updjud - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem updjud 7184

Description: Universal property of the disjoint union. (Proposed by BJ, 25-Jun-2022.) (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
updjud.f
updjud.g
updjud.a
updjud.b

**Assertion**
Ref	Expression
updjud	⊔ $/\$ inl $/\$ inr

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem updjud Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		updjud.a	. . . . . 6
2		updjud.b	. . . . . 6
3	1, 2	jca 306	. . . . 5 $/\$
4		djuex 7145	. . . . 5 $/\$ ⊔
5		mptexg 5809	. . . . 5 ⊔ ⊔
6	3, 4, 5	3syl 17	. . . 4 ⊔
7		feq1 5408	. . . . . . 7 ⊔ ⊔ ⊔ ⊔
8		coeq1 4835	. . . . . . . 8 ⊔ inl ⊔ inl
9	8	eqeq1d 2214	. . . . . . 7 ⊔ inl ⊔ inl
10		coeq1 4835	. . . . . . . 8 ⊔ inr ⊔ inr
11	10	eqeq1d 2214	. . . . . . 7 ⊔ inr ⊔ inr
12	7, 9, 11	3anbi123d 1325	. . . . . 6 ⊔ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr
13		eqeq1 2212	. . . . . . . 8 ⊔ ⊔
14	13	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊔ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
15	14	ralbidv 2506	. . . . . 6 ⊔ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
16	12, 15	anbi12d 473	. . . . 5 ⊔ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
17	16	adantl 277	. . . 4 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
18		updjud.f	. . . . . 6
19		updjud.g	. . . . . 6
20		eqid 2205	. . . . . 6 ⊔ ⊔
21	18, 19, 20	updjudhf 7181	. . . . 5 ⊔ ⊔
22	18, 19, 20	updjudhcoinlf 7182	. . . . 5 ⊔ inl
23	18, 19, 20	updjudhcoinrg 7183	. . . . 5 ⊔ inr
24		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr
25		eqeq2 2215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊔ inl inl ⊔ inl inl
26		fvres 5600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inl inl
27	26	eqcomd 2211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inl inl
28	27	eqeq2d 2217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 inl inl
29	28	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ inl inl
30		fveq1 5575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊔ inl inl ⊔ inl inl
31	30	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ ⊔ inl inl
32		inlresf1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 inl ⊔
33		f1fn 5483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 inl ⊔ inl
34	32, 33	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊔ inl inl $/\$ inl
35		fvco2 5648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inl $/\$ ⊔ inl ⊔ inl
36	34, 35	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ ⊔ inl ⊔ inl
37		fvco2 5648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inl $/\$ inl inl
38	34, 37	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ inl inl
39	31, 36, 38	3eqtr3d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ ⊔ inl inl
40		fveq2 5576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inl ⊔ ⊔ inl
41		fveq2 5576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inl inl
42	40, 41	eqeq12d 2220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 inl ⊔ ⊔ inl inl
43	39, 42	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ inl ⊔
44	29, 43	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ inl ⊔
45	44	expimpd 363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ inl ⊔
46	45	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊔ inl inl $/\$ inl ⊔
47	46	eqcoms 2208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 inl ⊔ inl $/\$ inl ⊔
48	25, 47	biimtrrdi 164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊔ inl inl $/\$ inl ⊔
49	48	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊔ inl inl $/\$ inl ⊔
50	49	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr inl $/\$ inl ⊔
51	50	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr inl $/\$ inl ⊔
52	51	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 inl $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ inl ⊔
53	52	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ inl ⊔
54	53	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ inl ⊔
55	54	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ inl $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
56	55	rexlimiva 2618	. . . . . . . . . . . . 13 inl $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
57		eqeq2 2215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊔ inr inr ⊔ inr inr
58		fvres 5600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inr inr
59	58	eqcomd 2211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inr inr
60	59	eqeq2d 2217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 inr inr
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ inr inr
62		fveq1 5575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊔ inr inr ⊔ inr inr
63	62	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ ⊔ inr inr
64		inrresf1 7164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 inr ⊔
65		f1fn 5483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 inr ⊔ inr
66	64, 65	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊔ inr inr $/\$ inr
67		fvco2 5648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inr $/\$ ⊔ inr ⊔ inr
68	66, 67	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ ⊔ inr ⊔ inr
69		fvco2 5648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inr $/\$ inr inr
70	66, 69	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ inr inr
71	63, 68, 70	3eqtr3d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ ⊔ inr inr
72		fveq2 5576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inr ⊔ ⊔ inr
73		fveq2 5576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inr inr
74	72, 73	eqeq12d 2220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 inr ⊔ ⊔ inr inr
75	71, 74	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ inr ⊔
76	61, 75	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ inr ⊔
77	76	expimpd 363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ inr ⊔
78	77	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊔ inr inr $/\$ inr ⊔
79	78	eqcoms 2208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 inr ⊔ inr $/\$ inr ⊔
80	57, 79	biimtrrdi 164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊔ inr inr $/\$ inr ⊔
81	80	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊔ inr inr $/\$ inr ⊔
82	81	3ad2ant3 1023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr inr $/\$ inr ⊔
83	82	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr inr $/\$ inr ⊔
84	83	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ inr ⊔
85	84	3ad2ant3 1023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ inr ⊔
86	85	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ inr ⊔
87	86	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
88	87	rexlimiva 2618	. . . . . . . . . . . . 13 inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
89	56, 88	jaoi 718	. . . . . . . . . . . 12 inl $\/$ inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
90		djur 7171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊔ inl $\/$ inr
91	90	biimpi 120	. . . . . . . . . . . 12 ⊔ inl $\/$ inr
92	89, 91	syl11 31	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔
93	92	ralrimiv 2578	. . . . . . . . . 10 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔
94		ffn 5425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊔ ⊔ ⊔ ⊔
95	94	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . . . . 12 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ ⊔
96	95	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ ⊔
97		ffn 5425	. . . . . . . . . . . 12 ⊔ ⊔
98	97	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . . . 11 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
99		eqfnfv 5677	. . . . . . . . . . 11 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ ⊔ ⊔ ⊔
100	96, 98, 99	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔ ⊔
101	93, 100	mpbird 167	. . . . . . . . 9 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
102	101	ex 115	. . . . . . . 8 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
103	102	ralrimivw 2580	. . . . . . 7 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
104	24, 103	jca 306	. . . . . 6 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
105	104	ex 115	. . . . 5 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
106	21, 22, 23, 105	mp3and 1353	. . . 4 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
107	6, 17, 106	rspcedvd 2883	. . 3 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr
108		feq1 5408	. . . . 5 ⊔ ⊔
109		coeq1 4835	. . . . . 6 inl inl
110	109	eqeq1d 2214	. . . . 5 inl inl
111		coeq1 4835	. . . . . 6 inr inr
112	111	eqeq1d 2214	. . . . 5 inr inr
113	108, 110, 112	3anbi123d 1325	. . . 4 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr
114	113	reu8 2969	. . 3 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr
115	107, 114	sylibr 134	. 2 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr
116		reuv 2791	. 2 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr
117	115, 116	sylib 122	1 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 710 $/\$ w3a 981

