Theorem rexiunxp 4787

Description: Write a double restricted quantification as one universal quantifier. In this version of rexxp 4789, B ( y ) is not assumed to be constant. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralxp.1	|- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rexiunxp	|- ( E. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> E. y e. A E. z e. B ps )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, z   ph, y, z   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y, z)   B( y)

Proof of Theorem rexiunxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliunxp 4784	. . . . . 6 |- ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) <-> E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) )
2	1	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) <-> ( E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
3		19.41vv 1915	. . . . 5 |- ( E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> ( E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
4	2, 3	bitr4i 187	. . . 4 |- ( ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) <-> E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
5	4	exbii 1616	. . 3 |- ( E. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) <-> E. x E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
6		exrot3 1701	. . . 4 |- ( E. x E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> E. y E. z E. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
7		anass 401	. . . . . . 7 |- ( ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> ( x = <. y , z >. /\ ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ph ) ) )
8	7	exbii 1616	. . . . . 6 |- ( E. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> E. x ( x = <. y , z >. /\ ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ph ) ) )
9		vex 2755	. . . . . . . 8 |- y e. _V
10		vex 2755	. . . . . . . 8 |- z e. _V
11	9, 10	opex 4247	. . . . . . 7 |- <. y , z >. e. _V
12		ralxp.1	. . . . . . . 8 |- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )
13	12	anbi2d 464	. . . . . . 7 |- ( x = <. y , z >. -> ( ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ph ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) ) )
14	11, 13	ceqsexv 2791	. . . . . 6 |- ( E. x ( x = <. y , z >. /\ ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ph ) ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
15	8, 14	bitri 184	. . . . 5 |- ( E. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
16	15	2exbii 1617	. . . 4 |- ( E. y E. z E. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> E. y E. z ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
17	6, 16	bitri 184	. . 3 |- ( E. x E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> E. y E. z ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
18	5, 17	bitri 184	. 2 |- ( E. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) <-> E. y E. z ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
19		df-rex 2474	. 2 |- ( E. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> E. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) )
20		r2ex 2510	. 2 |- ( E. y e. A E. z e. B ps <-> E. y E. z ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
21	18, 19, 20	3bitr4i 212	1 |- ( E. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> E. y e. A E. z e. B ps )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2160   E.wrex 2469   {csn 3607   <.cop 3610   U_ciun 3901   X. cxp 4642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-iun 3903  df-opab 4080  df-xp 4650  df-rel 4651

This theorem is referenced by:  rexxp  4789