Theorem s1prc 11336

Description: Value of a singleton word if the symbol is a proper class. (Contributed by AV, 26-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
s1prc	|- ( -. A e. _V -> <" A "> = <" (/) "> )

Proof of Theorem s1prc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvprc 5669	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( _I ` A ) = (/) )
2	1	opeq2d 3895	. . 3 |- ( -. A e. _V -> <. 0 , ( _I ` A ) >. = <. 0 , (/) >. )
3	2	sneqd 3707	. 2 |- ( -. A e. _V -> { <. 0 , ( _I ` A ) >. } = { <. 0 , (/) >. } )
4		df-s1 11329	. 2 |- <" A "> = { <. 0 , ( _I ` A ) >. }
5		0ex 4242	. . 3 |- (/) e. _V
6		s1val 11330	. . 3 |- ( (/) e. _V -> <" (/) "> = { <. 0 , (/) >. } )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- <" (/) "> = { <. 0 , (/) >. }
8	3, 4, 7	3eqtr4g 2292	1 |- ( -. A e. _V -> <" A "> = <" (/) "> )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   (/)c0 3512   {csn 3694   <.cop 3697   _I cid 4414   ` cfv 5357   0cc0 8143   <"cs1 11328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-s1 11329

This theorem is referenced by: (None)