Theorem sn0topon 14324

Description: The singleton of the empty set is a topology on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sn0topon	|- { (/) } e. (TopOn ` (/) )

Proof of Theorem sn0topon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw0 3769	. 2 |- ~P (/) = { (/) }
2		0ex 4160	. . 3 |- (/) e. _V
3		distopon 14323	. . 3 |- ( (/) e. _V -> ~P (/) e. (TopOn ` (/) ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ~P (/) e. (TopOn ` (/) )
5	1, 4	eqeltrri 2270	1 |- { (/) } e. (TopOn ` (/) )

Syntax hints:   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   (/)c0 3450   ~Pcpw 3605   {csn 3622   ` cfv 5258  TopOnctopon 14246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-top 14234  df-topon 14247

This theorem is referenced by:  sn0top  14325