Theorem txrest 15300

Description: The subspace of a topological product space induced by a subset with a Cartesian product representation is a topological product of the subspaces induced by the subspaces of the terms of the products. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
txrest	|- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( ( R tX S ) ↾t ( A X. B ) ) = ( ( R ↾t A ) tX ( S ↾t B ) ) )

Proof of Theorem txrest

Dummy variables s r u v x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . . . 6 |- ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) = ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) )
2	1	txval 15279	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) )
4	3	oveq1d 6090	. . 3 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( ( R tX S ) ↾t ( A X. B ) ) = ( ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) ↾t ( A X. B ) ) )
5	1	txbasex 15281	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) e. _V )
6		xpexg 4884	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> ( A X. B ) e. _V )
7		tgrest 15193	. . . 4 |- ( ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) e. _V /\ ( A X. B ) e. _V ) -> ( topGen ` ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) ) = ( ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) ↾t ( A X. B ) ) )
8	5, 6, 7	syl2an 289	. . 3 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( topGen ` ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) ) = ( ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) ↾t ( A X. B ) ) )
9		elrest 13577	. . . . . . . 8 |- ( ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) e. _V /\ ( A X. B ) e. _V ) -> ( x e. ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) <-> E. w e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) x = ( w i^i ( A X. B ) ) ) )
10	5, 6, 9	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( x e. ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) <-> E. w e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) x = ( w i^i ( A X. B ) ) ) )
11		vex 2824	. . . . . . . . . . 11 |- r e. _V
12	11	inex1 4262	. . . . . . . . . 10 |- ( r i^i A ) e. _V
13	12	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) /\ r e. R ) -> ( r i^i A ) e. _V )
14		elrest 13577	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ A e. X ) -> ( u e. ( R ↾t A ) <-> E. r e. R u = ( r i^i A ) ) )
15	14	ad2ant2r 513	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( u e. ( R ↾t A ) <-> E. r e. R u = ( r i^i A ) ) )
16		xpeq1 4783	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( r i^i A ) -> ( u X. v ) = ( ( r i^i A ) X. v ) )
17	16	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( r i^i A ) -> ( x = ( u X. v ) <-> x = ( ( r i^i A ) X. v ) ) )
18	17	rexbidv 2551	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( r i^i A ) -> ( E. v e. ( S ↾t B ) x = ( u X. v ) <-> E. v e. ( S ↾t B ) x = ( ( r i^i A ) X. v ) ) )
19		vex 2824	. . . . . . . . . . . . 13 |- s e. _V
20	19	inex1 4262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s i^i B ) e. _V
21	20	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) /\ s e. S ) -> ( s i^i B ) e. _V )
22		elrest 13577	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. W /\ B e. Y ) -> ( v e. ( S ↾t B ) <-> E. s e. S v = ( s i^i B ) ) )
23	22	ad2ant2l 512	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( v e. ( S ↾t B ) <-> E. s e. S v = ( s i^i B ) ) )
24		xpeq2 4784	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( s i^i B ) -> ( ( r i^i A ) X. v ) = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) )
25	24	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( s i^i B ) -> ( x = ( ( r i^i A ) X. v ) <-> x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) ) )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) /\ v = ( s i^i B ) ) -> ( x = ( ( r i^i A ) X. v ) <-> x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) ) )
27	21, 23, 26	rexxfr2d 4606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( E. v e. ( S ↾t B ) x = ( ( r i^i A ) X. v ) <-> E. s e. S x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) ) )
28	18, 27	sylan9bbr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) /\ u = ( r i^i A ) ) -> ( E. v e. ( S ↾t B ) x = ( u X. v ) <-> E. s e. S x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) ) )
29	13, 15, 28	rexxfr2d 4606	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( E. u e. ( R ↾t A ) E. v e. ( S ↾t B ) x = ( u X. v ) <-> E. r e. R E. s e. S x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) ) )
30	11, 19	xpex 4886	. . . . . . . . . 10 |- ( r X. s ) e. _V
31	30	rgen2w 2606	. . . . . . . . 9 |- A. r e. R A. s e. S ( r X. s ) e. _V
