Theorem sn0cld 15238

Description: The closed sets of the topology { (/) }. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.)

Assertion

Ref	Expression
sn0cld	|- ( Clsd ` { (/) } ) = { (/) }

Proof of Theorem sn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4260	. . 3 |- (/) e. _V
2		discld 15237	. . 3 |- ( (/) e. _V -> ( Clsd ` ~P (/) ) = ~P (/) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( Clsd ` ~P (/) ) = ~P (/)
4		pw0 3862	. . 3 |- ~P (/) = { (/) }
5	4	fveq2i 5698	. 2 |- ( Clsd ` ~P (/) ) = ( Clsd ` { (/) } )
6	3, 5, 4	3eqtr3i 2267	1 |- ( Clsd ` { (/) } ) = { (/) }

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   ~Pcpw 3688   {csn 3709   ` cfv 5377   Clsdccld 15193

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-top 15099  df-cld 15196

This theorem is used by: (None)