updjud - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem updjud 7081

Description: Universal property of the disjoint union. (Proposed by BJ, 25-Jun-2022.) (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
updjud.f
updjud.g
updjud.a
updjud.b

**Assertion**
Ref	Expression
updjud	⊔ $/\$ inl $/\$ inr

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem updjud Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		updjud.a	. . . . . 6
2		updjud.b	. . . . . 6
3	1, 2	jca 306	. . . . 5 $/\$
4		djuex 7042	. . . . 5 $/\$ ⊔
5		mptexg 5742	. . . . 5 ⊔ ⊔
6	3, 4, 5	3syl 17	. . . 4 ⊔
7		feq1 5349	. . . . . . 7 ⊔ ⊔ ⊔ ⊔
8		coeq1 4785	. . . . . . . 8 ⊔ inl ⊔ inl
9	8	eqeq1d 2186	. . . . . . 7 ⊔ inl ⊔ inl
10		coeq1 4785	. . . . . . . 8 ⊔ inr ⊔ inr
11	10	eqeq1d 2186	. . . . . . 7 ⊔ inr ⊔ inr
12	7, 9, 11	3anbi123d 1312	. . . . . 6 ⊔ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr
13		eqeq1 2184	. . . . . . . 8 ⊔ ⊔
14	13	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊔ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
15	14	ralbidv 2477	. . . . . 6 ⊔ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
16	12, 15	anbi12d 473	. . . . 5 ⊔ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
17	16	adantl 277	. . . 4 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
18		updjud.f	. . . . . 6
19		updjud.g	. . . . . 6
20		eqid 2177	. . . . . 6 ⊔ ⊔
21	18, 19, 20	updjudhf 7078	. . . . 5 ⊔ ⊔
22	18, 19, 20	updjudhcoinlf 7079	. . . . 5 ⊔ inl
23	18, 19, 20	updjudhcoinrg 7080	. . . . 5 ⊔ inr
24		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr
25		eqeq2 2187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊔ inl inl ⊔ inl inl
26		fvres 5540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inl inl
27	26	eqcomd 2183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inl inl
28	27	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 inl inl
29	28	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ inl inl
30		fveq1 5515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊔ inl inl ⊔ inl inl
31	30	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ ⊔ inl inl
32		inlresf1 7060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 inl ⊔
33		f1fn 5424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 inl ⊔ inl
34	32, 33	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊔ inl inl $/\$ inl
35		fvco2 5586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inl $/\$ ⊔ inl ⊔ inl
36	34, 35	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ ⊔ inl ⊔ inl
37		fvco2 5586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inl $/\$ inl inl
38	34, 37	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ inl inl
39	31, 36, 38	3eqtr3d 2218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ ⊔ inl inl
40		fveq2 5516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inl ⊔ ⊔ inl
41		fveq2 5516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inl inl
42	40, 41	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 inl ⊔ ⊔ inl inl
43	39, 42	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ inl ⊔
44	29, 43	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ inl ⊔
45	44	expimpd 363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ inl ⊔
46	45	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊔ inl inl $/\$ inl ⊔
47	46	eqcoms 2180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 inl ⊔ inl $/\$ inl ⊔
48	25, 47	syl6bir 164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊔ inl inl $/\$ inl ⊔
49	48	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊔ inl inl $/\$ inl ⊔
50	49	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr inl $/\$ inl ⊔
51	50	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr inl $/\$ inl ⊔
52	51	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 inl $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ inl ⊔
53	52	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ inl ⊔
54	53	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ inl ⊔
55	54	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ inl $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
56	55	rexlimiva 2589	. . . . . . . . . . . . 13 inl $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
57		eqeq2 2187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊔ inr inr ⊔ inr inr
58		fvres 5540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inr inr
59	58	eqcomd 2183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inr inr
60	59	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 inr inr
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ inr inr
62		fveq1 5515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊔ inr inr ⊔ inr inr
63	62	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ ⊔ inr inr
64		inrresf1 7061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 inr ⊔
65		f1fn 5424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 inr ⊔ inr
66	64, 65	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊔ inr inr $/\$ inr
