ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2b GIF version

Theorem peano2b 4632
Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)
Assertion
Ref Expression
peano2b (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2b
StepHypRef Expression
1 peano2 4612 . 2 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
2 elex 2763 . . . . 5 (suc 𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ V)
3 sucexb 4514 . . . . 5 (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
42, 3sylibr 134 . . . 4 (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ V)
5 sucidg 4434 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
64, 5syl 14 . . 3 (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
7 elnn 4623 . . 3 ((𝐴 ∈ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)
86, 7mpancom 422 . 2 (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ ω)
91, 8impbii 126 1 (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 105  wcel 2160  Vcvv 2752  suc csuc 4383  ωcom 4607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-uni 3825  df-int 3860  df-suc 4389  df-iom 4608
This theorem is referenced by:  nnpredcl  4640  nnmsucr  6514
  Copyright terms: Public domain W3C validator