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Theorem cnrest2r 12445
Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnrest2r  |-  ( K  e.  Top  ->  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  C_  ( J  Cn  K ) )

Proof of Theorem cnrest2r
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )
2 cntop2 12410 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  -> 
( Kt  B )  e.  Top )
32adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( Kt  B )  e.  Top )
4 restrcl 12375 . . . . . . 7  |-  ( ( Kt  B )  e.  Top  ->  ( K  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
5 eqid 2140 . . . . . . . 8  |-  U. K  =  U. K
65restin 12384 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( Kt  B )  =  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) ) )
73, 4, 63syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( Kt  B )  =  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) ) )
87oveq2d 5798 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  =  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K
) ) ) )
91, 8eleqtrd 2219 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K
) ) ) )
10 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  K  e.  Top )
115toptopon 12224 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
1210, 11sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
13 cntop1 12409 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  ->  J  e.  Top )
1413adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  J  e.  Top )
15 eqid 2140 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
1615toptopon 12224 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
1714, 16sylib 121 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
18 inss2 3302 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  U. K ) 
C_  U. K
19 resttopon 12379 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ( B  i^i  U. K ) 
C_  U. K )  -> 
( Kt  ( B  i^i  U. K ) )  e.  (TopOn `  ( B  i^i  U. K ) ) )
2012, 18, 19sylancl 410 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) )  e.  (TopOn `  ( B  i^i  U. K
) ) )
21 cnf2 12413 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  ( Kt  ( B  i^i  U. K
) )  e.  (TopOn `  ( B  i^i  U. K ) )  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) ) ) )  ->  f : U. J --> ( B  i^i  U. K ) )
2217, 20, 9, 21syl3anc 1217 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  f : U. J
--> ( B  i^i  U. K ) )
2322frnd 5290 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ran  f  C_  ( B  i^i  U. K
) )
2418a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( B  i^i  U. K )  C_  U. K
)
25 cnrest2 12444 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ran  f  C_  ( B  i^i  U. K )  /\  ( B  i^i  U. K ) 
C_  U. K )  -> 
( f  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
f  e.  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K ) ) ) ) )
2612, 23, 24, 25syl3anc 1217 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( f  e.  ( J  Cn  K
)  <->  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  ( B  i^i  U. K
) ) ) ) )
279, 26mpbird 166 . . 3  |-  ( ( K  e.  Top  /\  f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K ) )
2827ex 114 . 2  |-  ( K  e.  Top  ->  (
f  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) ) )
2928ssrdv 3108 1  |-  ( K  e.  Top  ->  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  C_  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1332    e. wcel 1481   _Vcvv 2689    i^i cin 3075    C_ wss 3076   U.cuni 3744   ran crn 4548   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   ↾t crest 12159   Topctop 12203  TopOnctopon 12216    Cn ccn 12393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-map 6552  df-rest 12161  df-topgen 12180  df-top 12204  df-topon 12217  df-bases 12249  df-cn 12396
This theorem is referenced by:  cnrehmeocntop  12801
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