ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdgfun Unicode version

Theorem rdgfun 6321
Description: The recursive definition generator is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rdgfun  |-  Fun  rec ( F ,  A )

Proof of Theorem rdgfun
Dummy variables  x  y  z  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2157 . . 3  |-  { f  |  E. y  e.  On  ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( f `  z )  =  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  ( f  |`  z ) ) ) }  =  { f  |  E. y  e.  On  ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( f `  z )  =  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  ( f  |`  z ) ) ) }
21tfrlem7 6265 . 2  |-  Fun recs (
( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) )
3 df-irdg 6318 . . 3  |-  rec ( F ,  A )  = recs ( ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) ) )
43funeqi 5192 . 2  |-  ( Fun 
rec ( F ,  A )  <->  Fun recs ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) ) )
52, 4mpbir 145 1  |-  Fun  rec ( F ,  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1335   {cab 2143   A.wral 2435   E.wrex 2436   _Vcvv 2712    u. cun 3100   U_ciun 3850    |-> cmpt 4026   Oncon0 4324   dom cdm 4587    |` cres 4589   Fun wfun 5165    Fn wfn 5166   ` cfv 5171  recscrecs 6252   reccrdg 6317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-setind 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-iord 4327  df-on 4329  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-res 4599  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-fv 5179  df-recs 6253  df-irdg 6318
This theorem is referenced by:  rdgivallem  6329
  Copyright terms: Public domain W3C validator