Theorem mpoexw 6192

Description: Weak version of mpoex 6193 that holds without ax-coll 4104. If the domain and codomain of an operation given by maps-to notation are sets, the operation is a set. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpoexw.1	|- A e. _V
mpoexw.2	|- B e. _V
mpoexw.3	|- D e. _V
mpoexw.4	|- A. x e. A A. y e. B C e. D

Assertion

Ref	Expression
mpoexw	|- ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, D, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)

Proof of Theorem mpoexw

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2170	. . 3 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	mpofun 5955	. 2 |- Fun ( x e. A , y e. B |-> C )
3		mpoexw.4	. . . 4 |- A. x e. A A. y e. B C e. D
4	1	dmmpoga 6187	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. D -> dom ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( A X. B ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- dom ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( A X. B )
6		mpoexw.1	. . . 4 |- A e. _V
7		mpoexw.2	. . . 4 |- B e. _V
8	6, 7	xpex 4726	. . 3 |- ( A X. B ) e. _V
9	5, 8	eqeltri 2243	. 2 |- dom ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V
10	1	rnmpo 5963	. . 3 |- ran ( x e. A , y e. B |-> C ) = { z | E. x e. A E. y e. B z = C }
11		mpoexw.3	. . . 4 |- D e. _V
12	3	rspec 2522	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> A. y e. B C e. D )
13	12	r19.21bi 2558	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> C e. D )
14		eleq1a 2242	. . . . . . . 8 |- ( C e. D -> ( z = C -> z e. D ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = C -> z e. D ) )
16	15	rexlimdva 2587	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( E. y e. B z = C -> z e. D ) )
17	16	rexlimiv 2581	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. y e. B z = C -> z e. D )
18	17	abssi 3222	. . . 4 |- { z | E. x e. A E. y e. B z = C } C_ D
19	11, 18	ssexi 4127	. . 3 |- { z | E. x e. A E. y e. B z = C } e. _V
20	10, 19	eqeltri 2243	. 2 |- ran ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V
21		funexw 6091	. 2 |- ( ( Fun ( x e. A , y e. B |-> C ) /\ dom ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V /\ ran ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V ) -> ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V )
22	2, 9, 20, 21	mp3an 1332	1 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   X. cxp 4609   dom cdm 4611   ran crn 4612   Fun wfun 5192   e. cmpo 5855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120

This theorem is referenced by: (None)