Theorem txrest 15267

Description: The subspace of a topological product space induced by a subset with a Cartesian product representation is a topological product of the subspaces induced by the subspaces of the terms of the products. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
txrest	|- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( ( R tX S ) ↾t ( A X. B ) ) = ( ( R ↾t A ) tX ( S ↾t B ) ) )

Proof of Theorem txrest

Dummy variables s r u v x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . . . . 6 |- ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) = ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) )
2	1	txval 15246	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) )
4	3	oveq1d 6073	. . 3 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( ( R tX S ) ↾t ( A X. B ) ) = ( ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) ↾t ( A X. B ) ) )
5	1	txbasex 15248	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) e. _V )
6		xpexg 4869	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> ( A X. B ) e. _V )
7		tgrest 15160	. . . 4 |- ( ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) e. _V /\ ( A X. B ) e. _V ) -> ( topGen ` ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) ) = ( ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) ↾t ( A X. B ) ) )
8	5, 6, 7	syl2an 289	. . 3 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( topGen ` ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) ) = ( ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) ↾t ( A X. B ) ) )
9		elrest 13543	. . . . . . . 8 |- ( ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) e. _V /\ ( A X. B ) e. _V ) -> ( x e. ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) <-> E. w e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) x = ( w i^i ( A X. B ) ) ) )
10	5, 6, 9	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( x e. ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) <-> E. w e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) x = ( w i^i ( A X. B ) ) ) )
11		vex 2818	. . . . . . . . . . 11 |- r e. _V
12	11	inex1 4249	. . . . . . . . . 10 |- ( r i^i A ) e. _V
13	12	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) /\ r e. R ) -> ( r i^i A ) e. _V )
14		elrest 13543	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ A e. X ) -> ( u e. ( R ↾t A ) <-> E. r e. R u = ( r i^i A ) ) )
15	14	ad2ant2r 509	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( u e. ( R ↾t A ) <-> E. r e. R u = ( r i^i A ) ) )
16		xpeq1 4768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( r i^i A ) -> ( u X. v ) = ( ( r i^i A ) X. v ) )
17	16	eqeq2d 2246	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( r i^i A ) -> ( x = ( u X. v ) <-> x = ( ( r i^i A ) X. v ) ) )
18	17	rexbidv 2545	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( r i^i A ) -> ( E. v e. ( S ↾t B ) x = ( u X. v ) <-> E. v e. ( S ↾t B ) x = ( ( r i^i A ) X. v ) ) )
19		vex 2818	. . . . . . . . . . . . 13 |- s e. _V
20	19	inex1 4249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s i^i B ) e. _V
21	20	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) /\ s e. S ) -> ( s i^i B ) e. _V )
22		elrest 13543	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. W /\ B e. Y ) -> ( v e. ( S ↾t B ) <-> E. s e. S v = ( s i^i B ) ) )
23	22	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( v e. ( S ↾t B ) <-> E. s e. S v = ( s i^i B ) ) )
24		xpeq2 4769	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( s i^i B ) -> ( ( r i^i A ) X. v ) = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) )
25	24	eqeq2d 2246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( s i^i B ) -> ( x = ( ( r i^i A ) X. v ) <-> x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) ) )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) /\ v = ( s i^i B ) ) -> ( x = ( ( r i^i A ) X. v ) <-> x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) ) )
27	21, 23, 26	rexxfr2d 4591	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( E. v e. ( S ↾t B ) x = ( ( r i^i A ) X. v ) <-> E. s e. S x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) ) )
28	18, 27	sylan9bbr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) /\ u = ( r i^i A ) ) -> ( E. v e. ( S ↾t B ) x = ( u X. v ) <-> E. s e. S x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) ) )
29	13, 15, 28	rexxfr2d 4591	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( E. u e. ( R ↾t A ) E. v e. ( S ↾t B ) x = ( u X. v ) <-> E. r e. R E. s e. S x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) ) )
30	11, 19	xpex 4871	. . . . . . . . . 10 |- ( r X. s ) e. _V
31	30	rgen2w 2600	. . . . . . . . 9 |- A. r e. R A. s e. S ( r X. s ) e. _V
