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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > txrest | Unicode version |
Description: The subspace of a topological product space induced by a subset with a Cartesian product representation is a topological product of the subspaces induced by the subspaces of the terms of the products. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.) |
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txrest |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | eqid 2140 |
. . . . . 6
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2 | 1 | txval 12463 |
. . . . 5
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3 | 2 | adantr 274 |
. . . 4
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4 | 3 | oveq1d 5797 |
. . 3
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5 | 1 | txbasex 12465 |
. . . 4
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6 | xpexg 4661 |
. . . 4
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7 | tgrest 12377 |
. . . 4
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8 | 5, 6, 7 | syl2an 287 |
. . 3
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9 | elrest 12166 |
. . . . . . . 8
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10 | 5, 6, 9 | syl2an 287 |
. . . . . . 7
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11 | vex 2692 |
. . . . . . . . . . 11
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12 | 11 | inex1 4070 |
. . . . . . . . . 10
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13 | 12 | a1i 9 |
. . . . . . . . 9
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14 | elrest 12166 |
. . . . . . . . . 10
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15 | 14 | ad2ant2r 501 |
. . . . . . . . 9
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16 | xpeq1 4561 |
. . . . . . . . . . . 12
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17 | 16 | eqeq2d 2152 |
. . . . . . . . . . 11
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18 | 17 | rexbidv 2439 |
. . . . . . . . . 10
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19 | vex 2692 |
. . . . . . . . . . . . 13
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20 | 19 | inex1 4070 |
. . . . . . . . . . . 12
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21 | 20 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | elrest 12166 |
. . . . . . . . . . . 12
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23 | 22 | ad2ant2l 500 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | xpeq2 4562 |
. . . . . . . . . . . . 13
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25 | 24 | eqeq2d 2152 |
. . . . . . . . . . . 12
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26 | 25 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | 21, 23, 26 | rexxfr2d 4394 |
. . . . . . . . . 10
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28 | 18, 27 | sylan9bbr 459 |
. . . . . . . . 9
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29 | 13, 15, 28 | rexxfr2d 4394 |
. . . . . . . 8
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30 | 11, 19 | xpex 4662 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 30 | rgen2w 2491 |
. . . . . . . . 9
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32 | eqid 2140 |
. . . . . . . . . 10
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33 | ineq1 3275 |
. . . . . . . . . . . 12
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34 | inxp 4681 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | 33, 34 | eqtrdi 2189 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | 35 | eqeq2d 2152 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 32, 36 | rexrnmpo 5894 |
. . . . . . . . 9
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38 | 31, 37 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
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39 | 29, 38 | syl6bbr 197 |
. . . . . . 7
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40 | 10, 39 | bitr4d 190 |
. . . . . 6
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41 | 40 | abbi2dv 2259 |
. . . . 5
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42 | eqid 2140 |
. . . . . 6
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43 | 42 | rnmpo 5889 |
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44 | 41, 43 | eqtr4di 2191 |
. . . 4
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45 | 44 | fveq2d 5433 |
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46 | 4, 8, 45 | 3eqtr2d 2179 |
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47 | restfn 12163 |
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48 | simpll 519 |
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49 | 48 | elexd 2702 |
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50 | simprl 521 |
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51 | 50 | elexd 2702 |
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52 | fnovex 5812 |
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53 | 47, 49, 51, 52 | mp3an2i 1321 |
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54 | simplr 520 |
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55 | 54 | elexd 2702 |
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56 | simprr 522 |
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57 | 56 | elexd 2702 |
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58 | fnovex 5812 |
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59 | 47, 55, 57, 58 | mp3an2i 1321 |
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60 | eqid 2140 |
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61 | 60 | txval 12463 |
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62 | 53, 59, 61 | syl2anc 409 |
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63 | 46, 62 | eqtr4d 2176 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-id 4223 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-rest 12161 df-topgen 12180 df-tx 12461 |
This theorem is referenced by: cnmpt2res 12505 limccnp2cntop 12854 |
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