Theorem rdgtfr 6377

Description: The recursion rule for the recursive definition generator is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 14-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rdgtfr	|- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )

Distinct variable groups:   A, g   x, g, z, F

Allowed substitution hints:   A( x, z, f)   F( f)   V( x, z, f, g)

Proof of Theorem rdgtfr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2750	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		funmpt 5256	. . . 4 |- Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) )
3		vex 2742	. . . . 5 |- f e. _V
4		vex 2742	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
5	4	dmex 4895	. . . . . . . . . 10 |- dom g e. _V
6		vex 2742	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
7	4, 6	fvex 5537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g ` x ) e. _V
8		fveq2 5517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( g ` x ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( g ` x ) ) )
9	8	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( g ` x ) -> ( ( F ` z ) e. _V <-> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) )
10	7, 9	spcv 2833	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z ( F ` z ) e. _V -> ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
11	10	ralrimivw 2551	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z ( F ` z ) e. _V -> A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
12		iunexg 6122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( dom g e. _V /\ A. x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
13	5, 11, 12	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( A. z ( F ` z ) e. _V -> U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V )
14		unexg 4445	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
15	13, 14	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ A. z ( F ` z ) e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
16	15	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
17	16	ralrimivw 2551	. . . . . 6 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> A. g e. _V ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V )
18		dmmptg 5128	. . . . . 6 |- ( A. g e. _V ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) e. _V -> dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = _V )
19	17, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) = _V )
20	3, 19	eleqtrrid 2267	. . . 4 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> f e. dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
21		funfvex 5534	. . . 4 |- ( ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ f e. dom ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V )
22	2, 20, 21	sylancr 414	. . 3 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V )
23	22, 2	jctil 312	. 2 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )
24	1, 23	sylan2 286	1 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> ( Fun ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) /\ ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` f ) e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1351   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2739   u. cun 3129   U_ciun 3888   |-> cmpt 4066   dom cdm 4628   Fun wfun 5212   ` cfv 5218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226

This theorem is referenced by:  rdgifnon2  6383