Theorem rdgfun 6440

Description: The recursive definition generator is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rdgfun	|- Fun rec ( F , A )

Proof of Theorem rdgfun

Dummy variables x y z f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 |- { f | E. y e. On ( f Fn y /\ A. z e. y ( f ` z ) = ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` ( f |` z ) ) ) } = { f | E. y e. On ( f Fn y /\ A. z e. y ( f ` z ) = ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` ( f |` z ) ) ) }
2	1	tfrlem7 6384	. 2 |- Fun recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
3		df-irdg 6437	. . 3 |- rec ( F , A ) = recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
4	3	funeqi 5280	. 2 |- ( Fun rec ( F , A ) <-> Fun recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ) )
5	2, 4	mpbir 146	1 |- Fun rec ( F , A )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   {cab 2182   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   u. cun 3155   U_ciun 3917   |-> cmpt 4095   Oncon0 4399   dom cdm 4664   |` cres 4666   Fun wfun 5253   Fn wfn 5254   ` cfv 5259  recscrecs 6371   reccrdg 6436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-recs 6372  df-irdg 6437

This theorem is referenced by:  rdgivallem  6448