Theorem rexiunxp 4753

Description: Write a double restricted quantification as one universal quantifier. In this version of rexxp 4755, B ( y ) is not assumed to be constant. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralxp.1	|- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rexiunxp	|- ( E. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> E. y e. A E. z e. B ps )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, z   ph, y, z   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y, z)   B( y)

Proof of Theorem rexiunxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliunxp 4750	. . . . . 6 |- ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) <-> E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) )
2	1	anbi1i 455	. . . . 5 |- ( ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) <-> ( E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
3		19.41vv 1896	. . . . 5 |- ( E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> ( E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
4	2, 3	bitr4i 186	. . . 4 |- ( ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) <-> E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
5	4	exbii 1598	. . 3 |- ( E. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) <-> E. x E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
6		exrot3 1683	. . . 4 |- ( E. x E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> E. y E. z E. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) )
7		anass 399	. . . . . . 7 |- ( ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> ( x = <. y , z >. /\ ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ph ) ) )
8	7	exbii 1598	. . . . . 6 |- ( E. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> E. x ( x = <. y , z >. /\ ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ph ) ) )
9		vex 2733	. . . . . . . 8 |- y e. _V
10		vex 2733	. . . . . . . 8 |- z e. _V
11	9, 10	opex 4214	. . . . . . 7 |- <. y , z >. e. _V
12		ralxp.1	. . . . . . . 8 |- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )
13	12	anbi2d 461	. . . . . . 7 |- ( x = <. y , z >. -> ( ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ph ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) ) )
14	11, 13	ceqsexv 2769	. . . . . 6 |- ( E. x ( x = <. y , z >. /\ ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ph ) ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
15	8, 14	bitri 183	. . . . 5 |- ( E. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
16	15	2exbii 1599	. . . 4 |- ( E. y E. z E. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> E. y E. z ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
17	6, 16	bitri 183	. . 3 |- ( E. x E. y E. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ph ) <-> E. y E. z ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
18	5, 17	bitri 183	. 2 |- ( E. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) <-> E. y E. z ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
19		df-rex 2454	. 2 |- ( E. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> E. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) /\ ph ) )
20		r2ex 2490	. 2 |- ( E. y e. A E. z e. B ps <-> E. y E. z ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ps ) )
21	18, 19, 20	3bitr4i 211	1 |- ( E. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> E. y e. A E. z e. B ps )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   E.wrex 2449   {csn 3583   <.cop 3586   U_ciun 3873   X. cxp 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-iun 3875  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618

This theorem is referenced by:  rexxp  4755