Theorem peano2b 4632

Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)

Assertion

Ref	Expression
peano2b	⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4612	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
2		elex 2763	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ V)
3		sucexb 4514	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
4	2, 3	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ V)
5		sucidg 4434	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
7		elnn 4623	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)
8	6, 7	mpancom 422	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ ω)
9	1, 8	impbii 126	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752  suc csuc 4383  ωcom 4607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-uni 3825  df-int 3860  df-suc 4389  df-iom 4608

This theorem is referenced by:  nnpredcl  4640  nnmsucr  6514