Theorem s1prc 11199

Description: Value of a singleton word if the symbol is a proper class. (Contributed by AV, 26-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
s1prc	|- ( -. A e. _V -> <" A "> = <" (/) "> )

Proof of Theorem s1prc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvprc 5633	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( _I ` A ) = (/) )
2	1	opeq2d 3869	. . 3 |- ( -. A e. _V -> <. 0 , ( _I ` A ) >. = <. 0 , (/) >. )
3	2	sneqd 3682	. 2 |- ( -. A e. _V -> { <. 0 , ( _I ` A ) >. } = { <. 0 , (/) >. } )
4		df-s1 11192	. 2 |- <" A "> = { <. 0 , ( _I ` A ) >. }
5		0ex 4216	. . 3 |- (/) e. _V
6		s1val 11193	. . 3 |- ( (/) e. _V -> <" (/) "> = { <. 0 , (/) >. } )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- <" (/) "> = { <. 0 , (/) >. }
8	3, 4, 7	3eqtr4g 2289	1 |- ( -. A e. _V -> <" A "> = <" (/) "> )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   (/)c0 3494   {csn 3669   <.cop 3672   _I cid 4385   ` cfv 5326   0cc0 8031   <"cs1 11191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-s1 11192

This theorem is referenced by: (None)