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Theorem txrest 12351
Description: The subspace of a topological product space induced by a subset with a Cartesian product representation is a topological product of the subspaces induced by the subspaces of the terms of the products. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
txrest  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( A  X.  B ) )  =  ( ( Rt  A ) 
tX  ( St  B ) ) )

Proof of Theorem txrest
Dummy variables  s  r  u  v  x  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2115 . . . . . 6  |-  ran  (
r  e.  R , 
s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  =  ran  (
r  e.  R , 
s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )
21txval 12330 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ) )
32adantr 272 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ) )
43oveq1d 5755 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( A  X.  B ) )  =  ( ( topGen `  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) )t  ( A  X.  B ) ) )
51txbasex 12332 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  e. 
_V )
6 xpexg 4621 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
7 tgrest 12244 . . . 4  |-  ( ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  e. 
_V  /\  ( A  X.  B )  e.  _V )  ->  ( topGen `  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) )t  ( A  X.  B ) ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) )t  ( A  X.  B ) ) )
85, 6, 7syl2an 285 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( topGen `  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) )t  ( A  X.  B ) ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) )t  ( A  X.  B ) ) )
9 elrest 12033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  e. 
_V  /\  ( A  X.  B )  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )t  ( A  X.  B ) )  <->  E. w  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) ) ) )
105, 6, 9syl2an 285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( x  e.  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )t  ( A  X.  B ) )  <->  E. w  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) ) ) )
11 vex 2661 . . . . . . . . . . 11  |-  r  e. 
_V
1211inex1 4030 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  i^i  A )  e. 
_V
1312a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )
)  /\  r  e.  R )  ->  (
r  i^i  A )  e.  _V )
14 elrest 12033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( u  e.  ( Rt  A )  <->  E. r  e.  R  u  =  ( r  i^i  A
) ) )
1514ad2ant2r 498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( u  e.  ( Rt  A )  <->  E. r  e.  R  u  =  ( r  i^i  A
) ) )
16 xpeq1 4521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( r  i^i 
A )  ->  (
u  X.  v )  =  ( ( r  i^i  A )  X.  v ) )
1716eqeq2d 2127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( r  i^i 
A )  ->  (
x  =  ( u  X.  v )  <->  x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  v
) ) )
1817rexbidv 2413 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( r  i^i 
A )  ->  ( E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
)  <->  E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  v
) ) )
19 vex 2661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  s  e. 
_V
2019inex1 4030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  i^i  B )  e. 
_V
2120a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )
)  /\  s  e.  S )  ->  (
s  i^i  B )  e.  _V )
22 elrest 12033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  W  /\  B  e.  Y )  ->  ( v  e.  ( St  B )  <->  E. s  e.  S  v  =  ( s  i^i  B
) ) )
2322ad2ant2l 497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( v  e.  ( St  B )  <->  E. s  e.  S  v  =  ( s  i^i  B
) ) )
24 xpeq2 4522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( s  i^i 
B )  ->  (
( r  i^i  A
)  X.  v )  =  ( ( r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) )
2524eqeq2d 2127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( s  i^i 
B )  ->  (
x  =  ( ( r  i^i  A )  X.  v )  <->  x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
) ) )
2625adantl 273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )
)  /\  v  =  ( s  i^i  B
) )  ->  (
x  =  ( ( r  i^i  A )  X.  v )  <->  x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
) ) )
2721, 23, 26rexxfr2d 4354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  v
)  <->  E. s  e.  S  x  =  ( (
r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) ) )
2818, 27sylan9bbr 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )
)  /\  u  =  ( r  i^i  A
) )  ->  ( E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
)  <->  E. s  e.  S  x  =  ( (
r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) ) )
2913, 15, 28rexxfr2d 4354 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( E. u  e.  ( Rt  A ) E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
)  <->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  x  =  ( (
r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) ) )
3011, 19xpex 4622 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  X.  s )  e. 
