Theorem mpoexw 6280

Description: Weak version of mpoex 6281 that holds without ax-coll 4149. If the domain and codomain of an operation given by maps-to notation are sets, the operation is a set. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpoexw.1	|- A e. _V
mpoexw.2	|- B e. _V
mpoexw.3	|- D e. _V
mpoexw.4	|- A. x e. A A. y e. B C e. D

Assertion

Ref	Expression
mpoexw	|- ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, D, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)

Proof of Theorem mpoexw

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	mpofun 6028	. 2 |- Fun ( x e. A , y e. B |-> C )
3		mpoexw.4	. . . 4 |- A. x e. A A. y e. B C e. D
4	1	dmmpoga 6275	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. D -> dom ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( A X. B ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- dom ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( A X. B )
6		mpoexw.1	. . . 4 |- A e. _V
7		mpoexw.2	. . . 4 |- B e. _V
8	6, 7	xpex 4779	. . 3 |- ( A X. B ) e. _V
9	5, 8	eqeltri 2269	. 2 |- dom ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V
10	1	rnmpo 6037	. . 3 |- ran ( x e. A , y e. B |-> C ) = { z | E. x e. A E. y e. B z = C }
11		mpoexw.3	. . . 4 |- D e. _V
12	3	rspec 2549	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> A. y e. B C e. D )
13	12	r19.21bi 2585	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> C e. D )
14		eleq1a 2268	. . . . . . . 8 |- ( C e. D -> ( z = C -> z e. D ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = C -> z e. D ) )
16	15	rexlimdva 2614	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( E. y e. B z = C -> z e. D ) )
17	16	rexlimiv 2608	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. y e. B z = C -> z e. D )
18	17	abssi 3259	. . . 4 |- { z | E. x e. A E. y e. B z = C } C_ D
19	11, 18	ssexi 4172	. . 3 |- { z | E. x e. A E. y e. B z = C } e. _V
20	10, 19	eqeltri 2269	. 2 |- ran ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V
21		funexw 6178	. 2 |- ( ( Fun ( x e. A , y e. B |-> C ) /\ dom ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V /\ ran ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V ) -> ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V )
22	2, 9, 20, 21	mp3an 1348	1 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cab 2182   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   X. cxp 4662   dom cdm 4664   ran crn 4665   Fun wfun 5253   e. cmpo 5927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208

This theorem is referenced by:  prdsvallem  12974