Theorem s1prc 11100

Description: Value of a singleton word if the symbol is a proper class. (Contributed by AV, 26-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
s1prc	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⟨“𝐴”⟩ = ⟨“∅”⟩)

Proof of Theorem s1prc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvprc 5583	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ( I ‘𝐴) = ∅)
2	1	opeq2d 3832	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ = ⟨0, ∅⟩)
3	2	sneqd 3651	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩} = {⟨0, ∅⟩})
4		df-s1 11093	. 2 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
5		0ex 4179	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
6		s1val 11094	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ⟨“∅”⟩ = {⟨0, ∅⟩})
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ ⟨“∅”⟩ = {⟨0, ∅⟩}
8	3, 4, 7	3eqtr4g 2264	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⟨“𝐴”⟩ = ⟨“∅”⟩)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773  ∅c0 3464  {csn 3638  ⟨cop 3641   I cid 4343  ‘cfv 5280  0cc0 7945  ⟨“cs1 11092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-setind 4593

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-s1 11093

This theorem is referenced by: (None)