Theorem rdgtfr 6645

Description: The recursion rule for the recursive definition generator is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 14-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rdgtfr	|- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )

Distinct variable groups:   A, g   x, g, z, F

Allowed substitution hints:   A( x, z, f)   F( f)   V( x, z, f, g)

Proof of Theorem rdgtfr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		funmpt 5415	. . . 4 |- Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) )
3		vex 2824	. . . . 5 |- f e. _V
4		vex 2824	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
5	4	dmex 5049	. . . . . . . . . 10 |- dom g e. _V
6		vex 2824	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
7	4, 6	fvex 5715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g ` x ) e. _V
8		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( g ` x ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( g ` x ) ) )
9	8	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( g ` x ) -> ( ( F ` z ) e. _V <-> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) )
10	7, 9	spcv 2919	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z ( F ` z ) e. _V -> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
11	10	ralrimivw 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z ( F ` z ) e. _V -> A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
12		iunexg 6348	. . . . . . . . . 10 |- ( ( dom g e. _V /\ A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
13	5, 11, 12	sylancr 418	. . . . . . . . 9 |- ( A. z ( F ` z ) e. _V -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
14		unexg 4589	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
15	13, 14	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ A. z ( F ` z ) e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
16	15	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
17	16	ralrimivw 2624	. . . . . 6 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> A. g e. _V ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
18		dmmptg 5285	. . . . . 6 |- ( A. g e. _V ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V -> dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = _V )
19	17, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = _V )
20	3, 19	eleqtrrid 2328	. . . 4 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> f e. dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
21		funfvex 5712	. . . 4 |- ( ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ f e. dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V )
22	2, 20, 21	sylancr 418	. . 3 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V )
23	22, 2	jctil 312	. 2 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )
24	1, 23	sylan2 286	1 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1400   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   u. cun 3218   U_ciun 4012   |-> cmpt 4192   dom cdm 4774   Fun wfun 5371   ` cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385

This theorem is used by:  rdgifnon2  6651