Theorem sn0cld 13722

Description: The closed sets of the topology {∅}. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.)

Assertion

Ref	Expression
sn0cld	⊢ (Clsd‘{∅}) = {∅}

Proof of Theorem sn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4132	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		discld 13721	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (Clsd‘𝒫 ∅) = 𝒫 ∅)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Clsd‘𝒫 ∅) = 𝒫 ∅
4		pw0 3741	. . 3 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
5	4	fveq2i 5520	. 2 ⊢ (Clsd‘𝒫 ∅) = (Clsd‘{∅})
6	3, 5, 4	3eqtr3i 2206	1 ⊢ (Clsd‘{∅}) = {∅}

Syntax hints:   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739  ∅c0 3424  𝒫 cpw 3577  {csn 3594  ‘cfv 5218  Clsdccld 13677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-top 13583  df-cld 13680

This theorem is referenced by: (None)