Theorem reldm0 4974

Description: A relation is empty iff its domain is empty. For a similar theorem for whether the relation and domain are inhabited, see reldmm 4975. (Contributed by NM, 15-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
reldm0	|- ( Rel A -> ( A = (/) <-> dom A = (/) ) )

Proof of Theorem reldm0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 4877	. . 3 |- Rel (/)
2		eqrel 4839	. . 3 |- ( ( Rel A /\ Rel (/) ) -> ( A = (/) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) ) )
3	1, 2	mpan2 425	. 2 |- ( Rel A -> ( A = (/) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) ) )
4		eq0 3527	. . 3 |- ( dom A = (/) <-> A. x -. x e. dom A )
5		alnex 1548	. . . . . 6 |- ( A. y -. <. x , y >. e. A <-> -. E. y <. x , y >. e. A )
6		vex 2816	. . . . . . 7 |- x e. _V
7	6	eldm2 4954	. . . . . 6 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
8	5, 7	xchbinxr 690	. . . . 5 |- ( A. y -. <. x , y >. e. A <-> -. x e. dom A )
9		noel 3512	. . . . . . 7 |- -. <. x , y >. e. (/)
10	9	nbn 707	. . . . . 6 |- ( -. <. x , y >. e. A <-> ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) )
11	10	albii 1519	. . . . 5 |- ( A. y -. <. x , y >. e. A <-> A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) )
12	8, 11	bitr3i 186	. . . 4 |- ( -. x e. dom A <-> A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) )
13	12	albii 1519	. . 3 |- ( A. x -. x e. dom A <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) )
14	4, 13	bitr2i 185	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) <-> dom A = (/) )
15	3, 14	bitrdi 196	1 |- ( Rel A -> ( A = (/) <-> dom A = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   (/)c0 3508   <.cop 3692   dom cdm 4749   Rel wrel 4754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-rel 4756  df-dm 4759

This theorem is referenced by:  relrn0  5019  fnresdisj  5468  fn0  5478  fsnunfv  5885  swrd0g  11352  setsresg  13250  metn0  15243