Theorem peano2b 4757

Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)

Assertion

Ref	Expression
peano2b	⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4737	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
2		elex 2833	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ V)
3		sucexb 4639	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
4	2, 3	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ V)
5		sucidg 4556	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
7		elnn 4748	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)
8	6, 7	mpancom 426	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ ω)
9	1, 8	impbii 126	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  suc csuc 4505  ωcom 4732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-uni 3931  df-int 3966  df-suc 4511  df-iom 4733

This theorem is referenced by:  nnpredcl  4765  nnmsucr  6751