ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limom Unicode version

Theorem limom 4487
Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 5-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
limom  |-  Lim  om

Proof of Theorem limom
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordom 4480 . 2  |-  Ord  om
2 peano1 4468 . 2  |-  (/)  e.  om
3 vex 2660 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
43sucex 4375 . . . . . . . 8  |-  suc  x  e.  _V
54isseti 2665 . . . . . . 7  |-  E. z 
z  =  suc  x
6 peano2 4469 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  suc  x  e.  om )
73sucid 4299 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
suc  x
86, 7jctil 308 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  e.  suc  x  /\  suc  x  e.  om ) )
9 eleq2 2178 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( x  e.  z  <-> 
x  e.  suc  x
) )
10 eleq1 2177 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( z  e.  om  <->  suc  x  e.  om )
)
119, 10anbi12d 462 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( ( x  e.  z  /\  z  e. 
om )  <->  ( x  e.  suc  x  /\  suc  x  e.  om )
) )
128, 11syl5ibr 155 . . . . . . 7  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( x  e.  om  ->  ( x  e.  z  /\  z  e.  om ) ) )
135, 12eximii 1564 . . . . . 6  |-  E. z
( x  e.  om  ->  ( x  e.  z  /\  z  e.  om ) )
141319.37aiv 1636 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  E. z
( x  e.  z  /\  z  e.  om ) )
15 eluni 3705 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. om  <->  E. z
( x  e.  z  /\  z  e.  om ) )
1614, 15sylibr 133 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  U. om )
1716ssriv 3067 . . 3  |-  om  C_  U. om
18 orduniss 4307 . . . 4  |-  ( Ord 
om  ->  U. om  C_  om )
191, 18ax-mp 7 . . 3  |-  U. om  C_ 
om
2017, 19eqssi 3079 . 2  |-  om  =  U. om
21 dflim2 4252 . 2  |-  ( Lim 
om 
<->  ( Ord  om  /\  (/) 
e.  om  /\  om  =  U. om ) )
221, 2, 20, 21mpbir3an 1146 1  |-  Lim  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463    C_ wss 3037   (/)c0 3329   U.cuni 3702   Ord word 4244   Lim wlim 4246   suc csuc 4247   omcom 4464
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-iinf 4462
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-uni 3703  df-int 3738  df-tr 3987  df-iord 4248  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465
This theorem is referenced by:  freccllem  6253  frecfcllem  6255  frecsuclem  6257
  Copyright terms: Public domain W3C validator