wceq 1373

weu 2054

wcel 2176

wral 2484

wrex 2485

wreu 2486

cvv 2772

c0 3460

cif 3571

cmpt 4105

cres 4677

ccom 4679

wfn 5266

wf 5267

wf1 5268

cfv 5271

c1st 6224

c2nd 6225 ⊔ cdju 7139 inlcinl 7147 inrcinr 7148

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1470 ax-7 1471 ax-gen 1472 ax-ie1 1516 ax-ie2 1517 ax-8 1527 ax-10 1528 ax-11 1529 ax-i12 1530 ax-bndl 1532 ax-4 1533 ax-17 1549 ax-i9 1553 ax-ial 1557 ax-i5r 1558 ax-13 2178 ax-14 2179 ax-ext 2187 ax-coll 4159 ax-sep 4162 ax-nul 4170 ax-pow 4218 ax-pr 4253 ax-un 4480

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 837 df-3an 983 df-tru 1376 df-nf 1484 df-sb 1786 df-eu 2057 df-mo 2058 df-clab 2192 df-cleq 2198 df-clel 2201 df-nfc 2337 df-ne 2377 df-ral 2489 df-rex 2490 df-reu 2491 df-rab 2493 df-v 2774 df-sbc 2999 df-csb 3094 df-dif 3168 df-un 3170 df-in 3172 df-ss 3179 df-nul 3461 df-if 3572 df-pw 3618 df-sn 3639 df-pr 3640 df-op 3642 df-uni 3851 df-iun 3929 df-br 4045 df-opab 4106 df-mpt 4107 df-tr 4143 df-id 4340 df-iord 4413 df-on 4415 df-suc 4418 df-xp 4681 df-rel 4682 df-cnv 4683 df-co 4684 df-dm 4685 df-rn 4686 df-res 4687 df-ima 4688 df-iota 5232 df-fun 5273 df-fn 5274 df-f 5275 df-f1 5276 df-fo 5277 df-f1o 5278 df-fv 5279 df-1st 6226 df-2nd 6227 df-1o 6502 df-dju 7140 df-inl 7149 df-inr 7150

This theorem is referenced by: (None)

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