Theorem limom 4710

Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 5-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
limom	|- Lim om

Proof of Theorem limom

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 4703	. 2 |- Ord om
2		peano1 4690	. 2 |- (/) e. om
3		vex 2803	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
4	3	sucex 4595	. . . . . . . 8 |- suc x e. _V
5	4	isseti 2809	. . . . . . 7 |- E. z z = suc x
6		peano2 4691	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> suc x e. om )
7	3	sucid 4512	. . . . . . . . 9 |- x e. suc x
8	6, 7	jctil 312	. . . . . . . 8 |- ( x e. om -> ( x e. suc x /\ suc x e. om ) )
9		eleq2 2293	. . . . . . . . 9 |- ( z = suc x -> ( x e. z <-> x e. suc x ) )
10		eleq1 2292	. . . . . . . . 9 |- ( z = suc x -> ( z e. om <-> suc x e. om ) )
11	9, 10	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( z = suc x -> ( ( x e. z /\ z e. om ) <-> ( x e. suc x /\ suc x e. om ) ) )
12	8, 11	imbitrrid 156	. . . . . . 7 |- ( z = suc x -> ( x e. om -> ( x e. z /\ z e. om ) ) )
13	5, 12	eximii 1648	. . . . . 6 |- E. z ( x e. om -> ( x e. z /\ z e. om ) )
14	13	19.37aiv 1721	. . . . 5 |- ( x e. om -> E. z ( x e. z /\ z e. om ) )
15		eluni 3894	. . . . 5 |- ( x e. U. om <-> E. z ( x e. z /\ z e. om ) )
16	14, 15	sylibr 134	. . . 4 |- ( x e. om -> x e. U. om )
17	16	ssriv 3229	. . 3 |- om C_ U. om
18		orduniss 4520	. . . 4 |- ( Ord om -> U. om C_ om )
19	1, 18	ax-mp 5	. . 3 |- U. om C_ om
20	17, 19	eqssi 3241	. 2 |- om = U. om
21		dflim2 4465	. 2 |- ( Lim om <-> ( Ord om /\ (/) e. om /\ om = U. om ) )
22	1, 2, 20, 21	mpbir3an 1203	1 |- Lim om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   C_ wss 3198   (/)c0 3492   U.cuni 3891   Ord word 4457   Lim wlim 4459   suc csuc 4460   omcom 4686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-uni 3892  df-int 3927  df-tr 4186  df-iord 4461  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687

This theorem is referenced by:  freccllem  6563  frecfcllem  6565  frecsuclem  6567