ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexiunxp Unicode version

Theorem rexiunxp 4619
Description: Write a double restricted quantification as one universal quantifier. In this version of rexxp 4621, 
B ( y ) is not assumed to be constant. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ralxp.1  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  ps )
)
Assertion
Ref Expression
rexiunxp  |-  ( E. x  e.  U_  y  e.  A  ( {
y }  X.  B
) ph  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  ps )
Distinct variable groups:    x, y, z, A    x, B, z    ph, y, z    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y,
z)    B( y)

Proof of Theorem rexiunxp
StepHypRef Expression
1 eliunxp 4616 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  B )  <->  E. y E. z ( x  =  <. y ,  z >.  /\  (
y  e.  A  /\  z  e.  B )
) )
21anbi1i 449 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  B
)  /\  ph )  <->  ( E. y E. z ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ph ) )
3 19.41vv 1842 . . . . 5  |-  ( E. y E. z ( ( x  =  <. y ,  z >.  /\  (
y  e.  A  /\  z  e.  B )
)  /\  ph )  <->  ( E. y E. z ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ph ) )
42, 3bitr4i 186 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  B
)  /\  ph )  <->  E. y E. z ( ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ph ) )
54exbii 1552 . . 3  |-  ( E. x ( x  e. 
U_ y  e.  A  ( { y }  X.  B )  /\  ph ) 
<->  E. x E. y E. z ( ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ph ) )
6 exrot3 1636 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. z ( ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ph )  <->  E. y E. z E. x ( ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ph ) )
7 anass 396 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  =  <. y ,  z >.  /\  (
y  e.  A  /\  z  e.  B )
)  /\  ph )  <->  ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  /\  ph ) ) )
87exbii 1552 . . . . . 6  |-  ( E. x ( ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ph )  <->  E. x ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  /\  ph ) ) )
9 vex 2644 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
10 vex 2644 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
119, 10opex 4089 . . . . . . 7  |-  <. y ,  z >.  e.  _V
12 ralxp.1 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  ps )
)
1312anbi2d 455 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  /\  ph )  <->  ( (
y  e.  A  /\  z  e.  B )  /\  ps ) ) )
1411, 13ceqsexv 2680 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  /\  ph ) )  <->  ( (
y  e.  A  /\  z  e.  B )  /\  ps ) )
158, 14bitri 183 . . . . 5  |-  ( E. x ( ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ph )  <->  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  /\  ps ) )
16152exbii 1553 . . . 4  |-  ( E. y E. z E. x ( ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ph )  <->  E. y E. z
( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  /\  ps ) )
176, 16bitri 183 . . 3  |-  ( E. x E. y E. z ( ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ph )  <->  E. y E. z
( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  /\  ps ) )
185, 17bitri 183 . 2  |-  ( E. x ( x  e. 
U_ y  e.  A  ( { y }  X.  B )  /\  ph ) 
<->  E. y E. z
( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  /\  ps ) )
19 df-rex 2381 . 2  |-  ( E. x  e.  U_  y  e.  A  ( {
y }  X.  B
) ph  <->  E. x ( x  e.  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  B )  /\  ph ) )
20 r2ex 2414 . 2  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  B  ps  <->  E. y E. z ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  /\  ps )
)
2118, 19, 203bitr4i 211 1  |-  ( E. x  e.  U_  y  e.  A  ( {
y }  X.  B
) ph  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  ps )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1299   E.wex 1436    e. wcel 1448   E.wrex 2376   {csn 3474   <.cop 3477   U_ciun 3760    X. cxp 4475
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-iun 3762  df-opab 3930  df-xp 4483  df-rel 4484
This theorem is referenced by:  rexxp  4621
  Copyright terms: Public domain W3C validator