Theorem foov 6116

Description: An onto mapping of an operation expressed in terms of operation values. (Contributed by NM, 29-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
foov	|- ( F : ( A X. B ) -onto-> C <-> ( F : ( A X. B ) --> C /\ A. z e. C E. x e. A E. y e. B z = ( x F y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   z, C   x, F, y, z

Allowed substitution hints:   C( x, y)

Proof of Theorem foov

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo3 5750	. 2 |- ( F : ( A X. B ) -onto-> C <-> ( F : ( A X. B ) --> C /\ A. z e. C E. w e. ( A X. B ) z = ( F ` w ) ) )
2		fveq2 5599	. . . . . . 7 |- ( w = <. x , y >. -> ( F ` w ) = ( F ` <. x , y >. ) )
3		df-ov 5970	. . . . . . 7 |- ( x F y ) = ( F ` <. x , y >. )
4	2, 3	eqtr4di 2258	. . . . . 6 |- ( w = <. x , y >. -> ( F ` w ) = ( x F y ) )
5	4	eqeq2d 2219	. . . . 5 |- ( w = <. x , y >. -> ( z = ( F ` w ) <-> z = ( x F y ) ) )
6	5	rexxp 4840	. . . 4 |- ( E. w e. ( A X. B ) z = ( F ` w ) <-> E. x e. A E. y e. B z = ( x F y ) )
7	6	ralbii 2514	. . 3 |- ( A. z e. C E. w e. ( A X. B ) z = ( F ` w ) <-> A. z e. C E. x e. A E. y e. B z = ( x F y ) )
8	7	anbi2i 457	. 2 |- ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ A. z e. C E. w e. ( A X. B ) z = ( F ` w ) ) <-> ( F : ( A X. B ) --> C /\ A. z e. C E. x e. A E. y e. B z = ( x F y ) ) )
9	1, 8	bitri 184	1 |- ( F : ( A X. B ) -onto-> C <-> ( F : ( A X. B ) --> C /\ A. z e. C E. x e. A E. y e. B z = ( x F y ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   A.wral 2486   E.wrex 2487   <.cop 3646   X. cxp 4691   -->wf 5286   -onto->wfo 5288   ` cfv 5290  (class class class)co 5967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fo 5296  df-fv 5298  df-ov 5970

This theorem is referenced by:  xpsff1o  13296  mndpfo  13385