32		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) = ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) )
33		ineq1 3425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( r X. s ) -> ( w i^i ( A X. B ) ) = ( ( r X. s ) i^i ( A X. B ) ) )
34		inxp 4909	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( r X. s ) i^i ( A X. B ) ) = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) )
35	33, 34	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( r X. s ) -> ( w i^i ( A X. B ) ) = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) )
36	35	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( r X. s ) -> ( x = ( w i^i ( A X. B ) ) <-> x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) ) )
37	32, 36	rexrnmpo 6194	. . . . . . . . 9 |- ( A. r e. R A. s e. S ( r X. s ) e. _V -> ( E. w e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) x = ( w i^i ( A X. B ) ) <-> E. r e. R E. s e. S x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) ) )
38	31, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( E. w e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) x = ( w i^i ( A X. B ) ) <-> E. r e. R E. s e. S x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) )
39	29, 38	bitr4di 198	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( E. u e. ( R ↾t A ) E. v e. ( S ↾t B ) x = ( u X. v ) <-> E. w e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) x = ( w i^i ( A X. B ) ) ) )
40	10, 39	bitr4d 191	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( x e. ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) <-> E. u e. ( R ↾t A ) E. v e. ( S ↾t B ) x = ( u X. v ) ) )
41	40	abbi2dv 2359	. . . . 5 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) = { x | E. u e. ( R ↾t A ) E. v e. ( S ↾t B ) x = ( u X. v ) } )
42		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) = ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) )
43	42	rnmpo 6189	. . . . 5 |- ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) = { x | E. u e. ( R ↾t A ) E. v e. ( S ↾t B ) x = ( u X. v ) }
44	41, 43	eqtr4di 2289	. . . 4 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) = ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) )
45	44	fveq2d 5694	. . 3 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( topGen ` ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) ) )
46	4, 8, 45	3eqtr2d 2277	. 2 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( ( R tX S ) ↾t ( A X. B ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) ) )
47		restfn 13574	. . . 4 |- ↾t Fn ( _V X. _V )
48		simpll 531	. . . . 5 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> R e. V )
49	48	elexd 2835	. . . 4 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> R e. _V )
50		simprl 535	. . . . 5 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> A e. X )
51	50	elexd 2835	. . . 4 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> A e. _V )
52		fnovex 6108	. . . 4 |- ( ( ↾t Fn ( _V X. _V ) /\ R e. _V /\ A e. _V ) -> ( R ↾t A ) e. _V )
53	47, 49, 51, 52	mp3an2i 1383	. . 3 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( R ↾t A ) e. _V )
54		simplr 533	. . . . 5 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> S e. W )
55	54	elexd 2835	. . . 4 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> S e. _V )
56		simprr 537	. . . . 5 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> B e. Y )
57	56	elexd 2835	. . . 4 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> B e. _V )
58		fnovex 6108	. . . 4 |- ( ( ↾t Fn ( _V X. _V ) /\ S e. _V /\ B e. _V ) -> ( S ↾t B ) e. _V )
59	47, 55, 57, 58	mp3an2i 1383	. . 3 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( S ↾t B ) e. _V )
60		eqid 2238	. . . 4 |- ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) = ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) )
61	60	txval 15279	. . 3 |- ( ( ( R ↾t A ) e. _V /\ ( S ↾t B ) e. _V ) -> ( ( R ↾t A ) tX ( S ↾t B ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) ) )
62	53, 59, 61	syl2anc 415	. 2 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( ( R ↾t A ) tX ( S ↾t B ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) ) )
63	46, 62	eqtr4d 2274	1 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( ( R tX S ) ↾t ( A X. B ) ) = ( ( R ↾t A ) tX ( S ↾t B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   X. cxp 4767   ran crn 4770   Fn wfn 5367   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   e. cmpo 6077   ↾_t crest 13570   topGenctg 13585   tX ctx 15276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-rest 13572  df-topgen 13591  df-tx 15277

This theorem is referenced by:  cnmpt2res  15321  limccnp2cntop  15701