Theorem limom 4718

Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 5-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
limom	|- Lim om

Proof of Theorem limom

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 4711	. 2 |- Ord om
2		peano1 4698	. 2 |- (/) e. om
3		vex 2806	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
4	3	sucex 4603	. . . . . . . 8 |- suc x e. _V
5	4	isseti 2812	. . . . . . 7 |- E. z z = suc x
6		peano2 4699	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> suc x e. om )
7	3	sucid 4520	. . . . . . . . 9 |- x e. suc x
8	6, 7	jctil 312	. . . . . . . 8 |- ( x e. om -> ( x e. suc x /\ suc x e. om ) )
9		eleq2 2295	. . . . . . . . 9 |- ( z = suc x -> ( x e. z <-> x e. suc x ) )
10		eleq1 2294	. . . . . . . . 9 |- ( z = suc x -> ( z e. om <-> suc x e. om ) )
11	9, 10	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( z = suc x -> ( ( x e. z /\ z e. om ) <-> ( x e. suc x /\ suc x e. om ) ) )
12	8, 11	imbitrrid 156	. . . . . . 7 |- ( z = suc x -> ( x e. om -> ( x e. z /\ z e. om ) ) )
13	5, 12	eximii 1651	. . . . . 6 |- E. z ( x e. om -> ( x e. z /\ z e. om ) )
14	13	19.37aiv 1723	. . . . 5 |- ( x e. om -> E. z ( x e. z /\ z e. om ) )
15		eluni 3901	. . . . 5 |- ( x e. U. om <-> E. z ( x e. z /\ z e. om ) )
16	14, 15	sylibr 134	. . . 4 |- ( x e. om -> x e. U. om )
17	16	ssriv 3232	. . 3 |- om C_ U. om
18		orduniss 4528	. . . 4 |- ( Ord om -> U. om C_ om )
19	1, 18	ax-mp 5	. . 3 |- U. om C_ om
20	17, 19	eqssi 3244	. 2 |- om = U. om
21		dflim2 4473	. 2 |- ( Lim om <-> ( Ord om /\ (/) e. om /\ om = U. om ) )
22	1, 2, 20, 21	mpbir3an 1206	1 |- Lim om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   C_ wss 3201   (/)c0 3496   U.cuni 3898   Ord word 4465   Lim wlim 4467   suc csuc 4468   omcom 4694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-int 3934  df-tr 4193  df-iord 4469  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695

This theorem is referenced by:  freccllem  6611  frecfcllem  6613  frecsuclem  6615