Theorem limom 4680

Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 5-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
limom	|- Lim om

Proof of Theorem limom

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 4673	. 2 |- Ord om
2		peano1 4660	. 2 |- (/) e. om
3		vex 2779	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
4	3	sucex 4565	. . . . . . . 8 |- suc x e. _V
5	4	isseti 2785	. . . . . . 7 |- E. z z = suc x
6		peano2 4661	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> suc x e. om )
7	3	sucid 4482	. . . . . . . . 9 |- x e. suc x
8	6, 7	jctil 312	. . . . . . . 8 |- ( x e. om -> ( x e. suc x /\ suc x e. om ) )
9		eleq2 2271	. . . . . . . . 9 |- ( z = suc x -> ( x e. z <-> x e. suc x ) )
10		eleq1 2270	. . . . . . . . 9 |- ( z = suc x -> ( z e. om <-> suc x e. om ) )
11	9, 10	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( z = suc x -> ( ( x e. z /\ z e. om ) <-> ( x e. suc x /\ suc x e. om ) ) )
12	8, 11	imbitrrid 156	. . . . . . 7 |- ( z = suc x -> ( x e. om -> ( x e. z /\ z e. om ) ) )
13	5, 12	eximii 1626	. . . . . 6 |- E. z ( x e. om -> ( x e. z /\ z e. om ) )
14	13	19.37aiv 1699	. . . . 5 |- ( x e. om -> E. z ( x e. z /\ z e. om ) )
15		eluni 3867	. . . . 5 |- ( x e. U. om <-> E. z ( x e. z /\ z e. om ) )
16	14, 15	sylibr 134	. . . 4 |- ( x e. om -> x e. U. om )
17	16	ssriv 3205	. . 3 |- om C_ U. om
18		orduniss 4490	. . . 4 |- ( Ord om -> U. om C_ om )
19	1, 18	ax-mp 5	. . 3 |- U. om C_ om
20	17, 19	eqssi 3217	. 2 |- om = U. om
21		dflim2 4435	. 2 |- ( Lim om <-> ( Ord om /\ (/) e. om /\ om = U. om ) )
22	1, 2, 20, 21	mpbir3an 1182	1 |- Lim om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   C_ wss 3174   (/)c0 3468   U.cuni 3864   Ord word 4427   Lim wlim 4429   suc csuc 4430   omcom 4656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-uni 3865  df-int 3900  df-tr 4159  df-iord 4431  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657

This theorem is referenced by:  freccllem  6511  frecfcllem  6513  frecsuclem  6515