Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  txrest Unicode version

Theorem txrest 12647
 Description: The subspace of a topological product space induced by a subset with a Cartesian product representation is a topological product of the subspaces induced by the subspaces of the terms of the products. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
txrest t t t

Proof of Theorem txrest
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2157 . . . . . 6
21txval 12626 . . . . 5
32adantr 274 . . . 4
43oveq1d 5836 . . 3 t t
51txbasex 12628 . . . 4
6 xpexg 4699 . . . 4
7 tgrest 12540 . . . 4 t t
85, 6, 7syl2an 287 . . 3 t t
9 elrest 12329 . . . . . . . 8 t
105, 6, 9syl2an 287 . . . . . . 7 t
11 vex 2715 . . . . . . . . . . 11
1211inex1 4098 . . . . . . . . . 10
1312a1i 9 . . . . . . . . 9
14 elrest 12329 . . . . . . . . . 10 t
1514ad2ant2r 501 . . . . . . . . 9 t
16 xpeq1 4599 . . . . . . . . . . . 12
1716eqeq2d 2169 . . . . . . . . . . 11
1817rexbidv 2458 . . . . . . . . . 10 t t
19 vex 2715 . . . . . . . . . . . . 13
2019inex1 4098 . . . . . . . . . . . 12
2120a1i 9 . . . . . . . . . . 11
22 elrest 12329 . . . . . . . . . . . 12 t
2322ad2ant2l 500 . . . . . . . . . . 11 t
24 xpeq2 4600 . . . . . . . . . . . . 13
2524eqeq2d 2169 . . . . . . . . . . . 12
2625adantl 275 . . . . . . . . . . 11
2721, 23, 26rexxfr2d 4424 . . . . . . . . . 10 t
2818, 27sylan9bbr 459 . . . . . . . . 9 t
2913, 15, 28rexxfr2d 4424 . . . . . . . 8 t t
3011, 19xpex 4700 . . . . . . . . . 10
3130rgen2w 2513 . . . . . . . . 9
32 eqid 2157 . . . . . . . . . 10
33 ineq1 3301 . . . . . . . . . . . 12
34 inxp 4719 . . . . . . . . . . . 12
3533, 34eqtrdi 2206 . . . . . . . . . . 11
3635eqeq2d 2169 . . . . . . . . . 10
3732, 36rexrnmpo 5933 . . . . . . . . 9
3831, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8
3929, 38bitr4di 197 . . . . . . 7 t t
4010, 39bitr4d 190 . . . . . 6 t t t
4140abbi2dv 2276 . . . . 5 t t t
42 eqid 2157 . . . . . 6 t t t t
4342rnmpo 5928 . . . . 5 t t t t
4441, 43eqtr4di 2208 . . . 4 t t t
4544fveq2d 5471 . . 3 t t t
464, 8, 453eqtr2d 2196 . 2 t t t
47 restfn 12326 . . . 4 t
48 simpll 519 . . . . 5
4948elexd 2725 . . . 4
50 simprl 521 . . . . 5
5150elexd 2725 . . . 4
52 fnovex 5851 . . . 4 t t
5347, 49, 51, 52mp3an2i 1324 . . 3 t
54 simplr 520 . . . . 5
5554elexd 2725 . . . 4
56 simprr 522 . . . . 5
5756elexd 2725 . . . 4
58 fnovex 5851 . . . 4 t t
5947, 55, 57, 58mp3an2i 1324 . . 3 t
60 eqid 2157 . . . 4 t t t t
6160txval 12626 . . 3 t t t t t t
6253, 59, 61syl2anc 409 . 2 t t t t
6346, 62eqtr4d 2193 1 t t t
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1335   wcel 2128  cab 2143  wral 2435  wrex 2436  cvv 2712   cin 3101   cxp 4583   crn 4586   wfn 5164  cfv 5169  (class class class)co 5821   cmpo 5823   ↾t crest 12322  ctg 12337   ctx 12623 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-rest 12324  df-topgen 12343  df-tx 12624 This theorem is referenced by:  cnmpt2res  12668  limccnp2cntop  13017
 Copyright terms: Public domain W3C validator