Theorem rexuz 9270

Description: Restricted existential quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
rexuz	|- ( M e. ZZ -> ( E. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> E. n e. ZZ ( M <_ n /\ ph ) ) )

Distinct variable group:   n, M

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem rexuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 9225	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( n e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) )
2	1	anbi1d 458	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ph ) <-> ( ( n e. ZZ /\ M <_ n ) /\ ph ) ) )
3		anass 396	. . 3 |- ( ( ( n e. ZZ /\ M <_ n ) /\ ph ) <-> ( n e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) )
4	2, 3	syl6bb 195	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ph ) <-> ( n e. ZZ /\ ( M <_ n /\ ph ) ) ) )
5	4	rexbidv2 2412	1 |- ( M e. ZZ -> ( E. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> E. n e. ZZ ( M <_ n /\ ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1461   E.wrex 2389   class class class wbr 3893   ` cfv 5079   <_ cle 7718   ZZcz 8951   ZZ>=cuz 9221

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-ov 5729  df-neg 7852  df-z 8952  df-uz 9222

This theorem is referenced by: (None)