Theorem supisolem 7206

Description: Lemma for supisoti 7208. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
supiso.1	|- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
supiso.2	|- ( ph -> C C_ A )

Assertion

Ref	Expression
supisolem	|- ( ( ph /\ D e. A ) -> ( ( A. y e. C -. D R y /\ A. y e. A ( y R D -> E. z e. C y R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, v, y, z, A   v, C, w, y, z   w, D, y, z   ph, w   v, F, w, y, z   w, R, y, z   v, S, w, y, z   v, B, w, y, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z, v)   D( v)   R( v)

Proof of Theorem supisolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supiso.1	. . 3 |- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
2		supiso.2	. . 3 |- ( ph -> C C_ A )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) )
4		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> F Isom R , S ( A , B ) )
5	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. C ) -> F Isom R , S ( A , B ) )
6		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. C ) -> D e. A )
7		simplr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> C C_ A )
8	7	sselda 3227	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. C ) -> y e. A )
9		isorel 5948	. . . . . . 7 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( D e. A /\ y e. A ) ) -> ( D R y <-> ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
10	5, 6, 8, 9	syl12anc 1271	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. C ) -> ( D R y <-> ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
11	10	notbid 673	. . . . 5 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. C ) -> ( -. D R y <-> -. ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
12	11	ralbidva 2528	. . . 4 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. y e. C -. D R y <-> A. y e. C -. ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
13		isof1o 5947	. . . . . . 7 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
14	4, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> F : A -1-1-onto-> B )
15		f1ofn 5584	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F Fn A )
16	14, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> F Fn A )
17		breq2 4092	. . . . . . 7 |- ( w = ( F ` y ) -> ( ( F ` D ) S w <-> ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
18	17	notbid 673	. . . . . 6 |- ( w = ( F ` y ) -> ( -. ( F ` D ) S w <-> -. ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
19	18	ralima 5895	. . . . 5 |- ( ( F Fn A /\ C C_ A ) -> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w <-> A. y e. C -. ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
20	16, 7, 19	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w <-> A. y e. C -. ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
21	12, 20	bitr4d 191	. . 3 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. y e. C -. D R y <-> A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w ) )
22	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> F Isom R , S ( A , B ) )
23		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> y e. A )
24		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> D e. A )
25		isorel 5948	. . . . . . 7 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( y e. A /\ D e. A ) ) -> ( y R D <-> ( F ` y ) S ( F ` D ) ) )
26	22, 23, 24, 25	syl12anc 1271	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> ( y R D <-> ( F ` y ) S ( F ` D ) ) )
27	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) /\ z e. C ) -> F Isom R , S ( A , B ) )
28		simplr 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) /\ z e. C ) -> y e. A )
29	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> C C_ A )
30	29	sselda 3227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) /\ z e. C ) -> z e. A )
31		isorel 5948	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> ( y R z <-> ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
32	27, 28, 30, 31	syl12anc 1271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) /\ z e. C ) -> ( y R z <-> ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
33	32	rexbidva 2529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> ( E. z e. C y R z <-> E. z e. C ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
34	16	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> F Fn A )
35		breq2 4092	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( F ` z ) -> ( ( F ` y ) S v <-> ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
36	35	rexima 5894	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn A /\ C C_ A ) -> ( E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v <-> E. z e. C ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
37	34, 29, 36	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> ( E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v <-> E. z e. C ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
38	33, 37	bitr4d 191	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> ( E. z e. C y R z <-> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) )
39	26, 38	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( y R D -> E. z e. C y R z ) <-> ( ( F ` y ) S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) ) )
40	39	ralbidva 2528	. . . 4 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. y e. A ( y R D -> E. z e. C y R z ) <-> A. y e. A ( ( F ` y ) S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) ) )
41		f1ofo 5590	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -onto-> B )
42		breq1 4091	. . . . . . 7 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( F ` y ) S ( F ` D ) <-> w S ( F ` D ) ) )
43		breq1 4091	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( F ` y ) S v <-> w S v ) )
44	43	rexbidv 2533	. . . . . . 7 |- ( ( F ` y ) = w -> ( E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v <-> E. v e. ( F " C ) w S v ) )
45	42, 44	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( ( F ` y ) S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) <-> ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
46	45	cbvfo 5925	. . . . 5 |- ( F : A -onto-> B -> ( A. y e. A ( ( F ` y ) S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) <-> A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
47	14, 41, 46	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. y e. A ( ( F ` y ) S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) <-> A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
48	40, 47	bitrd 188	. . 3 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. y e. A ( y R D -> E. z e. C y R z ) <-> A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
49	21, 48	anbi12d 473	. 2 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( ( A. y e. C -. D R y /\ A. y e. A ( y R D -> E. z e. C y R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
50	3, 49	sylan 283	1 |- ( ( ph /\ D e. A ) -> ( ( A. y e. C -. D R y /\ A. y e. A ( y R D -> E. z e. C y R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   "cima 4728   Fn wfn 5321   -onto->wfo 5324   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326   Isom wiso 5327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335

This theorem is referenced by:  supisoex  7207  supisoti  7208