Theorem sn0cld 15002

Description: The closed sets of the topology { (/) }. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.)

Assertion

Ref	Expression
sn0cld	|- ( Clsd ` { (/) } ) = { (/) }

Proof of Theorem sn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4237	. . 3 |- (/) e. _V
2		discld 15001	. . 3 |- ( (/) e. _V -> ( Clsd ` ~P (/) ) = ~P (/) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( Clsd ` ~P (/) ) = ~P (/)
4		pw0 3841	. . 3 |- ~P (/) = { (/) }
5	4	fveq2i 5673	. 2 |- ( Clsd ` ~P (/) ) = ( Clsd ` { (/) } )
6	3, 5, 4	3eqtr3i 2261	1 |- ( Clsd ` { (/) } ) = { (/) }

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   (/)c0 3508   ~Pcpw 3669   {csn 3689   ` cfv 5352   Clsdccld 14957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-top 14863  df-cld 14960

This theorem is referenced by: (None)