Theorem limom 4487

Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 5-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
limom	|- Lim om

Proof of Theorem limom

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 4480	. 2 |- Ord om
2		peano1 4468	. 2 |- (/) e. om
3		vex 2660	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
4	3	sucex 4375	. . . . . . . 8 |- suc x e. _V
5	4	isseti 2665	. . . . . . 7 |- E. z z = suc x
6		peano2 4469	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> suc x e. om )
7	3	sucid 4299	. . . . . . . . 9 |- x e. suc x
8	6, 7	jctil 308	. . . . . . . 8 |- ( x e. om -> ( x e. suc x /\ suc x e. om ) )
9		eleq2 2178	. . . . . . . . 9 |- ( z = suc x -> ( x e. z <-> x e. suc x ) )
10		eleq1 2177	. . . . . . . . 9 |- ( z = suc x -> ( z e. om <-> suc x e. om ) )
11	9, 10	anbi12d 462	. . . . . . . 8 |- ( z = suc x -> ( ( x e. z /\ z e. om ) <-> ( x e. suc x /\ suc x e. om ) ) )
12	8, 11	syl5ibr 155	. . . . . . 7 |- ( z = suc x -> ( x e. om -> ( x e. z /\ z e. om ) ) )
13	5, 12	eximii 1564	. . . . . 6 |- E. z ( x e. om -> ( x e. z /\ z e. om ) )
14	13	19.37aiv 1636	. . . . 5 |- ( x e. om -> E. z ( x e. z /\ z e. om ) )
15		eluni 3705	. . . . 5 |- ( x e. U. om <-> E. z ( x e. z /\ z e. om ) )
16	14, 15	sylibr 133	. . . 4 |- ( x e. om -> x e. U. om )
17	16	ssriv 3067	. . 3 |- om C_ U. om
18		orduniss 4307	. . . 4 |- ( Ord om -> U. om C_ om )
19	1, 18	ax-mp 7	. . 3 |- U. om C_ om
20	17, 19	eqssi 3079	. 2 |- om = U. om
21		dflim2 4252	. 2 |- ( Lim om <-> ( Ord om /\ (/) e. om /\ om = U. om ) )
22	1, 2, 20, 21	mpbir3an 1146	1 |- Lim om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1314   E.wex 1451   e. wcel 1463   C_ wss 3037   (/)c0 3329   U.cuni 3702   Ord word 4244   Lim wlim 4246   suc csuc 4247   omcom 4464

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-iinf 4462

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-uni 3703  df-int 3738  df-tr 3987  df-iord 4248  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465

This theorem is referenced by:  freccllem  6253  frecfcllem  6255  frecsuclem  6257