Theorem s1prc 11249

Description: Value of a singleton word if the symbol is a proper class. (Contributed by AV, 26-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
s1prc	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⟨“𝐴”⟩ = ⟨“∅”⟩)

Proof of Theorem s1prc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvprc 5642	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ( I ‘𝐴) = ∅)
2	1	opeq2d 3874	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ = ⟨0, ∅⟩)
3	2	sneqd 3686	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩} = {⟨0, ∅⟩})
4		df-s1 11242	. 2 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
5		0ex 4221	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
6		s1val 11243	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ⟨“∅”⟩ = {⟨0, ∅⟩})
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ ⟨“∅”⟩ = {⟨0, ∅⟩}
8	3, 4, 7	3eqtr4g 2289	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⟨“𝐴”⟩ = ⟨“∅”⟩)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803  ∅c0 3496  {csn 3673  ⟨cop 3676   I cid 4391  ‘cfv 5333  0cc0 8075  ⟨“cs1 11241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-s1 11242

This theorem is referenced by: (None)