Theorem mpoexw 6239

Description: Weak version of mpoex 6240 that holds without ax-coll 4133. If the domain and codomain of an operation given by maps-to notation are sets, the operation is a set. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpoexw.1	|- A e. _V
mpoexw.2	|- B e. _V
mpoexw.3	|- D e. _V
mpoexw.4	|- A. x e. A A. y e. B C e. D

Assertion

Ref	Expression
mpoexw	|- ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, D, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)

Proof of Theorem mpoexw

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2189	. . 3 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	mpofun 5999	. 2 |- Fun ( x e. A , y e. B |-> C )
3		mpoexw.4	. . . 4 |- A. x e. A A. y e. B C e. D
4	1	dmmpoga 6234	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. D -> dom ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( A X. B ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- dom ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( A X. B )
6		mpoexw.1	. . . 4 |- A e. _V
7		mpoexw.2	. . . 4 |- B e. _V
8	6, 7	xpex 4759	. . 3 |- ( A X. B ) e. _V
9	5, 8	eqeltri 2262	. 2 |- dom ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V
10	1	rnmpo 6008	. . 3 |- ran ( x e. A , y e. B |-> C ) = { z | E. x e. A E. y e. B z = C }
11		mpoexw.3	. . . 4 |- D e. _V
12	3	rspec 2542	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> A. y e. B C e. D )
13	12	r19.21bi 2578	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> C e. D )
14		eleq1a 2261	. . . . . . . 8 |- ( C e. D -> ( z = C -> z e. D ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = C -> z e. D ) )
16	15	rexlimdva 2607	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( E. y e. B z = C -> z e. D ) )
17	16	rexlimiv 2601	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. y e. B z = C -> z e. D )
18	17	abssi 3245	. . . 4 |- { z | E. x e. A E. y e. B z = C } C_ D
19	11, 18	ssexi 4156	. . 3 |- { z | E. x e. A E. y e. B z = C } e. _V
20	10, 19	eqeltri 2262	. 2 |- ran ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V
21		funexw 6138	. 2 |- ( ( Fun ( x e. A , y e. B |-> C ) /\ dom ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V /\ ran ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V ) -> ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V )
22	2, 9, 20, 21	mp3an 1348	1 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   {cab 2175   A.wral 2468   E.wrex 2469   _Vcvv 2752   X. cxp 4642   dom cdm 4644   ran crn 4645   Fun wfun 5229   e. cmpo 5899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167

This theorem is referenced by: (None)