Theorem cnrest2r 15261

Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnrest2r	|- ( K e. Top -> ( J Cn ( K ↾t B ) ) C_ ( J Cn K ) )

Proof of Theorem cnrest2r

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) )
2		cntop2 15226	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> ( K ↾t B ) e. Top )
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( K ↾t B ) e. Top )
4		restrcl 15191	. . . . . . 7 |- ( ( K ↾t B ) e. Top -> ( K e. _V /\ B e. _V ) )
5		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- U. K = U. K
6	5	restin 15200	. . . . . . 7 |- ( ( K e. _V /\ B e. _V ) -> ( K ↾t B ) = ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) )
7	3, 4, 6	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( K ↾t B ) = ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) )
8	7	oveq2d 6091	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( J Cn ( K ↾t B ) ) = ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) )
9	1, 8	eleqtrd 2317	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> f e. ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) )
10		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> K e. Top )
11	5	toptopon 15042	. . . . . 6 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
12	10, 11	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
13		cntop1 15225	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> J e. Top )
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> J e. Top )
15		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
16	15	toptopon 15042	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
17	14, 16	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
18		inss2 3452	. . . . . . . 8 |- ( B i^i U. K ) C_ U. K
19		resttopon 15195	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( B i^i U. K ) C_ U. K ) -> ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) e. (TopOn ` ( B i^i U. K ) ) )
20	12, 18, 19	sylancl 417	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) e. (TopOn ` ( B i^i U. K ) ) )
21		cnf2 15229	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) e. (TopOn ` ( B i^i U. K ) ) /\ f e. ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) ) -> f : U. J --> ( B i^i U. K ) )
22	17, 20, 9, 21	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> f : U. J --> ( B i^i U. K ) )
23	22	frnd 5538	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ran f C_ ( B i^i U. K ) )
24	18	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( B i^i U. K ) C_ U. K )
25		cnrest2 15260	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ ran f C_ ( B i^i U. K ) /\ ( B i^i U. K ) C_ U. K ) -> ( f e. ( J Cn K ) <-> f e. ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) ) )
26	12, 23, 24, 25	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( f e. ( J Cn K ) <-> f e. ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) ) )
27	9, 26	mpbird 167	. . 3 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> f e. ( J Cn K ) )
28	27	ex 115	. 2 |- ( K e. Top -> ( f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> f e. ( J Cn K ) ) )
29	28	ssrdv 3254	1 |- ( K e. Top -> ( J Cn ( K ↾t B ) ) C_ ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   C_ wss 3220   U.cuni 3930   ran crn 4770   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   ↾_t crest 13570   Topctop 15021  TopOnctopon 15034   Cn ccn 15209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-map 6914  df-rest 13572  df-topgen 13591  df-top 15022  df-topon 15035  df-bases 15067  df-cn 15212

This theorem is referenced by:  cnrehmeocntop  15634