Theorem peano2 4661

Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
peano2	|- ( A e. om -> suc A e. om )

Proof of Theorem peano2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2788	. 2 |- ( A e. om -> A e. _V )
2		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) -> A e. _V )
3		eleq1 2270	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( x e. z <-> A e. z ) )
4		suceq 4467	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> suc x = suc A )
5	4	eleq1d 2276	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( suc x e. z <-> suc A e. z ) )
6	3, 5	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( x e. z -> suc x e. z ) <-> ( A e. z -> suc A e. z ) ) )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. _V /\ z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) /\ x = A ) -> ( ( x e. z -> suc x e. z ) <-> ( A e. z -> suc A e. z ) ) )
8		df-clab 2194	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> [ z / y ] ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) )
9		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> A. x e. y suc x e. y )
10		df-ral 2491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. y suc x e. y <-> A. x ( x e. y -> suc x e. y ) )
11	9, 10	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> A. x ( x e. y -> suc x e. y ) )
12	11	sbimi 1788	. . . . . . . . . 10 |- ( [ z / y ] ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> [ z / y ] A. x ( x e. y -> suc x e. y ) )
13		sbim 1982	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ z / y ] ( x e. y -> suc x e. y ) <-> ( [ z / y ] x e. y -> [ z / y ] suc x e. y ) )
14		clelsb2 2313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [ z / y ] x e. y <-> x e. z )
15		clelsb2 2313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [ z / y ] suc x e. y <-> suc x e. z )
16	14, 15	imbi12i 239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [ z / y ] x e. y -> [ z / y ] suc x e. y ) <-> ( x e. z -> suc x e. z ) )
17	13, 16	bitri 184	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ z / y ] ( x e. y -> suc x e. y ) <-> ( x e. z -> suc x e. z ) )
18	17	sbalv 2034	. . . . . . . . . 10 |- ( [ z / y ] A. x ( x e. y -> suc x e. y ) <-> A. x ( x e. z -> suc x e. z ) )
19	12, 18	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( [ z / y ] ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> A. x ( x e. z -> suc x e. z ) )
20	8, 19	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> A. x ( x e. z -> suc x e. z ) )
21	20	19.21bi 1582	. . . . . . 7 |- ( z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> ( x e. z -> suc x e. z ) )
22	21	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) -> ( x e. z -> suc x e. z ) )
23		nfv 1552	. . . . . . 7 |- F/ x A e. _V
24		nfv 1552	. . . . . . . . 9 |- F/ x (/) e. y
25		nfra1 2539	. . . . . . . . 9 |- F/ x A. x e. y suc x e. y
26	24, 25	nfan 1589	. . . . . . . 8 |- F/ x ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y )
27	26	nfsab 2199	. . . . . . 7 |- F/ x z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
28	23, 27	nfan 1589	. . . . . 6 |- F/ x ( A e. _V /\ z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } )
29		nfcvd 2351	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) -> F/_ x A )
30		nfvd 1553	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) -> F/ x ( A e. z -> suc A e. z ) )
31	2, 7, 22, 28, 29, 30	vtocldf 2829	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) -> ( A e. z -> suc A e. z ) )
32	31	ralrimiva 2581	. . . 4 |- ( A e. _V -> A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ( A e. z -> suc A e. z ) )
33		ralim 2567	. . . . 5 |- ( A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ( A e. z -> suc A e. z ) -> ( A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } A e. z -> A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } suc A e. z ) )
34		elintg 3907	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } A e. z ) )
35		sucexg 4564	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> suc A e. _V )
36		elintg 3907	. . . . . . 7 |- ( suc A e. _V -> ( suc A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } suc A e. z ) )
37	35, 36	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( suc A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } suc A e. z ) )
38	34, 37	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( ( A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> suc A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) <-> ( A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } A e. z -> A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } suc A e. z ) ) )
39	33, 38	imbitrrid 156	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A. z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ( A e. z -> suc A e. z ) -> ( A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> suc A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) ) )
40	32, 39	mpd 13	. . 3 |- ( A e. _V -> ( A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> suc A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } ) )
41		dfom3 4658	. . . 4 |- om = |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
42	41	eleq2i 2274	. . 3 |- ( A e. om <-> A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } )
43	41	eleq2i 2274	. . 3 |- ( suc A e. om <-> suc A e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } )
44	40, 42, 43	3imtr4g 205	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. om -> suc A e. om ) )
45	1, 44	mpcom 36	1 |- ( A e. om -> suc A e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   [wsb 1786   e. wcel 2178   {cab 2193   A.wral 2486   _Vcvv 2776   (/)c0 3468   |^|cint 3899   suc csuc 4430   omcom 4656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-uni 3865  df-int 3900  df-suc 4436  df-iom 4657

This theorem is referenced by:  peano5  4664  limom  4680  peano2b  4681  nnregexmid  4687  omsinds  4688  freccllem  6511  frecfcllem  6513  frecsuclem  6515  frecrdg  6517  nnacl  6589  nnacom  6593  nnmsucr  6597  nnsucsssuc  6601  nnaword  6620  1onn  6629  2onn  6630  3onn  6631  4onn  6632  nnaordex  6637  php5  6980  phplem4dom  6984  php5dom  6985  phplem4on  6990  dif1en  7002  findcard  7011  findcard2  7012  findcard2s  7013  infnfi  7018  unsnfi  7042  omp1eomlem  7222  ctmlemr  7236  nninfninc  7251  infnninf  7252  infnninfOLD  7253  nnnninf  7254  nnnninfeq  7256  nninfwlpoimlemg  7303  nninfwlpoimlemginf  7304  frec2uzrand  10587  frecuzrdgsuc  10596  frecuzrdgsuctlem  10605  frecfzennn  10608  hashunlem  10986  ennnfonelemk  12886  ennnfonelemg  12889  ennnfonelemkh  12898  ennnfonelemhf1o  12899  ennnfonelemex  12900  ennnfonelemrn  12905  ennnfonelemnn0  12908  ctinfomlemom  12913  0nninf  16143  nnsf  16144  peano4nninf  16145  nninfsellemdc  16149  nninfsellemsuc  16151  nninfself  16152  nninfsellemeqinf  16155  nnnninfex  16161