Theorem peano2 4744

Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
peano2	|- ( A e. om -> suc A e. om )

Proof of Theorem peano2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. 2 |- ( A e. om -> A e. _V )
2		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) -> A e. _V )
3		eleq1 2301	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( x e. z <-> A e. z ) )
4		suceq 4549	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> suc x = suc A )
5	4	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( suc x e. z <-> suc A e. z ) )
6	3, 5	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( x e. z -> suc x e. z ) <-> ( A e. z -> suc A e. z ) ) )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. _V /\ z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) /\ x = A ) -> ( ( x e. z -> suc x e. z ) <-> ( A e. z -> suc A e. z ) ) )
8		df-clab 2225	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> [ z / y ] ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) )
9		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> A. x e. y suc x e. y )
10		df-ral 2533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. y suc x e. y <-> A. x ( x e. y -> suc x e. y ) )
11	9, 10	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> A. x ( x e. y -> suc x e. y ) )
12	11	sbimi 1817	. . . . . . . . . 10 |- ( [ z / y ] ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> [ z / y ] A. x ( x e. y -> suc x e. y ) )
13		sbim 2013	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ z / y ] ( x e. y -> suc x e. y ) <-> ( [ z / y ] x e. y -> [ z / y ] suc x e. y ) )
14		clelsb2 2344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [ z / y ] x e. y <-> x e. z )
15		clelsb2 2344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [ z / y ] suc x e. y <-> suc x e. z )
16	14, 15	imbi12i 239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [ z / y ] x e. y -> [ z / y ] suc x e. y ) <-> ( x e. z -> suc x e. z ) )
17	13, 16	bitri 184	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ z / y ] ( x e. y -> suc x e. y ) <-> ( x e. z -> suc x e. z ) )
18	17	sbalv 2065	. . . . . . . . . 10 |- ( [ z / y ] A. x ( x e. y -> suc x e. y ) <-> A. x ( x e. z -> suc x e. z ) )
19	12, 18	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( [ z / y ] ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> A. x ( x e. z -> suc x e. z ) )
20	8, 19	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> A. x ( x e. z -> suc x e. z ) )
21	20	19.21bi 1611	. . . . . . 7 |- ( z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> ( x e. z -> suc x e. z ) )
22	21	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) -> ( x e. z -> suc x e. z ) )
23		nfv 1581	. . . . . . 7 |- F/ x A e. _V
24		nfv 1581	. . . . . . . . 9 |- F/ x (/) e. y
25		nfra1 2581	. . . . . . . . 9 |- F/ x A. x e. y suc x e. y
26	24, 25	nfan 1618	. . . . . . . 8 |- F/ x ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y )
27	26	nfsab 2230	. . . . . . 7 |- F/ x z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
28	23, 27	nfan 1618	. . . . . 6 |- F/ x ( A e. _V /\ z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } )
29		nfcvd 2393	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) -> F/_ x A )
30		nfvd 1582	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) -> F/ x ( A e. z -> suc A e. z ) )
31	2, 7, 22, 28, 29, 30	vtocldf 2874	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) -> ( A e. z -> suc A e. z ) )
32	31	ralrimiva 2623	. . . 4 |- ( A e. _V -> A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ( A e. z -> suc A e. z ) )
33		ralim 2609	. . . . 5 |- ( A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ( A e. z -> suc A e. z ) -> ( A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } A e. z -> A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } suc A e. z ) )
34		elintg 3978	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } A e. z ) )
35		sucexg 4647	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> suc A e. _V )
36		elintg 3978	. . . . . . 7 |- ( suc A e. _V -> ( suc A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } suc A e. z ) )
37	35, 36	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( suc A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } suc A e. z ) )
38	34, 37	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( ( A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> suc A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) <-> ( A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } A e. z -> A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } suc A e. z ) ) )
39	33, 38	imbitrrid 156	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ( A e. z -> suc A e. z ) -> ( A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> suc A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) ) )
40	32, 39	mpd 13	. . 3 |- ( A e. _V -> ( A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> suc A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) )
41		dfom3 4741	. . . 4 |- om = |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
42	41	eleq2i 2305	. . 3 |- ( A e. om <-> A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } )
43	41	eleq2i 2305	. . 3 |- ( suc A e. om <-> suc A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } )
44	40, 42, 43	3imtr4g 205	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. om -> suc A e. om ) )
45	1, 44	mpcom 36	1 |- ( A e. om -> suc A e. om )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1400   = wceq 1402   [wsb 1815   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   |^|cint 3970   suc csuc 4512   omcom 4739

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-suc 4518  df-iom 4740

This theorem is used by:  peano5  4747  limom  4763  peano2b  4764  nnregexmid  4770  omsinds  4771  freccllem  6677  frecfcllem  6679  frecsuclem  6681  frecrdg  6683  nnacl  6757  nnacom  6761  nnmsucr  6765  nnsucsssuc  6769  nnaword  6788  1onn  6797  2onn  6798  3onn  6799  4onn  6800  nnaordex  6805  php5  7163  phplem4dom  7167  php5dom  7168  phplem4on  7173  dif1en  7187  findcard  7196  findcard2  7197  findcard2s  7198  infnfi  7203  unsnfi  7230  omp1eomlem  7440  ctmlemr  7454  nninfninc  7469  infnninf  7470  infnninfOLD  7471  nnnninf  7472  nnnninfeq  7474  nninfwlpoimlemg  7521  nninfwlpoimlemginf  7522  frec2uzrand  10863  frecuzrdgsuc  10872  frecuzrdgsuctlem  10881  frecfzennn  10884  hashunlem  11266  ennnfonelemk  13349  ennnfonelemg  13352  ennnfonelemkh  13361  ennnfonelemhf1o  13362  ennnfonelemex  13363  ennnfonelemrn  13368  ennnfonelemnn0  13371  ctinfomlemom  13376  0nninf  17253  nnsf  17254  peano4nninf  17255  nninfsellemdc  17259  nninfsellemsuc  17261  nninfself  17262  nninfsellemeqinf  17265  nnnninfex  17271