Theorem reldmm 4995

Description: A relation is inhabited iff its domain is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
reldmm	|- ( Rel A -> ( E. x x e. A <-> E. y y e. dom A ) )

Distinct variable groups:   x, A   y, A

Proof of Theorem reldmm

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1w 2299	. . 3 |- ( w = x -> ( w e. A <-> x e. A ) )
2	1	cbvexv 1974	. 2 |- ( E. w w e. A <-> E. x x e. A )
3		elrel 4872	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel A /\ w e. A ) -> E. y E. z w = <. y , z >. )
4		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = <. y , z >. -> ( w e. A <-> <. y , z >. e. A ) )
5	4	biimpd 144	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = <. y , z >. -> ( w e. A -> <. y , z >. e. A ) )
6	5	eximi 1653	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z w = <. y , z >. -> E. z ( w e. A -> <. y , z >. e. A ) )
7		nfv 1581	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z w e. A
8	7	19.37-1 1726	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z ( w e. A -> <. y , z >. e. A ) -> ( w e. A -> E. z <. y , z >. e. A ) )
9	6, 8	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( E. z w = <. y , z >. -> ( w e. A -> E. z <. y , z >. e. A ) )
10	9	eximi 1653	. . . . . . . 8 |- ( E. y E. z w = <. y , z >. -> E. y ( w e. A -> E. z <. y , z >. e. A ) )
11		nfv 1581	. . . . . . . . 9 |- F/ y w e. A
12	11	19.37-1 1726	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( w e. A -> E. z <. y , z >. e. A ) -> ( w e. A -> E. y E. z <. y , z >. e. A ) )
13	3, 10, 12	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( Rel A /\ w e. A ) -> ( w e. A -> E. y E. z <. y , z >. e. A ) )
14	13	syldbl2 1333	. . . . . 6 |- ( ( Rel A /\ w e. A ) -> E. y E. z <. y , z >. e. A )
15		vex 2824	. . . . . . . 8 |- y e. _V
16	15	eldm2 4974	. . . . . . 7 |- ( y e. dom A <-> E. z <. y , z >. e. A )
17	16	exbii 1658	. . . . . 6 |- ( E. y y e. dom A <-> E. y E. z <. y , z >. e. A )
18	14, 17	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( Rel A /\ w e. A ) -> E. y y e. dom A )
19	18	ex 115	. . . 4 |- ( Rel A -> ( w e. A -> E. y y e. dom A ) )
20	19	exlimdv 1872	. . 3 |- ( Rel A -> ( E. w w e. A -> E. y y e. dom A ) )
21		elex2 2838	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. A -> E. w w e. A )
22	21	exlimivv 1952	. . . 4 |- ( E. y E. z <. y , z >. e. A -> E. w w e. A )
23	17, 22	sylbi 121	. . 3 |- ( E. y y e. dom A -> E. w w e. A )
24	20, 23	impbid1 142	. 2 |- ( Rel A -> ( E. w w e. A <-> E. y y e. dom A ) )
25	2, 24	bitr3id 194	1 |- ( Rel A -> ( E. x x e. A <-> E. y y e. dom A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   <.cop 3708   dom cdm 4769   Rel wrel 4774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-rel 4776  df-dm 4779

This theorem is referenced by:  wlkm  16494  eulerpathum  16636