updjud - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem updjud 7047

Description: Universal property of the disjoint union. (Proposed by BJ, 25-Jun-2022.) (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
updjud.f
updjud.g
updjud.a
updjud.b

**Assertion**
Ref	Expression
updjud	⊔ $/\$ inl $/\$ inr

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem updjud Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		updjud.a	. . . . . 6
2		updjud.b	. . . . . 6
3	1, 2	jca 304	. . . . 5 $/\$
4		djuex 7008	. . . . 5 $/\$ ⊔
5		mptexg 5710	. . . . 5 ⊔ ⊔
6	3, 4, 5	3syl 17	. . . 4 ⊔
7		feq1 5320	. . . . . . 7 ⊔ ⊔ ⊔ ⊔
8		coeq1 4761	. . . . . . . 8 ⊔ inl ⊔ inl
9	8	eqeq1d 2174	. . . . . . 7 ⊔ inl ⊔ inl
10		coeq1 4761	. . . . . . . 8 ⊔ inr ⊔ inr
11	10	eqeq1d 2174	. . . . . . 7 ⊔ inr ⊔ inr
12	7, 9, 11	3anbi123d 1302	. . . . . 6 ⊔ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr
13		eqeq1 2172	. . . . . . . 8 ⊔ ⊔
14	13	imbi2d 229	. . . . . . 7 ⊔ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
15	14	ralbidv 2466	. . . . . 6 ⊔ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
16	12, 15	anbi12d 465	. . . . 5 ⊔ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
17	16	adantl 275	. . . 4 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
18		updjud.f	. . . . . 6
19		updjud.g	. . . . . 6
20		eqid 2165	. . . . . 6 ⊔ ⊔
21	18, 19, 20	updjudhf 7044	. . . . 5 ⊔ ⊔
22	18, 19, 20	updjudhcoinlf 7045	. . . . 5 ⊔ inl
23	18, 19, 20	updjudhcoinrg 7046	. . . . 5 ⊔ inr
24		simpr 109	. . . . . . 7 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr
25		eqeq2 2175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊔ inl inl ⊔ inl inl
26		fvres 5510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inl inl
27	26	eqcomd 2171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inl inl
28	27	eqeq2d 2177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 inl inl
29	28	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ inl inl
30		fveq1 5485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊔ inl inl ⊔ inl inl
31	30	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ ⊔ inl inl
32		inlresf1 7026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 inl ⊔
33		f1fn 5395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 inl ⊔ inl
34	32, 33	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊔ inl inl $/\$ inl
35		fvco2 5555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inl $/\$ ⊔ inl ⊔ inl
36	34, 35	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ ⊔ inl ⊔ inl
37		fvco2 5555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inl $/\$ inl inl
38	34, 37	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ inl inl
39	31, 36, 38	3eqtr3d 2206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ ⊔ inl inl
40		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inl ⊔ ⊔ inl
41		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inl inl
42	40, 41	eqeq12d 2180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 inl ⊔ ⊔ inl inl
43	39, 42	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ inl ⊔
44	29, 43	sylbid 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ inl ⊔
45	44	expimpd 361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊔ inl inl $/\$ $/\$ inl ⊔
46	45	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊔ inl inl $/\$ inl ⊔
47	46	eqcoms 2168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 inl ⊔ inl $/\$ inl ⊔
48	25, 47	syl6bir 163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊔ inl inl $/\$ inl ⊔
49	48	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊔ inl inl $/\$ inl ⊔
50	49	3ad2ant2 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr inl $/\$ inl ⊔
51	50	impcom 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr inl $/\$ inl ⊔
52	51	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 inl $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ inl ⊔
53	52	3ad2ant2 1009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ inl ⊔
54	53	impcom 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ inl ⊔
55	54	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ inl $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
56	55	rexlimiva 2578	. . . . . . . . . . . . 13 inl $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
57		eqeq2 2175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊔ inr inr ⊔ inr inr
58		fvres 5510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inr inr
59	58	eqcomd 2171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inr inr
60	59	eqeq2d 2177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 inr inr
61	60	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ inr inr
62		fveq1 5485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊔ inr inr ⊔ inr inr
63	62	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ ⊔ inr inr
64		inrresf1 7027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 inr ⊔
65		f1fn 5395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 inr ⊔ inr
66	64, 65	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊔ inr inr $/\$ inr
67		fvco2 5555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inr $/\$ ⊔ inr ⊔ inr
68	66, 67	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ ⊔ inr ⊔ inr
69		fvco2 5555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 inr $/\$ inr inr
70	66, 69	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ inr inr
71	63, 68, 70	3eqtr3d 2206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ ⊔ inr inr
72		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inr ⊔ ⊔ inr
73		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 inr inr
74	72, 73	eqeq12d 2180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 inr ⊔ ⊔ inr inr
75	71, 74	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ inr ⊔
76	61, 75	sylbid 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ inr ⊔
77	76	expimpd 361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊔ inr inr $/\$ $/\$ inr ⊔
78	77	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊔ inr inr $/\$ inr ⊔
79	78	eqcoms 2168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 inr ⊔ inr $/\$ inr ⊔
80	57, 79	syl6bir 163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊔ inr inr $/\$ inr ⊔
81	80	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊔ inr inr $/\$ inr ⊔
82	81	3ad2ant3 1010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr inr $/\$ inr ⊔
83	82	impcom 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr inr $/\$ inr ⊔
84	83	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ inr ⊔
85	84	3ad2ant3 1010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ inr ⊔
86	85	impcom 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ inr ⊔
87	86	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
88	87	rexlimiva 2578	. . . . . . . . . . . . 13 inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
89	56, 88	jaoi 706	. . . . . . . . . . . 12 inl $\/$ inr $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
90		djur 7034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊔ inl $\/$ inr
91	90	biimpi 119	. . . . . . . . . . . 12 ⊔ inl $\/$ inr
92	89, 91	syl11 31	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔
93	92	ralrimiv 2538	. . . . . . . . . 10 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔
94		ffn 5337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊔ ⊔ ⊔ ⊔
95	94	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . . 12 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ ⊔
96	95	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ ⊔
97		ffn 5337	. . . . . . . . . . . 12 ⊔ ⊔
98	97	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . 11 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
99		eqfnfv 5583	. . . . . . . . . . 11 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ ⊔ ⊔ ⊔
100	96, 98, 99	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ ⊔ ⊔
101	93, 100	mpbird 166	. . . . . . . . 9 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
102	101	ex 114	. . . . . . . 8 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
103	102	ralrimivw 2540	. . . . . . 7 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
104	24, 103	jca 304	. . . . . 6 $/\$ ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
105	104	ex 114	. . . . 5 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
106	21, 22, 23, 105	mp3and 1330	. . . 4 ⊔ ⊔ $/\$ ⊔ inl $/\$ ⊔ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔
107	6, 17, 106	rspcedvd 2836	. . 3 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr
108		feq1 5320	. . . . 5 ⊔ ⊔
109		coeq1 4761	. . . . . 6 inl inl
110	109	eqeq1d 2174	. . . . 5 inl inl
111		coeq1 4761	. . . . . 6 inr inr
112	111	eqeq1d 2174	. . . . 5 inr inr
113	108, 110, 112	3anbi123d 1302	. . . 4 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr
114	113	reu8 2922	. . 3 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr $/\$ ⊔ $/\$ inl $/\$ inr
115	107, 114	sylibr 133	. 2 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr
116		reuv 2745	. 2 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr ⊔ $/\$ inl $/\$ inr
117	115, 116	sylib 121	1 ⊔ $/\$ inl $/\$ inr

