Theorem rdgfun 6538

Description: The recursive definition generator is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rdgfun	⊢ Fun rec(𝐹, 𝐴)

Proof of Theorem rdgfun

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ ∃𝑦 ∈ On (𝑓 Fn 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑧) = ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))‘(𝑓 ↾ 𝑧)))} = {𝑓 ∣ ∃𝑦 ∈ On (𝑓 Fn 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑓‘𝑧) = ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))‘(𝑓 ↾ 𝑧)))}
2	1	tfrlem7 6482	. 2 ⊢ Fun recs((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))))
3		df-irdg 6535	. . 3 ⊢ rec(𝐹, 𝐴) = recs((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥)))))
4	3	funeqi 5347	. 2 ⊢ (Fun rec(𝐹, 𝐴) ↔ Fun recs((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔‘𝑥))))))
5	2, 4	mpbir 146	1 ⊢ Fun rec(𝐹, 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1397  {cab 2217  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  Vcvv 2802   ∪ cun 3198  ∪ ciun 3970   ↦ cmpt 4150  Oncon0 4460  dom cdm 4725   ↾ cres 4727  Fun wfun 5320   Fn wfn 5321  ‘cfv 5326  recscrecs 6469  reccrdg 6534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-recs 6470  df-irdg 6535

This theorem is referenced by:  rdgivallem  6546