Theorem limom 4613

Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 5-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
limom	|- Lim om

Proof of Theorem limom

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 4606	. 2 |- Ord om
2		peano1 4593	. 2 |- (/) e. om
3		vex 2740	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
4	3	sucex 4498	. . . . . . . 8 |- suc x e. _V
5	4	isseti 2745	. . . . . . 7 |- E. z z = suc x
6		peano2 4594	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> suc x e. om )
7	3	sucid 4417	. . . . . . . . 9 |- x e. suc x
8	6, 7	jctil 312	. . . . . . . 8 |- ( x e. om -> ( x e. suc x /\ suc x e. om ) )
9		eleq2 2241	. . . . . . . . 9 |- ( z = suc x -> ( x e. z <-> x e. suc x ) )
10		eleq1 2240	. . . . . . . . 9 |- ( z = suc x -> ( z e. om <-> suc x e. om ) )
11	9, 10	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( z = suc x -> ( ( x e. z /\ z e. om ) <-> ( x e. suc x /\ suc x e. om ) ) )
12	8, 11	imbitrrid 156	. . . . . . 7 |- ( z = suc x -> ( x e. om -> ( x e. z /\ z e. om ) ) )
13	5, 12	eximii 1602	. . . . . 6 |- E. z ( x e. om -> ( x e. z /\ z e. om ) )
14	13	19.37aiv 1675	. . . . 5 |- ( x e. om -> E. z ( x e. z /\ z e. om ) )
15		eluni 3812	. . . . 5 |- ( x e. U. om <-> E. z ( x e. z /\ z e. om ) )
16	14, 15	sylibr 134	. . . 4 |- ( x e. om -> x e. U. om )
17	16	ssriv 3159	. . 3 |- om C_ U. om
18		orduniss 4425	. . . 4 |- ( Ord om -> U. om C_ om )
19	1, 18	ax-mp 5	. . 3 |- U. om C_ om
20	17, 19	eqssi 3171	. 2 |- om = U. om
21		dflim2 4370	. 2 |- ( Lim om <-> ( Ord om /\ (/) e. om /\ om = U. om ) )
22	1, 2, 20, 21	mpbir3an 1179	1 |- Lim om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   C_ wss 3129   (/)c0 3422   U.cuni 3809   Ord word 4362   Lim wlim 4364   suc csuc 4365   omcom 4589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-uni 3810  df-int 3845  df-tr 4102  df-iord 4366  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590

This theorem is referenced by:  freccllem  6402  frecfcllem  6404  frecsuclem  6406