_V
3130rgen2w 2463 . . . . . . . . 9  |-  A. r  e.  R  A. s  e.  S  ( r  X.  s )  e.  _V
32 eqid 2115 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  =  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )
33 ineq1 3238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( r  X.  s )  ->  (
w  i^i  ( A  X.  B ) )  =  ( ( r  X.  s )  i^i  ( A  X.  B ) ) )
34 inxp 4641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  X.  s )  i^i  ( A  X.  B ) )  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
)
3533, 34syl6eq 2164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( r  X.  s )  ->  (
w  i^i  ( A  X.  B ) )  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
) )
3635eqeq2d 2127 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( r  X.  s )  ->  (
x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) )  <->  x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
) ) )
3732, 36rexrnmpo 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( A. r  e.  R  A. s  e.  S  (
r  X.  s )  e.  _V  ->  ( E. w  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) )  <->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  x  =  ( (
r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) ) )
3831, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  ran  (
r  e.  R , 
s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) )  <->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  x  =  ( (
r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) )
3929, 38syl6bbr 197 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( E. u  e.  ( Rt  A ) E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
)  <->  E. w  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) ) ) )
4010, 39bitr4d 190 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( x  e.  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )t  ( A  X.  B ) )  <->  E. u  e.  ( Rt  A ) E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
) ) )
4140abbi2dv 2234 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )t  ( A  X.  B ) )  =  { x  |  E. u  e.  ( Rt  A ) E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
) } )
42 eqid 2115 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) )  =  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B ) 
|->  ( u  X.  v
) )
4342rnmpo 5847 . . . . 5  |-  ran  (
u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) )  =  { x  |  E. u  e.  ( Rt  A ) E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
) }
4441, 43syl6eqr 2166 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )t  ( A  X.  B ) )  =  ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) ) )
4544fveq2d 5391 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( topGen `  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) )t  ( A  X.  B ) ) )  =  ( topGen `  ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B ) 
|->  ( u  X.  v
) ) ) )
464, 8, 453eqtr2d 2154 . 2  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( A  X.  B ) )  =  ( topGen `  ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
47 restfn 12030 . . . 4  |-t  Fn  ( _V  X.  _V )
48 simpll 501 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  ->  R  e.  V )
4948elexd 2671 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  ->  R  e.  _V )
50 simprl 503 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  ->  A  e.  X )
5150elexd 2671 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  ->  A  e.  _V )
52 fnovex 5770 . . . 4  |-  ( (t  Fn  ( _V  X.  _V )  /\  R  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( Rt  A )  e.  _V )
5347, 49, 51, 52mp3an2i 1303 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( Rt  A )  e.  _V )
54 simplr 502 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  ->  S  e.  W )
5554elexd 2671 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  ->  S  e.  _V )
56 simprr 504 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  ->  B  e.  Y )
5756elexd 2671 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  ->  B  e.  _V )
58 fnovex 5770 . . . 4  |-  ( (t  Fn  ( _V  X.  _V )  /\  S  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( St  B )  e.  _V )
5947, 55, 57, 58mp3an2i 1303 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( St  B )  e.  _V )
60 eqid 2115 . . . 4  |-  ran  (
u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) )  =  ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) )
6160txval 12330 . . 3  |-  ( ( ( Rt  A )  e.  _V  /\  ( St  B )  e.  _V )  ->  ( ( Rt  A )  tX  ( St  B ) )  =  (
topGen `  ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
6253, 59, 61syl2anc 406 . 2  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ( Rt  A ) 
tX  ( St  B ) )  =  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B ) 
|->  ( u  X.  v
) ) ) )
6346, 62eqtr4d 2151 1  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( A  X.  B ) )  =  ( ( Rt  A ) 
tX  ( St  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   {cab 2101   A.wral 2391   E.wrex 2392   _Vcvv 2658    i^i cin 3038    X. cxp 4505   ran crn 4508    Fn wfn 5086   ` cfv 5091  (class class class)co 5740    e. cmpo 5742   ↾t crest 12026   topGenctg 12041    tX ctx 12327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-rest 12028  df-topgen 12047  df-tx 12328
This theorem is referenced by:  cnmpt2res  12372  limccnp2cntop  12721
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