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 698 $/\$ w3a 968

wceq 1343

weu 2014

wcel 2136

wral 2444

wrex 2445

wreu 2446

cvv 2726

c0 3409

cif 3520

cmpt 4043

cres 4606

ccom 4608

wfn 5183

wf 5184

wf1 5185

cfv 5188

c1st 6106

c2nd 6107 ⊔ cdju 7002 inlcinl 7010 inrcinr 7011

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4097 ax-sep 4100 ax-nul 4108 ax-pow 4153 ax-pr 4187 ax-un 4411

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 825 df-3an 970 df-tru 1346 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2297 df-ne 2337 df-ral 2449 df-rex 2450 df-reu 2451 df-rab 2453 df-v 2728 df-sbc 2952 df-csb 3046 df-dif 3118 df-un 3120 df-in 3122 df-ss 3129 df-nul 3410 df-if 3521 df-pw 3561 df-sn 3582 df-pr 3583 df-op 3585 df-uni 3790 df-iun 3868 df-br 3983 df-opab 4044 df-mpt 4045 df-tr 4081 df-id 4271 df-iord 4344 df-on 4346 df-suc 4349 df-xp 4610 df-rel 4611 df-cnv 4612 df-co 4613 df-dm 4614 df-rn 4615 df-res 4616 df-ima 4617 df-iota 5153 df-fun 5190 df-fn 5191 df-f 5192 df-f1 5193 df-fo 5194 df-f1o 5195 df-fv 5196 df-1st 6108 df-2nd 6109 df-1o 6384 df-dju 7003 df-inl 7012 df-inr 7013

This theorem is referenced by: (None)

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