Theorem supisolem 7069

Description: Lemma for supisoti 7071. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
supiso.1	|- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
supiso.2	|- ( ph -> C C_ A )

Assertion

Ref	Expression
supisolem	|- ( ( ph /\ D e. A ) -> ( ( A. y e. C -. D R y /\ A. y e. A ( y R D -> E. z e. C y R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, v, y, z, A   v, C, w, y, z   w, D, y, z   ph, w   v, F, w, y, z   w, R, y, z   v, S, w, y, z   v, B, w, y, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z, v)   D( v)   R( v)

Proof of Theorem supisolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supiso.1	. . 3 |- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
2		supiso.2	. . 3 |- ( ph -> C C_ A )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) )
4		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> F Isom R , S ( A , B ) )
5	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. C ) -> F Isom R , S ( A , B ) )
6		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. C ) -> D e. A )
7		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> C C_ A )
8	7	sselda 3180	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. C ) -> y e. A )
9		isorel 5852	. . . . . . 7 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( D e. A /\ y e. A ) ) -> ( D R y <-> ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
10	5, 6, 8, 9	syl12anc 1247	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. C ) -> ( D R y <-> ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
11	10	notbid 668	. . . . 5 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. C ) -> ( -. D R y <-> -. ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
12	11	ralbidva 2490	. . . 4 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. y e. C -. D R y <-> A. y e. C -. ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
13		isof1o 5851	. . . . . . 7 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
14	4, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> F : A -1-1-onto-> B )
15		f1ofn 5502	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F Fn A )
16	14, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> F Fn A )
17		breq2 4034	. . . . . . 7 |- ( w = ( F ` y ) -> ( ( F ` D ) S w <-> ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
18	17	notbid 668	. . . . . 6 |- ( w = ( F ` y ) -> ( -. ( F ` D ) S w <-> -. ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
19	18	ralima 5799	. . . . 5 |- ( ( F Fn A /\ C C_ A ) -> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w <-> A. y e. C -. ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
20	16, 7, 19	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w <-> A. y e. C -. ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
21	12, 20	bitr4d 191	. . 3 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. y e. C -. D R y <-> A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w ) )
22	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> F Isom R , S ( A , B ) )
23		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> y e. A )
24		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> D e. A )
25		isorel 5852	. . . . . . 7 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( y e. A /\ D e. A ) ) -> ( y R D <-> ( F ` y ) S ( F ` D ) ) )
26	22, 23, 24, 25	syl12anc 1247	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> ( y R D <-> ( F ` y ) S ( F ` D ) ) )
27	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) /\ z e. C ) -> F Isom R , S ( A , B ) )
28		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) /\ z e. C ) -> y e. A )
29	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> C C_ A )
30	29	sselda 3180	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) /\ z e. C ) -> z e. A )
31		isorel 5852	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> ( y R z <-> ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
32	27, 28, 30, 31	syl12anc 1247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) /\ z e. C ) -> ( y R z <-> ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
33	32	rexbidva 2491	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> ( E. z e. C y R z <-> E. z e. C ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
34	16	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> F Fn A )
35		breq2 4034	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( F ` z ) -> ( ( F ` y ) S v <-> ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
36	35	rexima 5798	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn A /\ C C_ A ) -> ( E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v <-> E. z e. C ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
37	34, 29, 36	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> ( E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v <-> E. z e. C ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
38	33, 37	bitr4d 191	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> ( E. z e. C y R z <-> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) )
39	26, 38	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( y R D -> E. z e. C y R z ) <-> ( ( F ` y ) S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) ) )
40	39	ralbidva 2490	. . . 4 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. y e. A ( y R D -> E. z e. C y R z ) <-> A. y e. A ( ( F ` y ) S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) ) )
41		f1ofo 5508	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -onto-> B )
42		breq1 4033	. . . . . . 7 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( F ` y ) S ( F ` D ) <-> w S ( F ` D ) ) )
43		breq1 4033	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( F ` y ) S v <-> w S v ) )
44	43	rexbidv 2495	. . . . . . 7 |- ( ( F ` y ) = w -> ( E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v <-> E. v e. ( F " C ) w S v ) )
45	42, 44	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( ( F ` y ) S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) <-> ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
46	45	cbvfo 5829	. . . . 5 |- ( F : A -onto-> B -> ( A. y e. A ( ( F ` y ) S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) <-> A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
47	14, 41, 46	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. y e. A ( ( F ` y ) S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) <-> A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
48	40, 47	bitrd 188	. . 3 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. y e. A ( y R D -> E. z e. C y R z ) <-> A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
49	21, 48	anbi12d 473	. 2 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( ( A. y e. C -. D R y /\ A. y e. A ( y R D -> E. z e. C y R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
50	3, 49	sylan 283	1 |- ( ( ph /\ D e. A ) -> ( ( A. y e. C -. D R y /\ A. y e. A ( y R D -> E. z e. C y R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   C_ wss 3154   class class class wbr 4030   "cima 4663   Fn wfn 5250   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255   Isom wiso 5256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264

This theorem is referenced by:  supisoex  7070  supisoti  7071