updjud - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem updjud 7059

Description: Universal property of the disjoint union. (Proposed by BJ, 25-Jun-2022.) (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
updjud.f
updjud.g
updjud.a
updjud.b

**Assertion**
Ref	Expression
updjud	⊔ $/\$ inl $/\$ inr

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem updjud Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		updjud.a	. . . . . 6
2		updjud.b	. . . . . 6
3	1, 2	jca 304	. . . . 5 $/\$
4		djuex 7020	. . . . 5 $/\$ ⊔
5		mptexg 5721	. . . . 5 ⊔ ⊔
6	3, 4, 5	3syl 17	. . . 4 ⊔
7		feq1 5330	. . . . . . 7 ⊔ ⊔ ⊔ ⊔
8		coeq1 4768	. . . . . . . 8 ⊔ inl ⊔ inl
9	8	eqeq1d 2179	. . . . . . 7 ⊔ inl ⊔ inl
10		coeq1 4768	. . . . . . . 8 ⊔ inr ⊔ inr
11	10	eqeq1d 2179	. . . . . . 7 ⊔ inr ⊔ inr
12	7, 9, 11	3anbi123d 1307	. . . . . 6 ⊔ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr
13		eqeq1 2177	. . . . . . . 8 ⊔ ⊔
14	13	imbi2d 229	. . . . . . 7 ⊔ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
15	14	ralbidv 2470	. . . . . 6 ⊔ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
16	12, 15	anbi12d 470	. . . . 5 ⊔ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
17	16	adantl 275	. . . 4 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
18		updjud.f	. . . . . 6
19		updjud.g	. . . . . 6
20		eqid 2170	. . . . . 6 ⊔ ⊔
21	18, 19, 20	updjudhf 7056	. . . . 5 ⊔ ⊔
22	18, 19, 20	updjudhcoinlf 7057	. . . . 5 ⊔ inl
23	18, 19, 20	updjudhcoinrg 7058	. . . . 5 ⊔ inr
24		simpr 109	. . . . . . 7 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr
25		eqeq2 2180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊔ inl inl ⊔ inl inl
26		fvres 5520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inl inl
27	26	eqcomd 2176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inl inl
28	27	eqeq2d 2182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 inl inl
29	28	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ inl inl
30		fveq1 5495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊔ inl inl ⊔ inl inl
31	30	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ ⊔ inl inl
32		inlresf1 7038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 inl ⊔
33		f1fn 5405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 inl ⊔ inl
34	32, 33	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊔ inl inl $/\$ inl
35		fvco2 5565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inl $/\$ ⊔ inl ⊔ inl
36	34, 35	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ ⊔ inl ⊔ inl
37		fvco2 5565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inl $/\$ inl inl
38	34, 37	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ inl inl
39	31, 36, 38	3eqtr3d 2211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ ⊔ inl inl
40		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inl ⊔ ⊔ inl
41		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inl inl
42	40, 41	eqeq12d 2185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 inl ⊔ ⊔ inl inl
43	39, 42	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ inl ⊔
44	29, 43	sylbid 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ inl ⊔
45	44	expimpd 361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ inl ⊔
46	45	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊔ inl inl $/\$ inl ⊔
47	46	eqcoms 2173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 inl ⊔ inl $/\$ inl ⊔
48	25, 47	syl6bir 163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊔ inl inl $/\$ inl ⊔
49	48	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊔ inl inl $/\$ inl ⊔
50	49	3ad2ant2 1014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr inl $/\$ inl ⊔
51	50	impcom 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr inl $/\$ inl ⊔
52	51	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 inl $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ inl ⊔
53	52	3ad2ant2 1014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ inl ⊔
54	53	impcom 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ inl ⊔
55	54	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ inl $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
56	55	rexlimiva 2582	. . . . . . . . . . . . 13 inl $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
57		eqeq2 2180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊔ inr inr ⊔ inr inr
58		fvres 5520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inr inr
59	58	eqcomd 2176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inr inr
60	59	eqeq2d 2182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 inr inr
61	60	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ inr inr
62		fveq1 5495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊔ inr inr ⊔ inr inr
63	62	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ ⊔ inr inr
64		inrresf1 7039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 inr ⊔
65		f1fn 5405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 inr ⊔ inr
