ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdgfun Unicode version

Theorem rdgfun 6138
Description: The recursive definition generator is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rdgfun  |-  Fun  rec ( F ,  A )

Proof of Theorem rdgfun
Dummy variables  x  y  z  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2088 . . 3  |-  { f  |  E. y  e.  On  ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( f `  z )  =  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  ( f  |`  z ) ) ) }  =  { f  |  E. y  e.  On  ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( f `  z )  =  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  ( f  |`  z ) ) ) }
21tfrlem7 6082 . 2  |-  Fun recs (
( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) )
3 df-irdg 6135 . . 3  |-  rec ( F ,  A )  = recs ( ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) ) )
43funeqi 5036 . 2  |-  ( Fun 
rec ( F ,  A )  <->  Fun recs ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) ) )
52, 4mpbir 144 1  |-  Fun  rec ( F ,  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    = wceq 1289   {cab 2074   A.wral 2359   E.wrex 2360   _Vcvv 2619    u. cun 2997   U_ciun 3730    |-> cmpt 3899   Oncon0 4190   dom cdm 4438    |` cres 4440   Fun wfun 5009    Fn wfn 5010   ` cfv 5015  recscrecs 6069   reccrdg 6134
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-setind 4353
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-res 4450  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-fv 5023  df-recs 6070  df-irdg 6135
This theorem is referenced by:  rdgivallem  6146
  Copyright terms: Public domain W3C validator