Theorem sn0cld 12143

Description: The closed sets of the topology {∅}. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.)

Assertion

Ref	Expression
sn0cld	⊢ (Clsd‘{∅}) = {∅}

Proof of Theorem sn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4013	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		discld 12142	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (Clsd‘𝒫 ∅) = 𝒫 ∅)
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 ⊢ (Clsd‘𝒫 ∅) = 𝒫 ∅
4		pw0 3631	. . 3 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
5	4	fveq2i 5376	. 2 ⊢ (Clsd‘𝒫 ∅) = (Clsd‘{∅})
6	3, 5, 4	3eqtr3i 2141	1 ⊢ (Clsd‘{∅}) = {∅}

Syntax hints:   = wceq 1312   ∈ wcel 1461  Vcvv 2655  ∅c0 3327  𝒫 cpw 3474  {csn 3491  ‘cfv 5079  Clsdccld 12098

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-top 12002  df-cld 12101

This theorem is referenced by: (None)