Theorem rdgfun 6376

Description: The recursive definition generator is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rdgfun	|- Fun rec ( F , A )

Proof of Theorem rdgfun

Dummy variables x y z f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. . 3 |- { f | E. y e. On ( f Fn y /\ A. z e. y ( f ` z ) = ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` ( f |` z ) ) ) } = { f | E. y e. On ( f Fn y /\ A. z e. y ( f ` z ) = ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` ( f |` z ) ) ) }
2	1	tfrlem7 6320	. 2 |- Fun recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
3		df-irdg 6373	. . 3 |- rec ( F , A ) = recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
4	3	funeqi 5239	. 2 |- ( Fun rec ( F , A ) <-> Fun recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ) )
5	2, 4	mpbir 146	1 |- Fun rec ( F , A )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2739   u. cun 3129   U_ciun 3888   |-> cmpt 4066   Oncon0 4365   dom cdm 4628   |` cres 4630   Fun wfun 5212   Fn wfn 5213   ` cfv 5218  recscrecs 6307   reccrdg 6372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-recs 6308  df-irdg 6373

This theorem is referenced by:  rdgivallem  6384