Theorem rdgtfr 6353

Description: The recursion rule for the recursive definition generator is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 14-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rdgtfr	|- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )

Distinct variable groups:   A, g   x, g, z, F

Allowed substitution hints:   A( x, z, f)   F( f)   V( x, z, f, g)

Proof of Theorem rdgtfr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2741	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		funmpt 5236	. . . 4 |- Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) )
3		vex 2733	. . . . 5 |- f e. _V
4		vex 2733	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
5	4	dmex 4877	. . . . . . . . . 10 |- dom g e. _V
6		vex 2733	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
7	4, 6	fvex 5516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g ` x ) e. _V
8		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( g ` x ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( g ` x ) ) )
9	8	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( g ` x ) -> ( ( F ` z ) e. _V <-> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) )
10	7, 9	spcv 2824	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z ( F ` z ) e. _V -> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
11	10	ralrimivw 2544	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z ( F ` z ) e. _V -> A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
12		iunexg 6098	. . . . . . . . . 10 |- ( ( dom g e. _V /\ A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
13	5, 11, 12	sylancr 412	. . . . . . . . 9 |- ( A. z ( F ` z ) e. _V -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
14		unexg 4428	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
15	13, 14	sylan2 284	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ A. z ( F ` z ) e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
16	15	ancoms 266	. . . . . . 7 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
17	16	ralrimivw 2544	. . . . . 6 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> A. g e. _V ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
18		dmmptg 5108	. . . . . 6 |- ( A. g e. _V ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V -> dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = _V )
19	17, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = _V )
20	3, 19	eleqtrrid 2260	. . . 4 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> f e. dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
21		funfvex 5513	. . . 4 |- ( ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ f e. dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V )
22	2, 20, 21	sylancr 412	. . 3 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V )
23	22, 2	jctil 310	. 2 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )
24	1, 23	sylan2 284	1 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1346   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   u. cun 3119   U_ciun 3873   |-> cmpt 4050   dom cdm 4611   Fun wfun 5192   ` cfv 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206

This theorem is referenced by:  rdgifnon2  6359