Theorem rexuz 9575

Description: Restricted existential quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
rexuz	|- ( M e. ZZ -> ( E. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> E. n e. ZZ ( M <_ n /\ ph ) ) )

Distinct variable group:   n, M

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem rexuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 9527	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( n e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) )
2	1	anbi1d 465	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ph ) <-> ( ( n e. ZZ /\ M <_ n ) /\ ph ) ) )
3		anass 401	. . 3 |- ( ( ( n e. ZZ /\ M <_ n ) /\ ph ) <-> ( n e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) )
4	2, 3	bitrdi 196	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ph ) <-> ( n e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) )
5	4	rexbidv2 2480	1 |- ( M e. ZZ -> ( E. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> E. n e. ZZ ( M <_ n /\ ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   E.wrex 2456   class class class wbr 4002   ` cfv 5214   <_ cle 7988   ZZcz 9248   ZZ>=cuz 9523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fv 5222  df-ov 5874  df-neg 8126  df-z 9249  df-uz 9524

This theorem is referenced by: (None)