Theorem foov 6018

Description: An onto mapping of an operation expressed in terms of operation values. (Contributed by NM, 29-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
foov	|- ( F : ( A X. B ) -onto-> C <-> ( F : ( A X. B ) --> C /\ A. z e. C E. x e. A E. y e. B z = ( x F y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   z, C   x, F, y, z

Allowed substitution hints:   C( x, y)

Proof of Theorem foov

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo3 5662	. 2 |- ( F : ( A X. B ) -onto-> C <-> ( F : ( A X. B ) --> C /\ A. z e. C E. w e. ( A X. B ) z = ( F ` w ) ) )
2		fveq2 5514	. . . . . . 7 |- ( w = <. x , y >. -> ( F ` w ) = ( F ` <. x , y >. ) )
3		df-ov 5875	. . . . . . 7 |- ( x F y ) = ( F ` <. x , y >. )
4	2, 3	eqtr4di 2228	. . . . . 6 |- ( w = <. x , y >. -> ( F ` w ) = ( x F y ) )
5	4	eqeq2d 2189	. . . . 5 |- ( w = <. x , y >. -> ( z = ( F ` w ) <-> z = ( x F y ) ) )
6	5	rexxp 4770	. . . 4 |- ( E. w e. ( A X. B ) z = ( F ` w ) <-> E. x e. A E. y e. B z = ( x F y ) )
7	6	ralbii 2483	. . 3 |- ( A. z e. C E. w e. ( A X. B ) z = ( F ` w ) <-> A. z e. C E. x e. A E. y e. B z = ( x F y ) )
8	7	anbi2i 457	. 2 |- ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ A. z e. C E. w e. ( A X. B ) z = ( F ` w ) ) <-> ( F : ( A X. B ) --> C /\ A. z e. C E. x e. A E. y e. B z = ( x F y ) ) )
9	1, 8	bitri 184	1 |- ( F : ( A X. B ) -onto-> C <-> ( F : ( A X. B ) --> C /\ A. z e. C E. x e. A E. y e. B z = ( x F y ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   A.wral 2455   E.wrex 2456   <.cop 3595   X. cxp 4623   -->wf 5211   -onto->wfo 5213   ` cfv 5215  (class class class)co 5872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-fo 5221  df-fv 5223  df-ov 5875

This theorem is referenced by:  mndpfo  12771