Theorem sn0topon 12296

Description: The singleton of the empty set is a topology on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sn0topon	|- { (/) } e. (TopOn ` (/) )

Proof of Theorem sn0topon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw0 3675	. 2 |- ~P (/) = { (/) }
2		0ex 4063	. . 3 |- (/) e. _V
3		distopon 12295	. . 3 |- ( (/) e. _V -> ~P (/) e. (TopOn ` (/) ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ~P (/) e. (TopOn ` (/) )
5	1, 4	eqeltrri 2214	1 |- { (/) } e. (TopOn ` (/) )

Syntax hints:   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   (/)c0 3368   ~Pcpw 3515   {csn 3532   ` cfv 5131  TopOnctopon 12216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-top 12204  df-topon 12217

This theorem is referenced by:  sn0top  12297