Theorem supisoex 6889

Description: Lemma for supisoti 6890. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
supiso.1	|- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
supiso.2	|- ( ph -> C C_ A )
supisoex.3	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
supisoex	|- ( ph -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, w, x, y, z, A   u, C, v, w, x, y, z   ph, u, w   u, F, v, w, x, y, z   u, R, w, x, y, z   u, S, v, w, x, y, z   u, B, v, w, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, v)   R( v)

Proof of Theorem supisoex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supisoex.3	. 2 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )
2		supiso.1	. . 3 |- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
3		supiso.2	. . 3 |- ( ph -> C C_ A )
4		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> F Isom R , S ( A , B ) )
5		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> C C_ A )
6	4, 5	supisolem 6888	. . . . 5 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ x e. A ) -> ( ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
7		isof1o 5701	. . . . . . . 8 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
8		f1of 5360	. . . . . . . 8 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
9	4, 7, 8	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> F : A --> B )
10	9	ffvelrnda 5548	. . . . . 6 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. B )
11		breq1 3927	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( F ` x ) -> ( u S w <-> ( F ` x ) S w ) )
12	11	notbid 656	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( F ` x ) -> ( -. u S w <-> -. ( F ` x ) S w ) )
13	12	ralbidv 2435	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( F ` x ) -> ( A. w e. ( F " C ) -. u S w <-> A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w ) )
14		breq2 3928	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( F ` x ) -> ( w S u <-> w S ( F ` x ) ) )
15	14	imbi1d 230	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( F ` x ) -> ( ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) <-> ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
16	15	ralbidv 2435	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( F ` x ) -> ( A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) <-> A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
17	13, 16	anbi12d 464	. . . . . . . 8 |- ( u = ( F ` x ) -> ( ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
18	17	rspcev 2784	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` x ) e. B /\ ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
19	18	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( F ` x ) e. B -> ( ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
20	10, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ x e. A ) -> ( ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
21	6, 20	sylbid 149	. . . 4 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ x e. A ) -> ( ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
22	21	rexlimdva 2547	. . 3 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> ( E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
23	2, 3, 22	syl2anc 408	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
24	1, 23	mpd 13	1 |- ( ph -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   C_ wss 3066   class class class wbr 3924   "cima 4537   -->wf 5114   -1-1-onto->wf1o 5117   ` cfv 5118   Isom wiso 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127

This theorem is referenced by: (None)