Theorem s1prc 11190

Description: Value of a singleton word if the symbol is a proper class. (Contributed by AV, 26-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
s1prc	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⟨“𝐴”⟩ = ⟨“∅”⟩)

Proof of Theorem s1prc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvprc 5629	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ( I ‘𝐴) = ∅)
2	1	opeq2d 3867	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ = ⟨0, ∅⟩)
3	2	sneqd 3680	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩} = {⟨0, ∅⟩})
4		df-s1 11183	. 2 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
5		0ex 4214	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
6		s1val 11184	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ⟨“∅”⟩ = {⟨0, ∅⟩})
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ ⟨“∅”⟩ = {⟨0, ∅⟩}
8	3, 4, 7	3eqtr4g 2287	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⟨“𝐴”⟩ = ⟨“∅”⟩)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800  ∅c0 3492  {csn 3667  ⟨cop 3670   I cid 4383  ‘cfv 5324  0cc0 8022  ⟨“cs1 11182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-s1 11183

This theorem is referenced by: (None)