Theorem supisoex 7313

Description: Lemma for supisoti 7314. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
supiso.1	|- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
supiso.2	|- ( ph -> C C_ A )
supisoex.3	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
supisoex	|- ( ph -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, w, x, y, z, A   u, C, v, w, x, y, z   ph, u, w   u, F, v, w, x, y, z   u, R, w, x, y, z   u, S, v, w, x, y, z   u, B, v, w, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, v)   R( v)

Proof of Theorem supisoex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supisoex.3	. 2 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )
2		supiso.1	. . 3 |- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
3		supiso.2	. . 3 |- ( ph -> C C_ A )
4		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> F Isom R , S ( A , B ) )
5		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> C C_ A )
6	4, 5	supisolem 7312	. . . . 5 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ x e. A ) -> ( ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
7		isof1o 5986	. . . . . . . 8 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
8		f1of 5619	. . . . . . . 8 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
9	4, 7, 8	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> F : A --> B )
10	9	ffvelcdmda 5817	. . . . . 6 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. B )
11		breq1 4117	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( F ` x ) -> ( u S w <-> ( F ` x ) S w ) )
12	11	notbid 673	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( F ` x ) -> ( -. u S w <-> -. ( F ` x ) S w ) )
13	12	ralbidv 2544	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( F ` x ) -> ( A. w e. ( F " C ) -. u S w <-> A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w ) )
14		breq2 4118	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( F ` x ) -> ( w S u <-> w S ( F ` x ) ) )
15	14	imbi1d 231	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( F ` x ) -> ( ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) <-> ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
16	15	ralbidv 2544	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( F ` x ) -> ( A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) <-> A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
17	13, 16	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( u = ( F ` x ) -> ( ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
18	17	rspcev 2923	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` x ) e. B /\ ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
19	18	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( F ` x ) e. B -> ( ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
20	10, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ x e. A ) -> ( ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
21	6, 20	sylbid 150	. . . 4 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ x e. A ) -> ( ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
22	21	rexlimdva 2662	. . 3 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> ( E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
23	2, 3, 22	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
24	1, 23	mpd 13	1 |- ( ph -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   C_ wss 3214   class class class wbr 4114   "cima 4757   -->wf 5353   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357   Isom wiso 5358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366

This theorem is referenced by: (None)