Theorem reldm0 4940

Description: A relation is empty iff its domain is empty. For a similar theorem for whether the relation and domain are inhabited, see reldmm 4941. (Contributed by NM, 15-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
reldm0	|- ( Rel A -> ( A = (/) <-> dom A = (/) ) )

Proof of Theorem reldm0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 4843	. . 3 |- Rel (/)
2		eqrel 4807	. . 3 |- ( ( Rel A /\ Rel (/) ) -> ( A = (/) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) ) )
3	1, 2	mpan2 425	. 2 |- ( Rel A -> ( A = (/) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) ) )
4		eq0 3510	. . 3 |- ( dom A = (/) <-> A. x -. x e. dom A )
5		alnex 1545	. . . . . 6 |- ( A. y -. <. x , y >. e. A <-> -. E. y <. x , y >. e. A )
6		vex 2802	. . . . . . 7 |- x e. _V
7	6	eldm2 4920	. . . . . 6 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
8	5, 7	xchbinxr 687	. . . . 5 |- ( A. y -. <. x , y >. e. A <-> -. x e. dom A )
9		noel 3495	. . . . . . 7 |- -. <. x , y >. e. (/)
10	9	nbn 704	. . . . . 6 |- ( -. <. x , y >. e. A <-> ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) )
11	10	albii 1516	. . . . 5 |- ( A. y -. <. x , y >. e. A <-> A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) )
12	8, 11	bitr3i 186	. . . 4 |- ( -. x e. dom A <-> A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) )
13	12	albii 1516	. . 3 |- ( A. x -. x e. dom A <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) )
14	4, 13	bitr2i 185	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) <-> dom A = (/) )
15	3, 14	bitrdi 196	1 |- ( Rel A -> ( A = (/) <-> dom A = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   (/)c0 3491   <.cop 3669   dom cdm 4718   Rel wrel 4723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-rel 4725  df-dm 4728

This theorem is referenced by:  relrn0  4985  fnresdisj  5432  fn0  5442  fsnunfv  5839  swrd0g  11187  setsresg  13065  metn0  15046