Theorem rdgfun 6341

Description: The recursive definition generator is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rdgfun	⊢ Fun rec(𝐹, 𝐴)

Proof of Theorem rdgfun

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2165	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ ∃𝑦 ∈ On (𝑓 Fn 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑧) = ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))‘(𝑓 ↾ 𝑧)))} = {𝑓 ∣ ∃𝑦 ∈ On (𝑓 Fn 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑧) = ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))‘(𝑓 ↾ 𝑧)))}
2	1	tfrlem7 6285	. 2 ⊢ Fun recs((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))))
3		df-irdg 6338	. . 3 ⊢ rec(𝐹, 𝐴) = recs((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))))
4	3	funeqi 5209	. 2 ⊢ (Fun rec(𝐹, 𝐴) ↔ Fun recs((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))))
5	2, 4	mpbir 145	1 ⊢ Fun rec(𝐹, 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1343  {cab 2151  ∀wral 2444  ∃wrex 2445  Vcvv 2726   ∪ cun 3114  ∪ ciun 3866   ↦ cmpt 4043  Oncon0 4341  dom cdm 4604   ↾ cres 4606  Fun wfun 5182   Fn wfn 5183  ‘cfv 5188  recscrecs 6272  reccrdg 6337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-res 4616  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-fv 5196  df-recs 6273  df-irdg 6338

This theorem is referenced by:  rdgivallem  6349