Theorem reldmm 4975

Description: A relation is inhabited iff its domain is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
reldmm	|- ( Rel A -> ( E. x x e. A <-> E. y y e. dom A ) )

Distinct variable groups:   x, A   y, A

Proof of Theorem reldmm

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1w 2293	. . 3 |- ( w = x -> ( w e. A <-> x e. A ) )
2	1	cbvexv 1968	. 2 |- ( E. w w e. A <-> E. x x e. A )
3		elrel 4852	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel A /\ w e. A ) -> E. y E. z w = <. y , z >. )
4		eleq1 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = <. y , z >. -> ( w e. A <-> <. y , z >. e. A ) )
5	4	biimpd 144	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = <. y , z >. -> ( w e. A -> <. y , z >. e. A ) )
6	5	eximi 1649	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z w = <. y , z >. -> E. z ( w e. A -> <. y , z >. e. A ) )
7		nfv 1577	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z w e. A
8	7	19.37-1 1722	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z ( w e. A -> <. y , z >. e. A ) -> ( w e. A -> E. z <. y , z >. e. A ) )
9	6, 8	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( E. z w = <. y , z >. -> ( w e. A -> E. z <. y , z >. e. A ) )
10	9	eximi 1649	. . . . . . . 8 |- ( E. y E. z w = <. y , z >. -> E. y ( w e. A -> E. z <. y , z >. e. A ) )
11		nfv 1577	. . . . . . . . 9 |- F/ y w e. A
12	11	19.37-1 1722	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( w e. A -> E. z <. y , z >. e. A ) -> ( w e. A -> E. y E. z <. y , z >. e. A ) )
13	3, 10, 12	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( Rel A /\ w e. A ) -> ( w e. A -> E. y E. z <. y , z >. e. A ) )
14	13	syldbl2 1329	. . . . . 6 |- ( ( Rel A /\ w e. A ) -> E. y E. z <. y , z >. e. A )
15		vex 2816	. . . . . . . 8 |- y e. _V
16	15	eldm2 4954	. . . . . . 7 |- ( y e. dom A <-> E. z <. y , z >. e. A )
17	16	exbii 1654	. . . . . 6 |- ( E. y y e. dom A <-> E. y E. z <. y , z >. e. A )
18	14, 17	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( Rel A /\ w e. A ) -> E. y y e. dom A )
19	18	ex 115	. . . 4 |- ( Rel A -> ( w e. A -> E. y y e. dom A ) )
20	19	exlimdv 1868	. . 3 |- ( Rel A -> ( E. w w e. A -> E. y y e. dom A ) )
21		elex2 2830	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. A -> E. w w e. A )
22	21	exlimivv 1946	. . . 4 |- ( E. y E. z <. y , z >. e. A -> E. w w e. A )
23	17, 22	sylbi 121	. . 3 |- ( E. y y e. dom A -> E. w w e. A )
24	20, 23	impbid1 142	. 2 |- ( Rel A -> ( E. w w e. A <-> E. y y e. dom A ) )
25	2, 24	bitr3id 194	1 |- ( Rel A -> ( E. x x e. A <-> E. y y e. dom A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   <.cop 3692   dom cdm 4749   Rel wrel 4754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-rel 4756  df-dm 4759

This theorem is referenced by:  wlkm  16334  eulerpathum  16476