Theorem s1prc 11369

Description: Value of a singleton word if the symbol is a proper class. (Contributed by AV, 26-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
s1prc	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⟨“𝐴”⟩ = ⟨“∅”⟩)

Proof of Theorem s1prc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvprc 5684	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ( I ‘𝐴) = ∅)
2	1	opeq2d 3906	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ = ⟨0, ∅⟩)
3	2	sneqd 3718	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩} = {⟨0, ∅⟩})
4		df-s1 11362	. 2 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
5		0ex 4255	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
6		s1val 11363	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ⟨“∅”⟩ = {⟨0, ∅⟩})
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ ⟨“∅”⟩ = {⟨0, ∅⟩}
8	3, 4, 7	3eqtr4g 2296	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⟨“𝐴”⟩ = ⟨“∅”⟩)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ∅c0 3520  {csn 3705  ⟨cop 3708   I cid 4428  ‘cfv 5372  0cc0 8169  ⟨“cs1 11361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-s1 11362

This theorem is referenced by: (None)