Theorem supisoex 6949

Description: Lemma for supisoti 6950. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
supiso.1	|- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
supiso.2	|- ( ph -> C C_ A )
supisoex.3	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
supisoex	|- ( ph -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, w, x, y, z, A   u, C, v, w, x, y, z   ph, u, w   u, F, v, w, x, y, z   u, R, w, x, y, z   u, S, v, w, x, y, z   u, B, v, w, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, v)   R( v)

Proof of Theorem supisoex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supisoex.3	. 2 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )
2		supiso.1	. . 3 |- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
3		supiso.2	. . 3 |- ( ph -> C C_ A )
4		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> F Isom R , S ( A , B ) )
5		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> C C_ A )
6	4, 5	supisolem 6948	. . . . 5 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ x e. A ) -> ( ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
7		isof1o 5754	. . . . . . . 8 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
8		f1of 5413	. . . . . . . 8 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
9	4, 7, 8	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> F : A --> B )
10	9	ffvelrnda 5601	. . . . . 6 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. B )
11		breq1 3968	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( F ` x ) -> ( u S w <-> ( F ` x ) S w ) )
12	11	notbid 657	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( F ` x ) -> ( -. u S w <-> -. ( F ` x ) S w ) )
13	12	ralbidv 2457	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( F ` x ) -> ( A. w e. ( F " C ) -. u S w <-> A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w ) )
14		breq2 3969	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( F ` x ) -> ( w S u <-> w S ( F ` x ) ) )
15	14	imbi1d 230	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( F ` x ) -> ( ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) <-> ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
16	15	ralbidv 2457	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( F ` x ) -> ( A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) <-> A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
17	13, 16	anbi12d 465	. . . . . . . 8 |- ( u = ( F ` x ) -> ( ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
18	17	rspcev 2816	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` x ) e. B /\ ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
19	18	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( F ` x ) e. B -> ( ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
20	10, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ x e. A ) -> ( ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
21	6, 20	sylbid 149	. . . 4 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ x e. A ) -> ( ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
22	21	rexlimdva 2574	. . 3 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> ( E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
23	2, 3, 22	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
24	1, 23	mpd 13	1 |- ( ph -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   C_ wss 3102   class class class wbr 3965   "cima 4588   -->wf 5165   -1-1-onto->wf1o 5168   ` cfv 5169   Isom wiso 5170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178

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