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Theorem peano2 4588
Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
peano2  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )

Proof of Theorem peano2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2746 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  _V )
2 simpl 109 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } )  ->  A  e.  _V )
3 eleq1 2238 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  z  <->  A  e.  z ) )
4 suceq 4396 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  suc  x  =  suc  A )
54eleq1d 2244 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( suc  x  e.  z  <->  suc  A  e.  z ) )
63, 5imbi12d 234 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  z  ->  suc  x  e.  z )  <->  ( A  e.  z  ->  suc  A  e.  z ) ) )
76adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } )  /\  x  =  A )  ->  ( (
x  e.  z  ->  suc  x  e.  z )  <-> 
( A  e.  z  ->  suc  A  e.  z ) ) )
8 df-clab 2162 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  <->  [ z  /  y ] (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) )
9 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y )  ->  A. x  e.  y  suc  x  e.  y )
10 df-ral 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  y  suc  x  e.  y  <->  A. x
( x  e.  y  ->  suc  x  e.  y ) )
119, 10sylib 122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y )  ->  A. x ( x  e.  y  ->  suc  x  e.  y )
)
1211sbimi 1762 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ z  /  y ] ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y )  ->  [ z  /  y ] A. x ( x  e.  y  ->  suc  x  e.  y ) )
13 sbim 1951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ z  /  y ] ( x  e.  y  ->  suc  x  e.  y )  <->  ( [
z  /  y ] x  e.  y  ->  [ z  /  y ] suc  x  e.  y ) )
14 clelsb2 2281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [ z  /  y ] x  e.  y  <->  x  e.  z )
15 clelsb2 2281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [ z  /  y ] suc  x  e.  y  <->  suc  x  e.  z )
1614, 15imbi12i 239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( [ z  /  y ] x  e.  y  ->  [ z  /  y ] suc  x  e.  y )  <->  ( x  e.  z  ->  suc  x  e.  z ) )
1713, 16bitri 184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ z  /  y ] ( x  e.  y  ->  suc  x  e.  y )  <->  ( x  e.  z  ->  suc  x  e.  z ) )
1817sbalv 2003 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ z  /  y ] A. x ( x  e.  y  ->  suc  x  e.  y )  <->  A. x ( x  e.  z  ->  suc  x  e.  z ) )
1912, 18sylib 122 . . . . . . . . 9  |-  ( [ z  /  y ] ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y )  ->  A. x
( x  e.  z  ->  suc  x  e.  z ) )
208, 19sylbi 121 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  ->  A. x
( x  e.  z  ->  suc  x  e.  z ) )
212019.21bi 1556 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  ->  (
x  e.  z  ->  suc  x  e.  z ) )
2221adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } )  ->  ( x  e.  z  ->  suc  x  e.  z ) )
23 nfv 1526 . . . . . . 7  |-  F/ x  A  e.  _V
24 nfv 1526 . . . . . . . . 9  |-  F/ x (/) 
e.  y
25 nfra1 2506 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. x  e.  y  suc  x  e.  y
2624, 25nfan 1563 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y )
2726nfsab 2167 . . . . . . 7  |-  F/ x  z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }
2823, 27nfan 1563 . . . . . 6  |-  F/ x
( A  e.  _V  /\  z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } )
29 nfcvd 2318 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } )  ->  F/_ x A )
30 nfvd 1527 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } )  ->  F/ x ( A  e.  z  ->  suc  A  e.  z ) )
312, 7, 22, 28, 29, 30vtocldf 2786 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } )  ->  ( A  e.  z  ->  suc  A  e.  z ) )
3231ralrimiva 2548 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A. z  e.  { y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  ( A  e.  z  ->  suc  A  e.  z ) )
33 ralim 2534 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  ( A  e.  z  ->  suc 
A  e.  z )  ->  ( A. z  e.  { y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } A  e.  z  ->  A. z  e.  {
y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } suc  A  e.  z ) )
34 elintg 3848 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  |^| { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  <->  A. z  e.  { y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } A  e.  z ) )
35 sucexg 4491 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  suc  A  e.  _V )
36 elintg 3848 . . . . . . 7  |-  ( suc 
A  e.  _V  ->  ( suc  A  e.  |^| { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  <->  A. z  e.  { y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } suc  A  e.  z ) )
3735, 36syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( suc  A  e.  |^| { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  <->  A. z  e.  { y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } suc  A  e.  z ) )
3834, 37imbi12d 234 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( A  e.  |^| { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  ->  suc 
A  e.  |^| { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } )  <-> 
( A. z  e. 
{ y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } A  e.  z  ->  A. z  e.  {
y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } suc  A  e.  z ) ) )
3933, 38syl5ibr 156 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  ( A  e.  z  ->  suc 
A  e.  z )  ->  ( A  e. 
|^| { y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  ->  suc  A  e. 
|^| { y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } ) ) )
4032, 39mpd 13 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  |^| { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  ->  suc 
A  e.  |^| { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } ) )
41 dfom3 4585 . . . 4  |-  om  =  |^| { y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }
4241eleq2i 2242 . . 3  |-  ( A  e.  om  <->  A  e.  |^|
{ y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } )
4341eleq2i 2242 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  om  <->  suc  A  e. 
|^| { y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) } )
4440, 42, 433imtr4g 205 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  om  ->  suc 
A  e.  om )
)
451, 44mpcom 36 1  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105   A.wal 1351    = wceq 1353   [wsb 1760    e. wcel 2146   {cab 2161   A.wral 2453   _Vcvv 2735   (/)c0 3420   |^|cint 3840   suc csuc 4359   omcom 4583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-uni 3806  df-int 3841  df-suc 4365  df-iom 4584
This theorem is referenced by:  peano5  4591  limom  4607  peano2b  4608  nnregexmid  4614  omsinds  4615  freccllem  6393  frecfcllem  6395  frecsuclem  6397  frecrdg  6399  nnacl  6471  nnacom  6475  nnmsucr  6479  nnsucsssuc  6483  nnaword  6502  1onn  6511  2onn  6512  3onn  6513  4onn  6514  nnaordex  6519  php5  6848  phplem4dom  6852  php5dom  6853  phplem4on  6857  dif1en  6869  findcard  6878  findcard2  6879  findcard2s  6880  infnfi  6885  unsnfi  6908  omp1eomlem  7083  ctmlemr  7097  infnninf  7112  infnninfOLD  7113  nnnninf  7114  nnnninfeq  7116  nninfwlpoimlemg  7163  nninfwlpoimlemginf  7164  frec2uzrand  10373  frecuzrdgsuc  10382  frecuzrdgsuctlem  10391  frecfzennn  10394  hashunlem  10750  ennnfonelemk  12366  ennnfonelemg  12369  ennnfonelemkh  12378  ennnfonelemhf1o  12379  ennnfonelemex  12380  ennnfonelemrn  12385  ennnfonelemnn0  12388  ctinfomlemom  12393  0nninf  14312  nnsf  14313  peano4nninf  14314  nninfsellemdc  14318  nninfsellemsuc  14320  nninfself  14321  nninfsellemeqinf  14324
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