 4438 |
. . . . . . 7
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23 | nnm0 6276 |
. . . . . . 7
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24 | 22, 23 | syl 14 |
. . . . . 6
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25 | nnm0 6276 |
. . . . . 6
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26 | 24, 25 | eqtr4d 2130 |
. . . . 5
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27 | peano1 4437 |
. . . . . . 7
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28 | nnmcl 6282 |
. . . . . . 7
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29 | 27, 28 | mpan2 417 |
. . . . . 6
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30 | nna0 6275 |
. . . . . 6
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31 | 29, 30 | syl 14 |
. . . . 5
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32 | 26, 31 | eqtr4d 2130 |
. . . 4
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33 | oveq1 5697 |
. . . . . 6
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34 | peano2b 4457 |
. . . . . . . 8
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35 | nnmsuc 6278 |
. . . . . . . 8
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36 | 34, 35 | sylanb 279 |
. . . . . . 7
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37 | nnmcl 6282 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | peano2b 4457 |
. . . . . . . . . . . 12
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39 | nnaass 6286 |
. . . . . . . . . . . 12
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40 | 38, 39 | syl3an3b 1219 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | 37, 40 | syl3an1 1214 |
. . . . . . . . . 10
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42 | 41 | 3expb 1147 |
. . . . . . . . 9
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43 | 42 | anidms 390 |
. . . . . . . 8
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44 | nnmsuc 6278 |
. . . . . . . . 9
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45 | 44 | oveq1d 5705 |
. . . . . . . 8
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46 | nnaass 6286 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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47 | 34, 46 | syl3an3b 1219 |
. . . . . . . . . . . . 13
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48 | 37, 47 | syl3an1 1214 |
. . . . . . . . . . . 12
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49 | 48 | 3expb 1147 |
. . . . . . . . . . 11
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50 | 49 | an42s 557 |
. . . . . . . . . 10
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51 | 50 | anidms 390 |
. . . . . . . . 9
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52 | nnacom 6285 |
. . . . . . . . . . . 12
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53 | suceq 4253 |
. . . . . . . . . . . 12
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54 | 52, 53 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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55 | nnasuc 6277 |
. . . . . . . . . . 11
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56 | nnasuc 6277 |
. . . . . . . . . . . 12
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57 | 56 | ancoms 265 |
. . . . . . . . . . 11
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58 | 54, 55, 57 | 3eqtr4d 2137 |
. . . . . . . . . 10
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59 | 58 | oveq2d 5706 |
. . . . . . . . 9
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60 | 51, 59 | eqtr4d 2130 |
. . . . . . . 8
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61 | 43, 45, 60 | 3eqtr4d 2137 |
. . . . . . 7
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62 | 36, 61 | eqeq12d 2109 |
. . . . . 6
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63 | 33, 62 | syl5ibr 155 |
. . . . 5
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64 | 63 | expcom 115 |
. . . 4
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65 | 11, 16, 21, 32, 64 | finds2 4444 |
. . 3
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66 | 6, 65 | vtoclga 2699 |
. 2
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67 | 66 | impcom 124 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 582 ax-in2 583 ax-io 668 ax-5 1388 ax-7 1389 ax-gen 1390 ax-ie1 1434 ax-ie2 1435 ax-8 1447 ax-10 1448 ax-11 1449 ax-i12 1450 ax-bndl 1451 ax-4 1452 ax-13 1456 ax-14 1457 ax-17 1471 ax-i9 1475 ax-ial 1479 ax-i5r 1480 ax-ext 2077 ax-coll 3975 ax-sep 3978 ax-nul 3986 ax-pow 4030 ax-pr 4060 ax-un 4284 ax-setind 4381 ax-iinf 4431 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 929 df-tru 1299 df-fal 1302 df-nf 1402 df-sb 1700 df-eu 1958 df-mo 1959 df-clab 2082 df-cleq 2088 df-clel 2091 df-nfc 2224 df-ne 2263 df-ral 2375 df-rex 2376 df-reu 2377 df-rab 2379 df-v 2635 df-sbc 2855 df-csb 2948 df-dif 3015 df-un 3017 df-in 3019 df-ss 3026 df-nul 3303 df-pw 3451 df-sn 3472 df-pr 3473 df-op 3475 df-uni 3676 df-int 3711 df-iun 3754 df-br 3868 df-opab 3922 df-mpt 3923 df-tr 3959 df-id 4144 df-iord 4217 df-on 4219 df-suc 4222 df-iom 4434 df-xp 4473 df-rel 4474 df-cnv 4475 df-co 4476 df-dm 4477 df-rn 4478 df-res 4479 df-ima 4480 df-iota 5014 df-fun 5051 df-fn 5052 df-f 5053 df-f1 5054 df-fo 5055 df-f1o 5056 df-fv 5057 df-ov 5693 df-oprab 5694 df-mpt2 5695 df-1st 5949 df-2nd 5950 df-recs 6108 df-irdg 6173 df-oadd 6223 df-omul 6224 |
This theorem is referenced by: nnmcom 6290 |
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