Theorem restrcl 14714

Description: Reverse closure for the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by Jim Kingdon, 23-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
restrcl	⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))

Proof of Theorem restrcl

Dummy variables 𝑥 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 14553	. 2 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
2		df-rest 13148	. . 3 ⊢ ↾t = (𝑗 ∈ V, 𝑥 ∈ V ↦ ran (𝑦 ∈ 𝑗 ↦ (𝑦 ∩ 𝑥)))
3	2	elmpocl 6154	. 2 ⊢ (∅ ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
4	1, 3	syl 14	1 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ∩ cin 3169  ∅c0 3464   ↦ cmpt 4113  ran crn 4684  (class class class)co 5957   ↾_t crest 13146  Topctop 14544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-rest 13148  df-top 14545

This theorem is referenced by:  cnrest2r  14784