Theorem sn0cld 14373

Description: The closed sets of the topology {∅}. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.)

Assertion

Ref	Expression
sn0cld	⊢ (Clsd‘{∅}) = {∅}

Proof of Theorem sn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4160	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		discld 14372	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (Clsd‘𝒫 ∅) = 𝒫 ∅)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Clsd‘𝒫 ∅) = 𝒫 ∅
4		pw0 3769	. . 3 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
5	4	fveq2i 5561	. 2 ⊢ (Clsd‘𝒫 ∅) = (Clsd‘{∅})
6	3, 5, 4	3eqtr3i 2225	1 ⊢ (Clsd‘{∅}) = {∅}

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763  ∅c0 3450  𝒫 cpw 3605  {csn 3622  ‘cfv 5258  Clsdccld 14328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-top 14234  df-cld 14331

This theorem is referenced by: (None)