Theorem rexuz 9474

Description: Restricted existential quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
rexuz	|- ( M e. ZZ -> ( E. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> E. n e. ZZ ( M <_ n /\ ph ) ) )

Distinct variable group:   n, M

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem rexuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 9426	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( n e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) )
2	1	anbi1d 461	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ph ) <-> ( ( n e. ZZ /\ M <_ n ) /\ ph ) ) )
3		anass 399	. . 3 |- ( ( ( n e. ZZ /\ M <_ n ) /\ ph ) <-> ( n e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) )
4	2, 3	bitrdi 195	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ph ) <-> ( n e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) )
5	4	rexbidv2 2460	1 |- ( M e. ZZ -> ( E. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> E. n e. ZZ ( M <_ n /\ ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2128   E.wrex 2436   class class class wbr 3965   ` cfv 5167   <_ cle 7896   ZZcz 9150   ZZ>=cuz 9422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fv 5175  df-ov 5821  df-neg 8032  df-z 9151  df-uz 9423

This theorem is referenced by: (None)