66	64, 65	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊔ inr inr $/\$ inr
67		fvco2 5565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inr $/\$ ⊔ inr ⊔ inr
68	66, 67	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ ⊔ inr ⊔ inr
69		fvco2 5565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inr $/\$ inr inr
70	66, 69	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ inr inr
71	63, 68, 70	3eqtr3d 2211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ ⊔ inr inr
72		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inr ⊔ ⊔ inr
73		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inr inr
74	72, 73	eqeq12d 2185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 inr ⊔ ⊔ inr inr
75	71, 74	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ inr ⊔
76	61, 75	sylbid 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ inr ⊔
77	76	expimpd 361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ inr ⊔
78	77	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊔ inr inr $/\$ inr ⊔
79	78	eqcoms 2173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 inr ⊔ inr $/\$ inr ⊔
80	57, 79	syl6bir 163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊔ inr inr $/\$ inr ⊔
81	80	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊔ inr inr $/\$ inr ⊔
82	81	3ad2ant3 1015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr inr $/\$ inr ⊔
83	82	impcom 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr inr $/\$ inr ⊔
84	83	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ inr ⊔
85	84	3ad2ant3 1015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ inr ⊔
86	85	impcom 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ inr ⊔
87	86	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
88	87	rexlimiva 2582	. . . . . . . . . . . . 13 inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
89	56, 88	jaoi 711	. . . . . . . . . . . 12 inl $\/$ inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
90		djur 7046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊔ inl $\/$ inr
91	90	biimpi 119	. . . . . . . . . . . 12 ⊔ inl $\/$ inr
92	89, 91	syl11 31	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔
93	92	ralrimiv 2542	. . . . . . . . . 10 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔
94		ffn 5347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊔ ⊔ ⊔ ⊔
95	94	3ad2ant1 1013	. . . . . . . . . . . 12 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ ⊔
96	95	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ ⊔
97		ffn 5347	. . . . . . . . . . . 12 ⊔ ⊔
98	97	3ad2ant1 1013	. . . . . . . . . . 11 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
99		eqfnfv 5593	. . . . . . . . . . 11 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ ⊔ ⊔ ⊔
100	96, 98, 99	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔ ⊔
101	93, 100	mpbird 166	. . . . . . . . 9 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
102	101	ex 114	. . . . . . . 8 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
103	102	ralrimivw 2544	. . . . . . 7 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
104	24, 103	jca 304	. . . . . 6 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
105	104	ex 114	. . . . 5 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
106	21, 22, 23, 105	mp3and 1335	. . . 4 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
107	6, 17, 106	rspcedvd 2840	. . 3 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr
108		feq1 5330	. . . . 5 ⊔ ⊔
109		coeq1 4768	. . . . . 6 inl inl
110	109	eqeq1d 2179	. . . . 5 inl inl
111		coeq1 4768	. . . . . 6 inr inr
112	111	eqeq1d 2179	. . . . 5 inr inr
113	108, 110, 112	3anbi123d 1307	. . . 4 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr
114	113	reu8 2926	. . 3 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr
115	107, 114	sylibr 133	. 2 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr
116		reuv 2749	. 2 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr
117	115, 116	sylib 121	1 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 703 $/\$ w3a 973

wceq 1348

weu 2019

wcel 2141

wral 2448

wrex 2449

wreu 2450

cvv 2730

c0 3414

cif 3526

cmpt 4050

cres 4613

ccom 4615

wfn 5193

wf 5194

wf1 5195

cfv 5198

c1st 6117

c2nd 6118 ⊔ cdju 7014 inlcinl 7022 inrcinr 7023

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4104 ax-sep 4107 ax-nul 4115 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 830 df-3an 975 df-tru 1351 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-if 3527 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-iun 3875 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-tr 4088 df-id 4278 df-iord 4351 df-on 4353 df-suc 4356 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-f1 5203 df-fo 5204 df-f1o 5205 df-fv 5206 df-1st 6119 df-2nd 6120 df-1o 6395 df-dju 7015 df-inl 7024 df-inr 7025

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