Theorem rexiunxp 4917

Description: Write a double restricted quantification as one universal quantifier. In this version of rexxp 4919, B ( y ) is not assumed to be constant. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralxp.1	|- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rexiunxp	|- ( E. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> E. y e. A E. z e. B ps )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, z   ph, y, z   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y, z)   B( y)

Proof of Theorem rexiunxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliunxp 4914	. . . . . 6 |- ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) <-> E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) )
2	1	anbi1i 462	. . . . 5 |- ( ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) <-> ( E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
3		19.41vv 1959	. . . . 5 |- ( E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> ( E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
4	2, 3	bitr4i 187	. . . 4 |- ( ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) <-> E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
5	4	exbii 1658	. . 3 |- ( E. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) <-> E. x E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
6		exrot3 1742	. . . 4 |- ( E. x E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> E. y E. z E. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
7		anass 405	. . . . . . 7 |- ( ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> ( x = <. y , z >. /\ ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ph ) ) )
8	7	exbii 1658	. . . . . 6 |- ( E. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> E. x ( x = <. y , z >. /\ ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ph ) ) )
9		vex 2824	. . . . . . . 8 |- y e. _V
10		vex 2824	. . . . . . . 8 |- z e. _V
11	9, 10	opex 4364	. . . . . . 7 |- <. y , z >. e. _V
12		ralxp.1	. . . . . . . 8 |- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )
13	12	anbi2d 468	. . . . . . 7 |- ( x = <. y , z >. -> ( ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ph ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) ) )
14	11, 13	ceqsexv 2861	. . . . . 6 |- ( E. x ( x = <. y , z >. /\ ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ph ) ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
15	8, 14	bitri 184	. . . . 5 |- ( E. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
16	15	2exbii 1659	. . . 4 |- ( E. y E. z E. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> E. y E. z ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
17	6, 16	bitri 184	. . 3 |- ( E. x E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> E. y E. z ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
18	5, 17	bitri 184	. 2 |- ( E. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) <-> E. y E. z ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
19		df-rex 2534	. 2 |- ( E. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> E. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) )
20		r2ex 2570	. 2 |- ( E. y e. A E. z e. B ps <-> E. y E. z ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
21	18, 19, 20	3bitr4i 212	1 |- ( E. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> E. y e. A E. z e. B ps )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   E.wrex 2529   {csn 3705   <.cop 3708   U_ciun 4007   X. cxp 4767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-iun 4009  df-opab 4188  df-xp 4775  df-rel 4776

This theorem is referenced by:  rexxp  4919