Theorem rexrnmpo 6061

Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngop.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
ralrnmpo.2	|- ( z = C -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rexrnmpo	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( E. z e. ran F ph <-> E. x e. A E. y e. B ps ) )

Distinct variable groups:   y, z, A   z, B   z, C   z, F   ps, z   x, y, z   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   ps( x, y)   A( x)   B( x, y)   C( x, y)   F( x, y)   V( x, y, z)

Proof of Theorem rexrnmpo

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngop.1	. . . . 5 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	rnmpo 6056	. . . 4 |- ran F = { w | E. x e. A E. y e. B w = C }
3	2	rexeqi 2707	. . 3 |- ( E. z e. ran F ph <-> E. z e. { w | E. x e. A E. y e. B w = C } ph )
4		eqeq1 2212	. . . . 5 |- ( w = z -> ( w = C <-> z = C ) )
5	4	2rexbidv 2531	. . . 4 |- ( w = z -> ( E. x e. A E. y e. B w = C <-> E. x e. A E. y e. B z = C ) )
6	5	rexab 2935	. . 3 |- ( E. z e. { w | E. x e. A E. y e. B w = C } ph <-> E. z ( E. x e. A E. y e. B z = C /\ ph ) )
7		rexcom4 2795	. . . 4 |- ( E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. z E. x e. A ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
8		r19.41v 2662	. . . . 5 |- ( E. x e. A ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> ( E. x e. A E. y e. B z = C /\ ph ) )
9	8	exbii 1628	. . . 4 |- ( E. z E. x e. A ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. z ( E. x e. A E. y e. B z = C /\ ph ) )
10	7, 9	bitr2i 185	. . 3 |- ( E. z ( E. x e. A E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
11	3, 6, 10	3bitri 206	. 2 |- ( E. z e. ran F ph <-> E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
12		rexcom4 2795	. . . . . 6 |- ( E. y e. B E. z ( z = C /\ ph ) <-> E. z E. y e. B ( z = C /\ ph ) )
13		r19.41v 2662	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B ( z = C /\ ph ) <-> ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
14	13	exbii 1628	. . . . . 6 |- ( E. z E. y e. B ( z = C /\ ph ) <-> E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
15	12, 14	bitri 184	. . . . 5 |- ( E. y e. B E. z ( z = C /\ ph ) <-> E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
16		ralrnmpo.2	. . . . . . . 8 |- ( z = C -> ( ph <-> ps ) )
17	16	ceqsexgv 2902	. . . . . . 7 |- ( C e. V -> ( E. z ( z = C /\ ph ) <-> ps ) )
18	17	ralimi 2569	. . . . . 6 |- ( A. y e. B C e. V -> A. y e. B ( E. z ( z = C /\ ph ) <-> ps ) )
19		rexbi 2639	. . . . . 6 |- ( A. y e. B ( E. z ( z = C /\ ph ) <-> ps ) -> ( E. y e. B E. z ( z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) )
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( A. y e. B C e. V -> ( E. y e. B E. z ( z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) )
21	15, 20	bitr3id 194	. . . 4 |- ( A. y e. B C e. V -> ( E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) )
22	21	ralimi 2569	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> A. x e. A ( E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) )
23		rexbi 2639	. . 3 |- ( A. x e. A ( E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) -> ( E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. x e. A E. y e. B ps ) )
24	22, 23	syl 14	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. x e. A E. y e. B ps ) )
25	11, 24	bitrid 192	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( E. z e. ran F ph <-> E. x e. A E. y e. B ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   {cab 2191   A.wral 2484   E.wrex 2485   ran crn 4676   e. cmpo 5946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-cnv 4683  df-dm 4685  df-rn 4686  df-oprab 5948  df-mpo 5949

This theorem is referenced by:  eltx  14731  txrest  14748  txlm  14751