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Theorem supisoex 6862
Description: Lemma for supisoti 6863. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
supiso.1  |-  ( ph  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
supiso.2  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
supisoex.3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) ) )
Assertion
Ref Expression
supisoex  |-  ( ph  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) )
Distinct variable groups:    v, u, w, x, y, z, A   
u, C, v, w, x, y, z    ph, u, w    u, F, v, w, x, y, z    u, R, w, x, y, z   
u, S, v, w, x, y, z    u, B, v, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, v)    R( v)

Proof of Theorem supisoex
StepHypRef Expression
1 supisoex.3 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) ) )
2 supiso.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
3 supiso.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
4 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
5 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  C  C_  A )
64, 5supisolem 6861 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  x  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R
z ) )  <->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
7 isof1o 5674 . . . . . . . 8  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  F : A -1-1-onto-> B
)
8 f1of 5333 . . . . . . . 8  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A
--> B )
94, 7, 83syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  F : A --> B )
109ffvelrnda 5521 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  B )
11 breq1 3900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  (
u S w  <->  ( F `  x ) S w ) )
1211notbid 639 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  ( -.  u S w  <->  -.  ( F `  x ) S w ) )
1312ralbidv 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  <->  A. w  e.  ( F " C
)  -.  ( F `
 x ) S w ) )
14 breq2 3901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  (
w S u  <->  w S
( F `  x
) ) )
1514imbi1d 230 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  (
( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v )  <-> 
( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v ) ) )
1615ralbidv 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  ( A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v )  <->  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v ) ) )
1713, 16anbi12d 462 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  (
( A. w  e.  ( F " C
)  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) )  <->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
1817rspcev 2761 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  B  /\  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x
)  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) )
1918ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( F `  x )  e.  B  ->  (
( A. w  e.  ( F " C
)  -.  ( F `
 x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
2010, 19syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  x  e.  A )  ->  (
( A. w  e.  ( F " C
)  -.  ( F `
 x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
216, 20sylbid 149 . . . 4  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  x  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R
z ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
2221rexlimdva 2524 . . 3  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
232, 3, 22syl2anc 406 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
241, 23mpd 13 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   E.wrex 2392    C_ wss 3039   class class class wbr 3897   "cima 4510   -->wf 5087   -1-1-onto->wf1o 5090   ` cfv 5091    Isom wiso 5092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-sbc 2881  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100
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