Theorem rexrnmpo 5968

Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngop.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
ralrnmpo.2	|- ( z = C -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rexrnmpo	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( E. z e. ran F ph <-> E. x e. A E. y e. B ps ) )

Distinct variable groups:   y, z, A   z, B   z, C   z, F   ps, z   x, y, z   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   ps( x, y)   A( x)   B( x, y)   C( x, y)   F( x, y)   V( x, y, z)

Proof of Theorem rexrnmpo

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngop.1	. . . . 5 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	rnmpo 5963	. . . 4 |- ran F = { w | E. x e. A E. y e. B w = C }
3	2	rexeqi 2670	. . 3 |- ( E. z e. ran F ph <-> E. z e. { w | E. x e. A E. y e. B w = C } ph )
4		eqeq1 2177	. . . . 5 |- ( w = z -> ( w = C <-> z = C ) )
5	4	2rexbidv 2495	. . . 4 |- ( w = z -> ( E. x e. A E. y e. B w = C <-> E. x e. A E. y e. B z = C ) )
6	5	rexab 2892	. . 3 |- ( E. z e. { w | E. x e. A E. y e. B w = C } ph <-> E. z ( E. x e. A E. y e. B z = C /\ ph ) )
7		rexcom4 2753	. . . 4 |- ( E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. z E. x e. A ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
8		r19.41v 2626	. . . . 5 |- ( E. x e. A ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> ( E. x e. A E. y e. B z = C /\ ph ) )
9	8	exbii 1598	. . . 4 |- ( E. z E. x e. A ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. z ( E. x e. A E. y e. B z = C /\ ph ) )
10	7, 9	bitr2i 184	. . 3 |- ( E. z ( E. x e. A E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
11	3, 6, 10	3bitri 205	. 2 |- ( E. z e. ran F ph <-> E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
12		rexcom4 2753	. . . . . 6 |- ( E. y e. B E. z ( z = C /\ ph ) <-> E. z E. y e. B ( z = C /\ ph ) )
13		r19.41v 2626	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B ( z = C /\ ph ) <-> ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
14	13	exbii 1598	. . . . . 6 |- ( E. z E. y e. B ( z = C /\ ph ) <-> E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
15	12, 14	bitri 183	. . . . 5 |- ( E. y e. B E. z ( z = C /\ ph ) <-> E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
16		ralrnmpo.2	. . . . . . . 8 |- ( z = C -> ( ph <-> ps ) )
17	16	ceqsexgv 2859	. . . . . . 7 |- ( C e. V -> ( E. z ( z = C /\ ph ) <-> ps ) )
18	17	ralimi 2533	. . . . . 6 |- ( A. y e. B C e. V -> A. y e. B ( E. z ( z = C /\ ph ) <-> ps ) )
19		rexbi 2603	. . . . . 6 |- ( A. y e. B ( E. z ( z = C /\ ph ) <-> ps ) -> ( E. y e. B E. z ( z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) )
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( A. y e. B C e. V -> ( E. y e. B E. z ( z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) )
21	15, 20	bitr3id 193	. . . 4 |- ( A. y e. B C e. V -> ( E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) )
22	21	ralimi 2533	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> A. x e. A ( E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) )
23		rexbi 2603	. . 3 |- ( A. x e. A ( E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) -> ( E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. x e. A E. y e. B ps ) )
24	22, 23	syl 14	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. x e. A E. y e. B ps ) )
25	11, 24	syl5bb 191	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( E. z e. ran F ph <-> E. x e. A E. y e. B ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   ran crn 4612   e. cmpo 5855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622  df-oprab 5857  df-mpo 5858

This theorem is referenced by:  eltx  13053  txrest  13070  txlm  13073