Theorem limom 4591

Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 5-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
limom	|- Lim om

Proof of Theorem limom

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 4584	. 2 |- Ord om
2		peano1 4571	. 2 |- (/) e. om
3		vex 2729	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
4	3	sucex 4476	. . . . . . . 8 |- suc x e. _V
5	4	isseti 2734	. . . . . . 7 |- E. z z = suc x
6		peano2 4572	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> suc x e. om )
7	3	sucid 4395	. . . . . . . . 9 |- x e. suc x
8	6, 7	jctil 310	. . . . . . . 8 |- ( x e. om -> ( x e. suc x /\ suc x e. om ) )
9		eleq2 2230	. . . . . . . . 9 |- ( z = suc x -> ( x e. z <-> x e. suc x ) )
10		eleq1 2229	. . . . . . . . 9 |- ( z = suc x -> ( z e. om <-> suc x e. om ) )
11	9, 10	anbi12d 465	. . . . . . . 8 |- ( z = suc x -> ( ( x e. z /\ z e. om ) <-> ( x e. suc x /\ suc x e. om ) ) )
12	8, 11	syl5ibr 155	. . . . . . 7 |- ( z = suc x -> ( x e. om -> ( x e. z /\ z e. om ) ) )
13	5, 12	eximii 1590	. . . . . 6 |- E. z ( x e. om -> ( x e. z /\ z e. om ) )
14	13	19.37aiv 1663	. . . . 5 |- ( x e. om -> E. z ( x e. z /\ z e. om ) )
15		eluni 3792	. . . . 5 |- ( x e. U. om <-> E. z ( x e. z /\ z e. om ) )
16	14, 15	sylibr 133	. . . 4 |- ( x e. om -> x e. U. om )
17	16	ssriv 3146	. . 3 |- om C_ U. om
18		orduniss 4403	. . . 4 |- ( Ord om -> U. om C_ om )
19	1, 18	ax-mp 5	. . 3 |- U. om C_ om
20	17, 19	eqssi 3158	. 2 |- om = U. om
21		dflim2 4348	. 2 |- ( Lim om <-> ( Ord om /\ (/) e. om /\ om = U. om ) )
22	1, 2, 20, 21	mpbir3an 1169	1 |- Lim om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   C_ wss 3116   (/)c0 3409   U.cuni 3789   Ord word 4340   Lim wlim 4342   suc csuc 4343   omcom 4567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-int 3825  df-tr 4081  df-iord 4344  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568

This theorem is referenced by:  freccllem  6370  frecfcllem  6372  frecsuclem  6374