ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limom Unicode version

Theorem limom 4534
Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 5-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
limom  |-  Lim  om

Proof of Theorem limom
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordom 4527 . 2  |-  Ord  om
2 peano1 4515 . 2  |-  (/)  e.  om
3 vex 2692 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
43sucex 4422 . . . . . . . 8  |-  suc  x  e.  _V
54isseti 2697 . . . . . . 7  |-  E. z 
z  =  suc  x
6 peano2 4516 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  suc  x  e.  om )
73sucid 4346 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
suc  x
86, 7jctil 310 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  e.  suc  x  /\  suc  x  e.  om ) )
9 eleq2 2204 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( x  e.  z  <-> 
x  e.  suc  x
) )
10 eleq1 2203 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( z  e.  om  <->  suc  x  e.  om )
)
119, 10anbi12d 465 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( ( x  e.  z  /\  z  e. 
om )  <->  ( x  e.  suc  x  /\  suc  x  e.  om )
) )
128, 11syl5ibr 155 . . . . . . 7  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( x  e.  om  ->  ( x  e.  z  /\  z  e.  om ) ) )
135, 12eximii 1582 . . . . . 6  |-  E. z
( x  e.  om  ->  ( x  e.  z  /\  z  e.  om ) )
141319.37aiv 1654 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  E. z
( x  e.  z  /\  z  e.  om ) )
15 eluni 3746 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. om  <->  E. z
( x  e.  z  /\  z  e.  om ) )
1614, 15sylibr 133 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  U. om )
1716ssriv 3105 . . 3  |-  om  C_  U. om
18 orduniss 4354 . . . 4  |-  ( Ord 
om  ->  U. om  C_  om )
191, 18ax-mp 5 . . 3  |-  U. om  C_ 
om
2017, 19eqssi 3117 . 2  |-  om  =  U. om
21 dflim2 4299 . 2  |-  ( Lim 
om 
<->  ( Ord  om  /\  (/) 
e.  om  /\  om  =  U. om ) )
221, 2, 20, 21mpbir3an 1164 1  |-  Lim  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1332   E.wex 1469    e. wcel 1481    C_ wss 3075   (/)c0 3367   U.cuni 3743   Ord word 4291   Lim wlim 4293   suc csuc 4294   omcom 4511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-uni 3744  df-int 3779  df-tr 4034  df-iord 4295  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512
This theorem is referenced by:  freccllem  6306  frecfcllem  6308  frecsuclem  6310
  Copyright terms: Public domain W3C validator