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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > peano2 | Unicode version |
Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.) |
Ref | Expression |
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peano2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elex 2748 |
. 2
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2 | simpl 109 |
. . . . . 6
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3 | eleq1 2240 |
. . . . . . . 8
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4 | suceq 4399 |
. . . . . . . . 9
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5 | 4 | eleq1d 2246 |
. . . . . . . 8
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6 | 3, 5 | imbi12d 234 |
. . . . . . 7
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7 | 6 | adantl 277 |
. . . . . 6
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8 | df-clab 2164 |
. . . . . . . . 9
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9 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . 12
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10 | df-ral 2460 |
. . . . . . . . . . . 12
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11 | 9, 10 | sylib 122 |
. . . . . . . . . . 11
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12 | 11 | sbimi 1764 |
. . . . . . . . . 10
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13 | sbim 1953 |
. . . . . . . . . . . 12
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14 | clelsb2 2283 |
. . . . . . . . . . . . 13
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15 | clelsb2 2283 |
. . . . . . . . . . . . 13
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16 | 14, 15 | imbi12i 239 |
. . . . . . . . . . . 12
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17 | 13, 16 | bitri 184 |
. . . . . . . . . . 11
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18 | 17 | sbalv 2005 |
. . . . . . . . . 10
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19 | 12, 18 | sylib 122 |
. . . . . . . . 9
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20 | 8, 19 | sylbi 121 |
. . . . . . . 8
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21 | 20 | 19.21bi 1558 |
. . . . . . 7
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22 | 21 | adantl 277 |
. . . . . 6
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23 | nfv 1528 |
. . . . . . 7
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24 | nfv 1528 |
. . . . . . . . 9
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25 | nfra1 2508 |
. . . . . . . . 9
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26 | 24, 25 | nfan 1565 |
. . . . . . . 8
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27 | 26 | nfsab 2169 |
. . . . . . 7
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28 | 23, 27 | nfan 1565 |
. . . . . 6
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29 | nfcvd 2320 |
. . . . . 6
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30 | nfvd 1529 |
. . . . . 6
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31 | 2, 7, 22, 28, 29, 30 | vtocldf 2788 |
. . . . 5
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32 | 31 | ralrimiva 2550 |
. . . 4
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33 | ralim 2536 |
. . . . 5
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34 | elintg 3850 |
. . . . . 6
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35 | sucexg 4494 |
. . . . . . 7
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36 | elintg 3850 |
. . . . . . 7
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37 | 35, 36 | syl 14 |
. . . . . 6
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38 | 34, 37 | imbi12d 234 |
. . . . 5
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39 | 33, 38 | syl5ibr 156 |
. . . 4
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40 | 32, 39 | mpd 13 |
. . 3
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41 | dfom3 4588 |
. . . 4
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42 | 41 | eleq2i 2244 |
. . 3
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43 | 41 | eleq2i 2244 |
. . 3
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44 | 40, 42, 43 | 3imtr4g 205 |
. 2
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45 | 1, 44 | mpcom 36 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4118 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-nf 1461 df-sb 1763 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ral 2460 df-rex 2461 df-v 2739 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-uni 3808 df-int 3843 df-suc 4368 df-iom 4587 |
This theorem is referenced by: peano5 4594 limom 4610 peano2b 4611 nnregexmid 4617 omsinds 4618 freccllem 6397 frecfcllem 6399 frecsuclem 6401 frecrdg 6403 nnacl 6475 nnacom 6479 nnmsucr 6483 nnsucsssuc 6487 nnaword 6506 1onn 6515 2onn 6516 3onn 6517 4onn 6518 nnaordex 6523 php5 6852 phplem4dom 6856 php5dom 6857 phplem4on 6861 dif1en 6873 findcard 6882 findcard2 6883 findcard2s 6884 infnfi 6889 unsnfi 6912 omp1eomlem 7087 ctmlemr 7101 infnninf 7116 infnninfOLD 7117 nnnninf 7118 nnnninfeq 7120 nninfwlpoimlemg 7167 nninfwlpoimlemginf 7168 frec2uzrand 10391 frecuzrdgsuc 10400 frecuzrdgsuctlem 10409 frecfzennn 10412 hashunlem 10768 ennnfonelemk 12384 ennnfonelemg 12387 ennnfonelemkh 12396 ennnfonelemhf1o 12397 ennnfonelemex 12398 ennnfonelemrn 12403 ennnfonelemnn0 12406 ctinfomlemom 12411 0nninf 14409 nnsf 14410 peano4nninf 14411 nninfsellemdc 14415 nninfsellemsuc 14417 nninfself 14418 nninfsellemeqinf 14421 |
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