Theorem limom 4418

Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 5-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
limom	|- Lim om

Proof of Theorem limom

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 4411	. 2 |- Ord om
2		peano1 4399	. 2 |- (/) e. om
3		vex 2622	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
4	3	sucex 4306	. . . . . . . 8 |- suc x e. _V
5	4	isseti 2627	. . . . . . 7 |- E. z z = suc x
6		peano2 4400	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> suc x e. om )
7	3	sucid 4235	. . . . . . . . 9 |- x e. suc x
8	6, 7	jctil 305	. . . . . . . 8 |- ( x e. om -> ( x e. suc x /\ suc x e. om ) )
9		eleq2 2151	. . . . . . . . 9 |- ( z = suc x -> ( x e. z <-> x e. suc x ) )
10		eleq1 2150	. . . . . . . . 9 |- ( z = suc x -> ( z e. om <-> suc x e. om ) )
11	9, 10	anbi12d 457	. . . . . . . 8 |- ( z = suc x -> ( ( x e. z /\ z e. om ) <-> ( x e. suc x /\ suc x e. om ) ) )
12	8, 11	syl5ibr 154	. . . . . . 7 |- ( z = suc x -> ( x e. om -> ( x e. z /\ z e. om ) ) )
13	5, 12	eximii 1538	. . . . . 6 |- E. z ( x e. om -> ( x e. z /\ z e. om ) )
14	13	19.37aiv 1610	. . . . 5 |- ( x e. om -> E. z ( x e. z /\ z e. om ) )
15		eluni 3651	. . . . 5 |- ( x e. U. om <-> E. z ( x e. z /\ z e. om ) )
16	14, 15	sylibr 132	. . . 4 |- ( x e. om -> x e. U. om )
17	16	ssriv 3027	. . 3 |- om C_ U. om
18		orduniss 4243	. . . 4 |- ( Ord om -> U. om C_ om )
19	1, 18	ax-mp 7	. . 3 |- U. om C_ om
20	17, 19	eqssi 3039	. 2 |- om = U. om
21		dflim2 4188	. 2 |- ( Lim om <-> ( Ord om /\ (/) e. om /\ om = U. om ) )
22	1, 2, 20, 21	mpbir3an 1125	1 |- Lim om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   E.wex 1426   e. wcel 1438   C_ wss 2997   (/)c0 3284   U.cuni 3648   Ord word 4180   Lim wlim 4182   suc csuc 4183   omcom 4395

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-iinf 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-uni 3649  df-int 3684  df-tr 3929  df-iord 4184  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396

This theorem is referenced by:  freccllem  6149  frecfcllem  6151  frecsuclem  6153