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Theorem rexrnmpo 5852
Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngop.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
ralrnmpo.2  |-  ( z  =  C  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
rexrnmpo  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( E. z  e.  ran  F ph 
<->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps ) )
Distinct variable groups:    y, z, A   
z, B    z, C    z, F    ps, z    x, y, z    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    ps( x, y)    A( x)    B( x, y)    C( x, y)    F( x, y)    V( x, y, z)

Proof of Theorem rexrnmpo
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngop.1 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
21rnmpo 5847 . . . 4  |-  ran  F  =  { w  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  w  =  C }
32rexeqi 2606 . . 3  |-  ( E. z  e.  ran  F ph 
<->  E. z  e.  {
w  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  w  =  C } ph )
4 eqeq1 2122 . . . . 5  |-  ( w  =  z  ->  (
w  =  C  <->  z  =  C ) )
542rexbidv 2435 . . . 4  |-  ( w  =  z  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  w  =  C  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C ) )
65rexab 2817 . . 3  |-  ( E. z  e.  { w  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  w  =  C } ph 
<->  E. z ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph )
)
7 rexcom4 2681 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. z ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph )  <->  E. z E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph ) )
8 r19.41v 2562 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph ) )
98exbii 1567 . . . 4  |-  ( E. z E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph )  <->  E. z
( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph ) )
107, 9bitr2i 184 . . 3  |-  ( E. z ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph )  <->  E. x  e.  A  E. z
( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph ) )
113, 6, 103bitri 205 . 2  |-  ( E. z  e.  ran  F ph 
<->  E. x  e.  A  E. z ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph ) )
12 rexcom4 2681 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  B  E. z ( z  =  C  /\  ph )  <->  E. z E. y  e.  B  ( z  =  C  /\  ph )
)
13 r19.41v 2562 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  B  ( z  =  C  /\  ph )  <->  ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph ) )
1413exbii 1567 . . . . . 6  |-  ( E. z E. y  e.  B  ( z  =  C  /\  ph )  <->  E. z ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph ) )
1512, 14bitri 183 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  B  E. z ( z  =  C  /\  ph )  <->  E. z ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph ) )
16 ralrnmpo.2 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  C  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1716ceqsexgv 2786 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  V  ->  ( E. z ( z  =  C  /\  ph )  <->  ps ) )
1817ralimi 2470 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  V  ->  A. y  e.  B  ( E. z ( z  =  C  /\  ph )  <->  ps ) )
19 rexbi 2540 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  ( E. z ( z  =  C  /\  ph )  <->  ps )  ->  ( E. y  e.  B  E. z ( z  =  C  /\  ph )  <->  E. y  e.  B  ps ) )
2018, 19syl 14 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( E. y  e.  B  E. z ( z  =  C  /\  ph )  <->  E. y  e.  B  ps ) )
2115, 20syl5bbr 193 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( E. z ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph )  <->  E. y  e.  B  ps )
)
2221ralimi 2470 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  A. x  e.  A  ( E. z ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph )  <->  E. y  e.  B  ps )
)
23 rexbi 2540 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( E. z ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph )  <->  E. y  e.  B  ps )  ->  ( E. x  e.  A  E. z ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps ) )
2422, 23syl 14 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( E. x  e.  A  E. z ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps )
)
2511, 24syl5bb 191 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( E. z  e.  ran  F ph 
<->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   {cab 2101   A.wral 2391   E.wrex 2392   ran crn 4508    e. cmpo 5742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-br 3898  df-opab 3958  df-cnv 4515  df-dm 4517  df-rn 4518  df-oprab 5744  df-mpo 5745
This theorem is referenced by:  eltx  12323  txrest  12340  txlm  12343
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