Theorem supisoex 6986

Description: Lemma for supisoti 6987. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
supiso.1	|- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
supiso.2	|- ( ph -> C C_ A )
supisoex.3	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
supisoex	|- ( ph -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, w, x, y, z, A   u, C, v, w, x, y, z   ph, u, w   u, F, v, w, x, y, z   u, R, w, x, y, z   u, S, v, w, x, y, z   u, B, v, w, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, v)   R( v)

Proof of Theorem supisoex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supisoex.3	. 2 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )
2		supiso.1	. . 3 |- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
3		supiso.2	. . 3 |- ( ph -> C C_ A )
4		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> F Isom R , S ( A , B ) )
5		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> C C_ A )
6	4, 5	supisolem 6985	. . . . 5 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ x e. A ) -> ( ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
7		isof1o 5786	. . . . . . . 8 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
8		f1of 5442	. . . . . . . 8 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
9	4, 7, 8	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> F : A --> B )
10	9	ffvelrnda 5631	. . . . . 6 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. B )
11		breq1 3992	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( F ` x ) -> ( u S w <-> ( F ` x ) S w ) )
12	11	notbid 662	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( F ` x ) -> ( -. u S w <-> -. ( F ` x ) S w ) )
13	12	ralbidv 2470	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( F ` x ) -> ( A. w e. ( F " C ) -. u S w <-> A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w ) )
14		breq2 3993	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( F ` x ) -> ( w S u <-> w S ( F ` x ) ) )
15	14	imbi1d 230	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( F ` x ) -> ( ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) <-> ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
16	15	ralbidv 2470	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( F ` x ) -> ( A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) <-> A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
17	13, 16	anbi12d 470	. . . . . . . 8 |- ( u = ( F ` x ) -> ( ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
18	17	rspcev 2834	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` x ) e. B /\ ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
19	18	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( F ` x ) e. B -> ( ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
20	10, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ x e. A ) -> ( ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
21	6, 20	sylbid 149	. . . 4 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ x e. A ) -> ( ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
22	21	rexlimdva 2587	. . 3 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> ( E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
23	2, 3, 22	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
24	1, 23	mpd 13	1 |- ( ph -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   "cima 4614   -->wf 5194   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198   Isom wiso 5199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207

This theorem is referenced by: (None)