Theorem rdgfun 6426

Description: The recursive definition generator is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rdgfun	⊢ Fun rec(𝐹, 𝐴)

Proof of Theorem rdgfun

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ ∃𝑦 ∈ On (𝑓 Fn 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑧) = ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))‘(𝑓 ↾ 𝑧)))} = {𝑓 ∣ ∃𝑦 ∈ On (𝑓 Fn 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑧) = ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))‘(𝑓 ↾ 𝑧)))}
2	1	tfrlem7 6370	. 2 ⊢ Fun recs((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))))
3		df-irdg 6423	. . 3 ⊢ rec(𝐹, 𝐴) = recs((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))))
4	3	funeqi 5275	. 2 ⊢ (Fun rec(𝐹, 𝐴) ↔ Fun recs((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))))
5	2, 4	mpbir 146	1 ⊢ Fun rec(𝐹, 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364  {cab 2179  ∀wral 2472  ∃wrex 2473  Vcvv 2760   ∪ cun 3151  ∪ ciun 3912   ↦ cmpt 4090  Oncon0 4394  dom cdm 4659   ↾ cres 4661  Fun wfun 5248   Fn wfn 5249  ‘cfv 5254  recscrecs 6357  reccrdg 6422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-recs 6358  df-irdg 6423

This theorem is referenced by:  rdgivallem  6434