Theorem rdgfun 6534

Description: The recursive definition generator is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rdgfun	|- Fun rec ( F , A )

Proof of Theorem rdgfun

Dummy variables x y z f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- { f | E. y e. On ( f Fn y /\ A. z e. y ( f ` z ) = ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` ( f |` z ) ) ) } = { f | E. y e. On ( f Fn y /\ A. z e. y ( f ` z ) = ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` ( f |` z ) ) ) }
2	1	tfrlem7 6478	. 2 |- Fun recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
3		df-irdg 6531	. . 3 |- rec ( F , A ) = recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
4	3	funeqi 5345	. 2 |- ( Fun rec ( F , A ) <-> Fun recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ) )
5	2, 4	mpbir 146	1 |- Fun rec ( F , A )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1395   {cab 2215   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2800   u. cun 3196   U_ciun 3968   |-> cmpt 4148   Oncon0 4458   dom cdm 4723   |` cres 4725   Fun wfun 5318   Fn wfn 5319   ` cfv 5324  recscrecs 6465   reccrdg 6530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-recs 6466  df-irdg 6531

This theorem is referenced by:  rdgivallem  6542