Theorem rdgtfr 6605

Description: The recursion rule for the recursive definition generator is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 14-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rdgtfr	|- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )

Distinct variable groups:   A, g   x, g, z, F

Allowed substitution hints:   A( x, z, f)   F( f)   V( x, z, f, g)

Proof of Theorem rdgtfr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2825	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		funmpt 5390	. . . 4 |- Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) )
3		vex 2816	. . . . 5 |- f e. _V
4		vex 2816	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
5	4	dmex 5024	. . . . . . . . . 10 |- dom g e. _V
6		vex 2816	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
7	4, 6	fvex 5690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g ` x ) e. _V
8		fveq2 5670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( g ` x ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( g ` x ) ) )
9	8	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( g ` x ) -> ( ( F ` z ) e. _V <-> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) )
10	7, 9	spcv 2911	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z ( F ` z ) e. _V -> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
11	10	ralrimivw 2616	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z ( F ` z ) e. _V -> A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
12		iunexg 6312	. . . . . . . . . 10 |- ( ( dom g e. _V /\ A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
13	5, 11, 12	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( A. z ( F ` z ) e. _V -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
14		unexg 4564	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
15	13, 14	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ A. z ( F ` z ) e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
16	15	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
17	16	ralrimivw 2616	. . . . . 6 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> A. g e. _V ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
18		dmmptg 5260	. . . . . 6 |- ( A. g e. _V ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V -> dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = _V )
19	17, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = _V )
20	3, 19	eleqtrrid 2322	. . . 4 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> f e. dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
21		funfvex 5687	. . . 4 |- ( ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ f e. dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V )
22	2, 20, 21	sylancr 414	. . 3 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V )
23	22, 2	jctil 312	. 2 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )
24	1, 23	sylan2 286	1 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   _Vcvv 2813   u. cun 3209   U_ciun 3991   |-> cmpt 4171   dom cdm 4749   Fun wfun 5346   ` cfv 5352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360

This theorem is referenced by:  rdgifnon2  6611