Theorem rexxp 4730

Description: Existential quantification restricted to a cross product is equivalent to a double restricted quantification. (Contributed by NM, 11-Nov-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralxp.1	|- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rexxp	|- ( E. x e. ( A X. B ) ph <-> E. y e. A E. z e. B ps )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, z   ph, y, z   ps, x   y, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y, z)

Proof of Theorem rexxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunxpconst 4646	. . 3 |- U_ y e. A ( { y } X. B ) = ( A X. B )
2	1	rexeqi 2657	. 2 |- ( E. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> E. x e. ( A X. B ) ph )
3		ralxp.1	. . 3 |- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )
4	3	rexiunxp 4728	. 2 |- ( E. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> E. y e. A E. z e. B ps )
5	2, 4	bitr3i 185	1 |- ( E. x e. ( A X. B ) ph <-> E. y e. A E. z e. B ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1335   E.wrex 2436   {csn 3560   <.cop 3563   U_ciun 3849   X. cxp 4584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-iun 3851  df-opab 4026  df-xp 4592  df-rel 4593

This theorem is referenced by:  rexxpf  4733  fnrnov  5966  foov  5967  ovelimab  5971  xpf1o  6789  cnref1o  9559  txbas  12669