ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mpoexw Unicode version

Theorem mpoexw 6208
Description: Weak version of mpoex 6209 that holds without ax-coll 4115. If the domain and codomain of an operation given by maps-to notation are sets, the operation is a set. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mpoexw.1  |-  A  e. 
_V
mpoexw.2  |-  B  e. 
_V
mpoexw.3  |-  D  e. 
_V
mpoexw.4  |-  A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  D
Assertion
Ref Expression
mpoexw  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  e.  _V
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    x, D, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)

Proof of Theorem mpoexw
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . 3  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
21mpofun 5971 . 2  |-  Fun  (
x  e.  A , 
y  e.  B  |->  C )
3 mpoexw.4 . . . 4  |-  A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  D
41dmmpoga 6203 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  D  ->  dom  (
x  e.  A , 
y  e.  B  |->  C )  =  ( A  X.  B ) )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  dom  (
x  e.  A , 
y  e.  B  |->  C )  =  ( A  X.  B )
6 mpoexw.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
7 mpoexw.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
86, 7xpex 4738 . . 3  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
95, 8eqeltri 2250 . 2  |-  dom  (
x  e.  A , 
y  e.  B  |->  C )  e.  _V
101rnmpo 5979 . . 3  |-  ran  (
x  e.  A , 
y  e.  B  |->  C )  =  { z  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C }
11 mpoexw.3 . . . 4  |-  D  e. 
_V
123rspec 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  C  e.  D )
1312r19.21bi 2565 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  C  e.  D )
14 eleq1a 2249 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  D  ->  (
z  =  C  -> 
z  e.  D ) )
1513, 14syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( z  =  C  ->  z  e.  D
) )
1615rexlimdva 2594 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  B  z  =  C  ->  z  e.  D ) )
1716rexlimiv 2588 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C  ->  z  e.  D )
1817abssi 3230 . . . 4  |-  { z  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C }  C_  D
1911, 18ssexi 4138 . . 3  |-  { z  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C }  e.  _V
2010, 19eqeltri 2250 . 2  |-  ran  (
x  e.  A , 
y  e.  B  |->  C )  e.  _V
21 funexw 6107 . 2  |-  ( ( Fun  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  /\  dom  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  e.  _V  /\ 
ran  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  e. 
_V )  ->  (
x  e.  A , 
y  e.  B  |->  C )  e.  _V )
222, 9, 20, 21mp3an 1337 1  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737    X. cxp 4621   dom cdm 4623   ran crn 4624   Fun wfun 5206    e. cmpo 5871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator