Theorem rexrnmpo 6038

Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngop.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
ralrnmpo.2	|- ( z = C -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rexrnmpo	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( E. z e. ran F ph <-> E. x e. A E. y e. B ps ) )

Distinct variable groups:   y, z, A   z, B   z, C   z, F   ps, z   x, y, z   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   ps( x, y)   A( x)   B( x, y)   C( x, y)   F( x, y)   V( x, y, z)

Proof of Theorem rexrnmpo

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngop.1	. . . . 5 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	rnmpo 6033	. . . 4 |- ran F = { w | E. x e. A E. y e. B w = C }
3	2	rexeqi 2698	. . 3 |- ( E. z e. ran F ph <-> E. z e. { w | E. x e. A E. y e. B w = C } ph )
4		eqeq1 2203	. . . . 5 |- ( w = z -> ( w = C <-> z = C ) )
5	4	2rexbidv 2522	. . . 4 |- ( w = z -> ( E. x e. A E. y e. B w = C <-> E. x e. A E. y e. B z = C ) )
6	5	rexab 2926	. . 3 |- ( E. z e. { w | E. x e. A E. y e. B w = C } ph <-> E. z ( E. x e. A E. y e. B z = C /\ ph ) )
7		rexcom4 2786	. . . 4 |- ( E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. z E. x e. A ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
8		r19.41v 2653	. . . . 5 |- ( E. x e. A ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> ( E. x e. A E. y e. B z = C /\ ph ) )
9	8	exbii 1619	. . . 4 |- ( E. z E. x e. A ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. z ( E. x e. A E. y e. B z = C /\ ph ) )
10	7, 9	bitr2i 185	. . 3 |- ( E. z ( E. x e. A E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
11	3, 6, 10	3bitri 206	. 2 |- ( E. z e. ran F ph <-> E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
12		rexcom4 2786	. . . . . 6 |- ( E. y e. B E. z ( z = C /\ ph ) <-> E. z E. y e. B ( z = C /\ ph ) )
13		r19.41v 2653	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B ( z = C /\ ph ) <-> ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
14	13	exbii 1619	. . . . . 6 |- ( E. z E. y e. B ( z = C /\ ph ) <-> E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
15	12, 14	bitri 184	. . . . 5 |- ( E. y e. B E. z ( z = C /\ ph ) <-> E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
16		ralrnmpo.2	. . . . . . . 8 |- ( z = C -> ( ph <-> ps ) )
17	16	ceqsexgv 2893	. . . . . . 7 |- ( C e. V -> ( E. z ( z = C /\ ph ) <-> ps ) )
18	17	ralimi 2560	. . . . . 6 |- ( A. y e. B C e. V -> A. y e. B ( E. z ( z = C /\ ph ) <-> ps ) )
19		rexbi 2630	. . . . . 6 |- ( A. y e. B ( E. z ( z = C /\ ph ) <-> ps ) -> ( E. y e. B E. z ( z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) )
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( A. y e. B C e. V -> ( E. y e. B E. z ( z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) )
21	15, 20	bitr3id 194	. . . 4 |- ( A. y e. B C e. V -> ( E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) )
22	21	ralimi 2560	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> A. x e. A ( E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) )
23		rexbi 2630	. . 3 |- ( A. x e. A ( E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) -> ( E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. x e. A E. y e. B ps ) )
24	22, 23	syl 14	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. x e. A E. y e. B ps ) )
25	11, 24	bitrid 192	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( E. z e. ran F ph <-> E. x e. A E. y e. B ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   {cab 2182   A.wral 2475   E.wrex 2476   ran crn 4664   e. cmpo 5924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-cnv 4671  df-dm 4673  df-rn 4674  df-oprab 5926  df-mpo 5927

This theorem is referenced by:  eltx  14495  txrest  14512  txlm  14515