Theorem sn0topon 14267

Description: The singleton of the empty set is a topology on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sn0topon	|- { (/) } e. (TopOn ` (/) )

Proof of Theorem sn0topon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw0 3766	. 2 |- ~P (/) = { (/) }
2		0ex 4157	. . 3 |- (/) e. _V
3		distopon 14266	. . 3 |- ( (/) e. _V -> ~P (/) e. (TopOn ` (/) ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ~P (/) e. (TopOn ` (/) )
5	1, 4	eqeltrri 2267	1 |- { (/) } e. (TopOn ` (/) )

Syntax hints:   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   (/)c0 3447   ~Pcpw 3602   {csn 3619   ` cfv 5255  TopOnctopon 14189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-top 14177  df-topon 14190

This theorem is referenced by:  sn0top  14268