Theorem limom 4585

Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 5-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
limom	|- Lim om

Proof of Theorem limom

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 4578	. 2 |- Ord om
2		peano1 4565	. 2 |- (/) e. om
3		vex 2724	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
4	3	sucex 4470	. . . . . . . 8 |- suc x e. _V
5	4	isseti 2729	. . . . . . 7 |- E. z z = suc x
6		peano2 4566	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> suc x e. om )
7	3	sucid 4389	. . . . . . . . 9 |- x e. suc x
8	6, 7	jctil 310	. . . . . . . 8 |- ( x e. om -> ( x e. suc x /\ suc x e. om ) )
9		eleq2 2228	. . . . . . . . 9 |- ( z = suc x -> ( x e. z <-> x e. suc x ) )
10		eleq1 2227	. . . . . . . . 9 |- ( z = suc x -> ( z e. om <-> suc x e. om ) )
11	9, 10	anbi12d 465	. . . . . . . 8 |- ( z = suc x -> ( ( x e. z /\ z e. om ) <-> ( x e. suc x /\ suc x e. om ) ) )
12	8, 11	syl5ibr 155	. . . . . . 7 |- ( z = suc x -> ( x e. om -> ( x e. z /\ z e. om ) ) )
13	5, 12	eximii 1589	. . . . . 6 |- E. z ( x e. om -> ( x e. z /\ z e. om ) )
14	13	19.37aiv 1662	. . . . 5 |- ( x e. om -> E. z ( x e. z /\ z e. om ) )
15		eluni 3786	. . . . 5 |- ( x e. U. om <-> E. z ( x e. z /\ z e. om ) )
16	14, 15	sylibr 133	. . . 4 |- ( x e. om -> x e. U. om )
17	16	ssriv 3141	. . 3 |- om C_ U. om
18		orduniss 4397	. . . 4 |- ( Ord om -> U. om C_ om )
19	1, 18	ax-mp 5	. . 3 |- U. om C_ om
20	17, 19	eqssi 3153	. 2 |- om = U. om
21		dflim2 4342	. 2 |- ( Lim om <-> ( Ord om /\ (/) e. om /\ om = U. om ) )
22	1, 2, 20, 21	mpbir3an 1168	1 |- Lim om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1342   E.wex 1479   e. wcel 2135   C_ wss 3111   (/)c0 3404   U.cuni 3783   Ord word 4334   Lim wlim 4336   suc csuc 4337   omcom 4561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-iinf 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-uni 3784  df-int 3819  df-tr 4075  df-iord 4338  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562

This theorem is referenced by:  freccllem  6361  frecfcllem  6363  frecsuclem  6365