Theorem rexiunxp 4746

Description: Write a double restricted quantification as one universal quantifier. In this version of rexxp 4748, B ( y ) is not assumed to be constant. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralxp.1	|- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rexiunxp	|- ( E. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> E. y e. A E. z e. B ps )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, z   ph, y, z   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y, z)   B( y)

Proof of Theorem rexiunxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliunxp 4743	. . . . . 6 |- ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) <-> E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) )
2	1	anbi1i 454	. . . . 5 |- ( ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) <-> ( E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
3		19.41vv 1891	. . . . 5 |- ( E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> ( E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
4	2, 3	bitr4i 186	. . . 4 |- ( ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) <-> E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
5	4	exbii 1593	. . 3 |- ( E. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) <-> E. x E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
6		exrot3 1678	. . . 4 |- ( E. x E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> E. y E. z E. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
7		anass 399	. . . . . . 7 |- ( ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> ( x = <. y , z >. /\ ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ph ) ) )
8	7	exbii 1593	. . . . . 6 |- ( E. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> E. x ( x = <. y , z >. /\ ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ph ) ) )
9		vex 2729	. . . . . . . 8 |- y e. _V
10		vex 2729	. . . . . . . 8 |- z e. _V
11	9, 10	opex 4207	. . . . . . 7 |- <. y , z >. e. _V
12		ralxp.1	. . . . . . . 8 |- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )
13	12	anbi2d 460	. . . . . . 7 |- ( x = <. y , z >. -> ( ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ph ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) ) )
14	11, 13	ceqsexv 2765	. . . . . 6 |- ( E. x ( x = <. y , z >. /\ ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ph ) ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
15	8, 14	bitri 183	. . . . 5 |- ( E. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
16	15	2exbii 1594	. . . 4 |- ( E. y E. z E. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> E. y E. z ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
17	6, 16	bitri 183	. . 3 |- ( E. x E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> E. y E. z ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
18	5, 17	bitri 183	. 2 |- ( E. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) <-> E. y E. z ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
19		df-rex 2450	. 2 |- ( E. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> E. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) )
20		r2ex 2486	. 2 |- ( E. y e. A E. z e. B ps <-> E. y E. z ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
21	18, 19, 20	3bitr4i 211	1 |- ( E. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> E. y e. A E. z e. B ps )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   E.wrex 2445   {csn 3576   <.cop 3579   U_ciun 3866   X. cxp 4602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-iun 3868  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611

This theorem is referenced by:  rexxp  4748