Theorem peano2b 4713

Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)

Assertion

Ref	Expression
peano2b	⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4693	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
2		elex 2814	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ V)
3		sucexb 4595	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
4	2, 3	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ V)
5		sucidg 4513	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
7		elnn 4704	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)
8	6, 7	mpancom 422	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ ω)
9	1, 8	impbii 126	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802  suc csuc 4462  ωcom 4688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-int 3929  df-suc 4468  df-iom 4689

This theorem is referenced by:  nnpredcl  4721  nnmsucr  6655