ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2b GIF version

Theorem peano2b 4429
Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)
Assertion
Ref Expression
peano2b (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2b
StepHypRef Expression
1 peano2 4410 . 2 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
2 elex 2630 . . . . 5 (suc 𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ V)
3 sucexb 4314 . . . . 5 (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
42, 3sylibr 132 . . . 4 (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ V)
5 sucidg 4243 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
64, 5syl 14 . . 3 (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
7 elnn 4420 . . 3 ((𝐴 ∈ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)
86, 7mpancom 413 . 2 (suc 𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ ω)
91, 8impbii 124 1 (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 103  wcel 1438  Vcvv 2619  suc csuc 4192  ωcom 4405
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-uni 3654  df-int 3689  df-suc 4198  df-iom 4406
This theorem is referenced by:  nnmsucr  6249  nnpredcl  11845
  Copyright terms: Public domain W3C validator