Theorem reldmm 4941

Description: A relation is inhabited iff its domain is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
reldmm	|- ( Rel A -> ( E. x x e. A <-> E. y y e. dom A ) )

Distinct variable groups:   x, A   y, A

Proof of Theorem reldmm

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1w 2290	. . 3 |- ( w = x -> ( w e. A <-> x e. A ) )
2	1	cbvexv 1965	. 2 |- ( E. w w e. A <-> E. x x e. A )
3		elrel 4820	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel A /\ w e. A ) -> E. y E. z w = <. y , z >. )
4		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = <. y , z >. -> ( w e. A <-> <. y , z >. e. A ) )
5	4	biimpd 144	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = <. y , z >. -> ( w e. A -> <. y , z >. e. A ) )
6	5	eximi 1646	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z w = <. y , z >. -> E. z ( w e. A -> <. y , z >. e. A ) )
7		nfv 1574	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z w e. A
8	7	19.37-1 1720	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z ( w e. A -> <. y , z >. e. A ) -> ( w e. A -> E. z <. y , z >. e. A ) )
9	6, 8	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( E. z w = <. y , z >. -> ( w e. A -> E. z <. y , z >. e. A ) )
10	9	eximi 1646	. . . . . . . 8 |- ( E. y E. z w = <. y , z >. -> E. y ( w e. A -> E. z <. y , z >. e. A ) )
11		nfv 1574	. . . . . . . . 9 |- F/ y w e. A
12	11	19.37-1 1720	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( w e. A -> E. z <. y , z >. e. A ) -> ( w e. A -> E. y E. z <. y , z >. e. A ) )
13	3, 10, 12	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( Rel A /\ w e. A ) -> ( w e. A -> E. y E. z <. y , z >. e. A ) )
14	13	syldbl2 1326	. . . . . 6 |- ( ( Rel A /\ w e. A ) -> E. y E. z <. y , z >. e. A )
15		vex 2802	. . . . . . . 8 |- y e. _V
16	15	eldm2 4920	. . . . . . 7 |- ( y e. dom A <-> E. z <. y , z >. e. A )
17	16	exbii 1651	. . . . . 6 |- ( E. y y e. dom A <-> E. y E. z <. y , z >. e. A )
18	14, 17	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( Rel A /\ w e. A ) -> E. y y e. dom A )
19	18	ex 115	. . . 4 |- ( Rel A -> ( w e. A -> E. y y e. dom A ) )
20	19	exlimdv 1865	. . 3 |- ( Rel A -> ( E. w w e. A -> E. y y e. dom A ) )
21		elex2 2816	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. A -> E. w w e. A )
22	21	exlimivv 1943	. . . 4 |- ( E. y E. z <. y , z >. e. A -> E. w w e. A )
23	17, 22	sylbi 121	. . 3 |- ( E. y y e. dom A -> E. w w e. A )
24	20, 23	impbid1 142	. 2 |- ( Rel A -> ( E. w w e. A <-> E. y y e. dom A ) )
25	2, 24	bitr3id 194	1 |- ( Rel A -> ( E. x x e. A <-> E. y y e. dom A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   <.cop 3669   dom cdm 4718   Rel wrel 4723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-rel 4725  df-dm 4728

This theorem is referenced by:  wlkm  16038