Theorem cnrest2r 14824

Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnrest2r	|- ( K e. Top -> ( J Cn ( K ↾t B ) ) C_ ( J Cn K ) )

Proof of Theorem cnrest2r

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) )
2		cntop2 14789	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> ( K ↾t B ) e. Top )
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( K ↾t B ) e. Top )
4		restrcl 14754	. . . . . . 7 |- ( ( K ↾t B ) e. Top -> ( K e. _V /\ B e. _V ) )
5		eqid 2207	. . . . . . . 8 |- U. K = U. K
6	5	restin 14763	. . . . . . 7 |- ( ( K e. _V /\ B e. _V ) -> ( K ↾t B ) = ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) )
7	3, 4, 6	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( K ↾t B ) = ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) )
8	7	oveq2d 5983	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( J Cn ( K ↾t B ) ) = ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) )
9	1, 8	eleqtrd 2286	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> f e. ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) )
10		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> K e. Top )
11	5	toptopon 14605	. . . . . 6 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
12	10, 11	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
13		cntop1 14788	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> J e. Top )
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> J e. Top )
15		eqid 2207	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
16	15	toptopon 14605	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
17	14, 16	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
18		inss2 3402	. . . . . . . 8 |- ( B i^i U. K ) C_ U. K
19		resttopon 14758	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( B i^i U. K ) C_ U. K ) -> ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) e. (TopOn ` ( B i^i U. K ) ) )
20	12, 18, 19	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) e. (TopOn ` ( B i^i U. K ) ) )
21		cnf2 14792	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) e. (TopOn ` ( B i^i U. K ) ) /\ f e. ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) ) -> f : U. J --> ( B i^i U. K ) )
22	17, 20, 9, 21	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> f : U. J --> ( B i^i U. K ) )
23	22	frnd 5455	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ran f C_ ( B i^i U. K ) )
24	18	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( B i^i U. K ) C_ U. K )
25		cnrest2 14823	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ ran f C_ ( B i^i U. K ) /\ ( B i^i U. K ) C_ U. K ) -> ( f e. ( J Cn K ) <-> f e. ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) ) )
26	12, 23, 24, 25	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( f e. ( J Cn K ) <-> f e. ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) ) )
27	9, 26	mpbird 167	. . 3 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> f e. ( J Cn K ) )
28	27	ex 115	. 2 |- ( K e. Top -> ( f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> f e. ( J Cn K ) ) )
29	28	ssrdv 3207	1 |- ( K e. Top -> ( J Cn ( K ↾t B ) ) C_ ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   i^i cin 3173   C_ wss 3174   U.cuni 3864   ran crn 4694   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   ↾_t crest 13186   Topctop 14584  TopOnctopon 14597   Cn ccn 14772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-map 6760  df-rest 13188  df-topgen 13207  df-top 14585  df-topon 14598  df-bases 14630  df-cn 14775

This theorem is referenced by:  cnrehmeocntop  15197