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Theorem peano2 4385
Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
peano2  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )

Proof of Theorem peano2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2624 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  _V )
2 simpl 107 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } )  ->  A  e.  _V )
3 eleq1 2147 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  z  <->  A  e.  z ) )
4 suceq 4205 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  suc  x  =  suc  A )
54eleq1d 2153 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( suc  x  e.  z  <->  suc  A  e.  z ) )
63, 5imbi12d 232 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  z  ->  suc  x  e.  z )  <->  ( A  e.  z  ->  suc  A  e.  z ) ) )
76adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } )  /\  x  =  A )  ->  ( (
x  e.  z  ->  suc  x  e.  z )  <-> 
( A  e.  z  ->  suc  A  e.  z ) ) )
8 df-clab 2072 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  <->  [ z  /  y ] (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) )
9 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y )  ->  A. x  e.  y  suc  x  e.  y )
10 df-ral 2360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  y  suc  x  e.  y  <->  A. x
( x  e.  y  ->  suc  x  e.  y ) )
119, 10sylib 120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y )  ->  A. x ( x  e.  y  ->  suc  x  e.  y )
)
1211sbimi 1691 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ z  /  y ] ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y )  ->  [ z  /  y ] A. x ( x  e.  y  ->  suc  x  e.  y ) )
13 sbim 1872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ z  /  y ] ( x  e.  y  ->  suc  x  e.  y )  <->  ( [
z  /  y ] x  e.  y  ->  [ z  /  y ] suc  x  e.  y ) )
14 elsb4 1898 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [ z  /  y ] x  e.  y  <->  x  e.  z )
15 clelsb4 2190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [ z  /  y ] suc  x  e.  y  <->  suc  x  e.  z )
1614, 15imbi12i 237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( [ z  /  y ] x  e.  y  ->  [ z  /  y ] suc  x  e.  y )  <->  ( x  e.  z  ->  suc  x  e.  z ) )
1713, 16bitri 182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ z  /  y ] ( x  e.  y  ->  suc  x  e.  y )  <->  ( x  e.  z  ->  suc  x  e.  z ) )
1817sbalv 1926 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ z  /  y ] A. x ( x  e.  y  ->  suc  x  e.  y )  <->  A. x ( x  e.  z  ->  suc  x  e.  z ) )
1912, 18sylib 120 . . . . . . . . 9  |-  ( [ z  /  y ] ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y )  ->  A. x
( x  e.  z  ->  suc  x  e.  z ) )
208, 19sylbi 119 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  ->  A. x
( x  e.  z  ->  suc  x  e.  z ) )
212019.21bi 1493 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  ->  (
x  e.  z  ->  suc  x  e.  z ) )
2221adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } )  ->  ( x  e.  z  ->  suc  x  e.  z ) )
23 nfv 1464 . . . . . . 7  |-  F/ x  A  e.  _V
24 nfv 1464 . . . . . . . . 9  |-  F/ x (/) 
e.  y
25 nfra1 2405 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. x  e.  y  suc  x  e.  y
2624, 25nfan 1500 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y )
2726nfsab 2077 . . . . . . 7  |-  F/ x  z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }
2823, 27nfan 1500 . . . . . 6  |-  F/ x
( A  e.  _V  /\  z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } )
29 nfcvd 2226 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } )  ->  F/_ x A )
30 nfvd 1465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } )  ->  F/ x ( A  e.  z  ->  suc  A  e.  z ) )
312, 7, 22, 28, 29, 30vtocldf 2664 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } )  ->  ( A  e.  z  ->  suc  A  e.  z ) )
3231ralrimiva 2442 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A. z  e.  { y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  ( A  e.  z  ->  suc  A  e.  z ) )
33 ralim 2430 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  ( A  e.  z  ->  suc 
A  e.  z )  ->  ( A. z  e.  { y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } A  e.  z  ->  A. z  e.  {
y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } suc  A  e.  z ) )
34 elintg 3681 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  |^| { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  <->  A. z  e.  { y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } A  e.  z ) )
35 sucexg 4290 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  suc  A  e.  _V )
36 elintg 3681 . . . . . . 7  |-  ( suc 
A  e.  _V  ->  ( suc  A  e.  |^| { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  <->  A. z  e.  { y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } suc  A  e.  z ) )
3735, 36syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( suc  A  e.  |^| { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  <->  A. z  e.  { y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } suc  A  e.  z ) )
3834, 37imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( A  e.  |^| { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  ->  suc 
A  e.  |^| { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } )  <-> 
( A. z  e. 
{ y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } A  e.  z  ->  A. z  e.  {
y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } suc  A  e.  z ) ) )
3933, 38syl5ibr 154 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  ( A  e.  z  ->  suc 
A  e.  z )  ->  ( A  e. 
|^| { y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  ->  suc  A  e. 
|^| { y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } ) ) )
4032, 39mpd 13 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  |^| { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  ->  suc 
A  e.  |^| { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } ) )
41 dfom3 4382 . . . 4  |-  om  =  |^| { y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }
4241eleq2i 2151 . . 3  |-  ( A  e.  om  <->  A  e.  |^|
{ y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } )
4341eleq2i 2151 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  om  <->  suc  A  e. 
|^| { y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } )
4440, 42, 433imtr4g 203 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  om  ->  suc 
A  e.  om )
)
451, 44mpcom 36 1  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1285    = wceq 1287    e. wcel 1436   [wsb 1689   {cab 2071   A.wral 2355   _Vcvv 2615   (/)c0 3275   |^|cint 3673   suc csuc 4168   omcom 4380
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-uni 3639  df-int 3674  df-suc 4174  df-iom 4381
This theorem is referenced by:  peano5  4388  limom  4403  peano2b  4404  nnregexmid  4409  omsinds  4410  freccllem  6123  frecfcllem  6125  frecsuclem  6127  frecrdg  6129  nnacl  6197  nnacom  6201  nnmsucr  6205  nnsucsssuc  6209  nnaword  6224  1onn  6233  2onn  6234  3onn  6235  4onn  6236  nnaordex  6240  php5  6528  phplem4dom  6532  php5dom  6533  phplem4on  6537  dif1en  6549  findcard  6558  findcard2  6559  findcard2s  6560  infnfi  6565  unsnfi  6583  infnninf  6752  nnnninf  6753  frec2uzrand  9743  frecuzrdgsuc  9752  frecuzrdgsuctlem  9761  frecfzennn  9764  hashunlem  10112  0nninf  11362  nnsf  11364  peano4nninf  11365  nninfalllemn  11367  nninfsellemdc  11371  nninfsellemsuc  11373  nninfself  11374  nninfsellemeqinf  11377
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