Theorem peano2b 4599

Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)

Assertion

Ref	Expression
peano2b	⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4579	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
2		elex 2741	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ V)
3		sucexb 4481	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
4	2, 3	sylibr 133	. . . 4 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ V)
5		sucidg 4401	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
7		elnn 4590	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)
8	6, 7	mpancom 420	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ ω)
9	1, 8	impbii 125	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730  suc csuc 4350  ωcom 4574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-suc 4356  df-iom 4575

This theorem is referenced by:  nnpredcl  4607  nnmsucr  6467