32		eqid 2234	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) = ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) )
33		ineq1 3419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( r X. s ) -> ( w i^i ( A X. B ) ) = ( ( r X. s ) i^i ( A X. B ) ) )
34		inxp 4894	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( r X. s ) i^i ( A X. B ) ) = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) )
35	33, 34	eqtrdi 2283	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( r X. s ) -> ( w i^i ( A X. B ) ) = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) )
36	35	eqeq2d 2246	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( r X. s ) -> ( x = ( w i^i ( A X. B ) ) <-> x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) ) )
37	32, 36	rexrnmpo 6177	. . . . . . . . 9 |- ( A. r e. R A. s e. S ( r X. s ) e. _V -> ( E. w e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) x = ( w i^i ( A X. B ) ) <-> E. r e. R E. s e. S x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) ) )
38	31, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( E. w e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) x = ( w i^i ( A X. B ) ) <-> E. r e. R E. s e. S x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) )
39	29, 38	bitr4di 198	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( E. u e. ( R ↾t A ) E. v e. ( S ↾t B ) x = ( u X. v ) <-> E. w e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) x = ( w i^i ( A X. B ) ) ) )
40	10, 39	bitr4d 191	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( x e. ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) <-> E. u e. ( R ↾t A ) E. v e. ( S ↾t B ) x = ( u X. v ) ) )
41	40	abbi2dv 2355	. . . . 5 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) = { x | E. u e. ( R ↾t A ) E. v e. ( S ↾t B ) x = ( u X. v ) } )
42		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) = ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) )
43	42	rnmpo 6172	. . . . 5 |- ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) = { x | E. u e. ( R ↾t A ) E. v e. ( S ↾t B ) x = ( u X. v ) }
44	41, 43	eqtr4di 2285	. . . 4 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) = ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) )
45	44	fveq2d 5679	. . 3 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( topGen ` ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) ) )
46	4, 8, 45	3eqtr2d 2273	. 2 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( ( R tX S ) ↾t ( A X. B ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) ) )
47		restfn 13540	. . . 4 |- ↾t Fn ( _V X. _V )
48		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> R e. V )
49	48	elexd 2829	. . . 4 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> R e. _V )
50		simprl 531	. . . . 5 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> A e. X )
51	50	elexd 2829	. . . 4 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> A e. _V )
52		fnovex 6091	. . . 4 |- ( ( ↾t Fn ( _V X. _V ) /\ R e. _V /\ A e. _V ) -> ( R ↾t A ) e. _V )
53	47, 49, 51, 52	mp3an2i 1379	. . 3 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( R ↾t A ) e. _V )
54		simplr 529	. . . . 5 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> S e. W )
55	54	elexd 2829	. . . 4 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> S e. _V )
56		simprr 533	. . . . 5 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> B e. Y )
57	56	elexd 2829	. . . 4 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> B e. _V )
58		fnovex 6091	. . . 4 |- ( ( ↾t Fn ( _V X. _V ) /\ S e. _V /\ B e. _V ) -> ( S ↾t B ) e. _V )
59	47, 55, 57, 58	mp3an2i 1379	. . 3 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( S ↾t B ) e. _V )
60		eqid 2234	. . . 4 |- ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) = ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) )
61	60	txval 15246	. . 3 |- ( ( ( R ↾t A ) e. _V /\ ( S ↾t B ) e. _V ) -> ( ( R ↾t A ) tX ( S ↾t B ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) ) )
62	53, 59, 61	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( ( R ↾t A ) tX ( S ↾t B ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) ) )
63	46, 62	eqtr4d 2270	1 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( ( R tX S ) ↾t ( A X. B ) ) = ( ( R ↾t A ) tX ( S ↾t B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   {cab 2220   A.wral 2522   E.wrex 2523   _Vcvv 2815   i^i cin 3213   X. cxp 4752   ran crn 4755   Fn wfn 5352   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   e. cmpo 6060   ↾_t crest 13536   topGenctg 13551   tX ctx 15243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-rest 13538  df-topgen 13557  df-tx 15244

This theorem is referenced by:  cnmpt2res  15288  limccnp2cntop  15668