67		fvco2 5586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inr $/\$ ⊔ inr ⊔ inr
68	66, 67	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ ⊔ inr ⊔ inr
69		fvco2 5586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inr $/\$ inr inr
70	66, 69	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ inr inr
71	63, 68, 70	3eqtr3d 2218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ ⊔ inr inr
72		fveq2 5516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inr ⊔ ⊔ inr
73		fveq2 5516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inr inr
74	72, 73	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 inr ⊔ ⊔ inr inr
75	71, 74	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ inr ⊔
76	61, 75	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ inr ⊔
77	76	expimpd 363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ inr ⊔
78	77	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊔ inr inr $/\$ inr ⊔
79	78	eqcoms 2180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 inr ⊔ inr $/\$ inr ⊔
80	57, 79	syl6bir 164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊔ inr inr $/\$ inr ⊔
81	80	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊔ inr inr $/\$ inr ⊔
82	81	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr inr $/\$ inr ⊔
83	82	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr inr $/\$ inr ⊔
84	83	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ inr ⊔
85	84	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ inr ⊔
86	85	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ inr ⊔
87	86	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
88	87	rexlimiva 2589	. . . . . . . . . . . . 13 inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
89	56, 88	jaoi 716	. . . . . . . . . . . 12 inl $\/$ inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
90		djur 7068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊔ inl $\/$ inr
91	90	biimpi 120	. . . . . . . . . . . 12 ⊔ inl $\/$ inr
92	89, 91	syl11 31	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔
93	92	ralrimiv 2549	. . . . . . . . . 10 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔
94		ffn 5366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊔ ⊔ ⊔ ⊔
95	94	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . . 12 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ ⊔
96	95	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ ⊔
97		ffn 5366	. . . . . . . . . . . 12 ⊔ ⊔
98	97	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . 11 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
99		eqfnfv 5614	. . . . . . . . . . 11 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ ⊔ ⊔ ⊔
100	96, 98, 99	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔ ⊔
101	93, 100	mpbird 167	. . . . . . . . 9 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
102	101	ex 115	. . . . . . . 8 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
103	102	ralrimivw 2551	. . . . . . 7 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
104	24, 103	jca 306	. . . . . 6 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
105	104	ex 115	. . . . 5 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
106	21, 22, 23, 105	mp3and 1340	. . . 4 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
107	6, 17, 106	rspcedvd 2848	. . 3 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr
108		feq1 5349	. . . . 5 ⊔ ⊔
109		coeq1 4785	. . . . . 6 inl inl
110	109	eqeq1d 2186	. . . . 5 inl inl
111		coeq1 4785	. . . . . 6 inr inr
112	111	eqeq1d 2186	. . . . 5 inr inr
113	108, 110, 112	3anbi123d 1312	. . . 4 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr
114	113	reu8 2934	. . 3 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr
115	107, 114	sylibr 134	. 2 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr
116		reuv 2757	. 2 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr
117	115, 116	sylib 122	1 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 708 $/\$ w3a 978

wceq 1353

weu 2026

wcel 2148

wral 2455

wrex 2456

wreu 2457

cvv 2738

c0 3423

cif 3535

cmpt 4065

cres 4629

ccom 4631

wfn 5212

wf 5213

wf1 5214

cfv 5217

c1st 6139

c2nd 6140 ⊔ cdju 7036 inlcinl 7044 inrcinr 7045

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4119 ax-sep 4122 ax-nul 4130 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3an 980 df-tru 1356 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-csb 3059 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-nul 3424 df-if 3536 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-iun 3889 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-tr 4103 df-id 4294 df-iord 4367 df-on 4369 df-suc 4372 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-ima 4640 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fn 5220 df-f 5221 df-f1 5222 df-fo 5223 df-f1o 5224 df-fv 5225 df-1st 6141 df-2nd 6142 df-1o 6417 df-dju 7037 df-inl 7046 df-inr 7047

This theorem is referenced by: (None)

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