Theorem nnmsucr 6467

Description: Multiplication with successor. Exercise 16 of [Enderton] p. 82. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnmsucr	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) )

Proof of Theorem nnmsucr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5861	. . . . 5 |- ( x = B -> ( suc A .o x ) = ( suc A .o B ) )
2		oveq2 5861	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( A .o x ) = ( A .o B ) )
3		id 19	. . . . . 6 |- ( x = B -> x = B )
4	2, 3	oveq12d 5871	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( A .o x ) +o x ) = ( ( A .o B ) +o B ) )
5	1, 4	eqeq12d 2185	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) <-> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) ) )
6	5	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. om -> ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) ) <-> ( A e. om -> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) ) ) )
7		oveq2 5861	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( suc A .o x ) = ( suc A .o (/) ) )
8		oveq2 5861	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( A .o x ) = ( A .o (/) ) )
9		id 19	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> x = (/) )
10	8, 9	oveq12d 5871	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( A .o x ) +o x ) = ( ( A .o (/) ) +o (/) ) )
11	7, 10	eqeq12d 2185	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) <-> ( suc A .o (/) ) = ( ( A .o (/) ) +o (/) ) ) )
12		oveq2 5861	. . . . 5 |- ( x = y -> ( suc A .o x ) = ( suc A .o y ) )
13		oveq2 5861	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A .o x ) = ( A .o y ) )
14		id 19	. . . . . 6 |- ( x = y -> x = y )
15	13, 14	oveq12d 5871	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A .o x ) +o x ) = ( ( A .o y ) +o y ) )
16	12, 15	eqeq12d 2185	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) <-> ( suc A .o y ) = ( ( A .o y ) +o y ) ) )
17		oveq2 5861	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( suc A .o x ) = ( suc A .o suc y ) )
18		oveq2 5861	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( A .o x ) = ( A .o suc y ) )
19		id 19	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> x = suc y )
20	18, 19	oveq12d 5871	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ( A .o x ) +o x ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) )
21	17, 20	eqeq12d 2185	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) <-> ( suc A .o suc y ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) ) )
22		peano2 4579	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> suc A e. om )
23		nnm0 6454	. . . . . . 7 |- ( suc A e. om -> ( suc A .o (/) ) = (/) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( suc A .o (/) ) = (/) )
25		nnm0 6454	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) = (/) )
26	24, 25	eqtr4d 2206	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( suc A .o (/) ) = ( A .o (/) ) )
27		peano1 4578	. . . . . . 7 |- (/) e. om
28		nnmcl 6460	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ (/) e. om ) -> ( A .o (/) ) e. om )
29	27, 28	mpan2 423	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) e. om )
30		nna0 6453	. . . . . 6 |- ( ( A .o (/) ) e. om -> ( ( A .o (/) ) +o (/) ) = ( A .o (/) ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( ( A .o (/) ) +o (/) ) = ( A .o (/) ) )
32	26, 31	eqtr4d 2206	. . . 4 |- ( A e. om -> ( suc A .o (/) ) = ( ( A .o (/) ) +o (/) ) )
33		oveq1 5860	. . . . . 6 |- ( ( suc A .o y ) = ( ( A .o y ) +o y ) -> ( ( suc A .o y ) +o suc A ) = ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) )
34		peano2b 4599	. . . . . . . 8 |- ( A e. om <-> suc A e. om )
35		nnmsuc 6456	. . . . . . . 8 |- ( ( suc A e. om /\ y e. om ) -> ( suc A .o suc y ) = ( ( suc A .o y ) +o suc A ) )
36	34, 35	sylanb 282	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( suc A .o suc y ) = ( ( suc A .o y ) +o suc A ) )
37		nnmcl 6460	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A .o y ) e. om )
38		peano2b 4599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om <-> suc y e. om )
39		nnaass 6464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ A e. om /\ suc y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
40	38, 39	syl3an3b 1271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
41	37, 40	syl3an1 1266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
42	41	3expb 1199	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ ( A e. om /\ y e. om ) ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
43	42	anidms 395	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
44		nnmsuc 6456	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A .o suc y ) = ( ( A .o y ) +o A ) )
45	44	oveq1d 5868	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o suc y ) +o suc y ) = ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) )
46		nnaass 6464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ y e. om /\ suc A e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
47	34, 46	syl3an3b 1271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ y e. om /\ A e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
48	37, 47	syl3an1 1266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ y e. om /\ A e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
49	48	3expb 1199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ ( y e. om /\ A e. om ) ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
50	49	an42s 584	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ ( A e. om /\ y e. om ) ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
51	50	anidms 395	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
52		nnacom 6463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o y ) = ( y +o A ) )
53		suceq 4387	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A +o y ) = ( y +o A ) -> suc ( A +o y ) = suc ( y +o A ) )
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> suc ( A +o y ) = suc ( y +o A ) )
55		nnasuc 6455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
56		nnasuc 6455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ A e. om ) -> ( y +o suc A ) = suc ( y +o A ) )
57	56	ancoms 266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( y +o suc A ) = suc ( y +o A ) )
58	54, 55, 57	3eqtr4d 2213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o suc y ) = ( y +o suc A ) )
59	58	oveq2d 5869	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
60	51, 59	eqtr4d 2206	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
61	43, 45, 60	3eqtr4d 2213	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o suc y ) +o suc y ) = ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) )
62	36, 61	eqeq12d 2185	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( suc A .o suc y ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) <-> ( ( suc A .o y ) +o suc A ) = ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) ) )
63	33, 62	syl5ibr 155	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( suc A .o y ) = ( ( A .o y ) +o y ) -> ( suc A .o suc y ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) ) )
64	63	expcom 115	. . . 4 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( ( suc A .o y ) = ( ( A .o y ) +o y ) -> ( suc A .o suc y ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) ) ) )
65	11, 16, 21, 32, 64	finds2 4585	. . 3 |- ( x e. om -> ( A e. om -> ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) ) )
66	6, 65	vtoclga 2796	. 2 |- ( B e. om -> ( A e. om -> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) ) )
67	66	impcom 124	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   (/)c0 3414   suc csuc 4350   omcom 4574  (class class class)co 5853   +o coa 6392   .o comu 6393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400

This theorem is referenced by:  nnmcom  6468