Theorem supisolem 6985

Description: Lemma for supisoti 6987. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
supiso.1	|- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
supiso.2	|- ( ph -> C C_ A )

Assertion

Ref	Expression
supisolem	|- ( ( ph /\ D e. A ) -> ( ( A. y e. C -. D R y /\ A. y e. A ( y R D -> E. z e. C y R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, v, y, z, A   v, C, w, y, z   w, D, y, z   ph, w   v, F, w, y, z   w, R, y, z   v, S, w, y, z   v, B, w, y, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z, v)   D( v)   R( v)

Proof of Theorem supisolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supiso.1	. . 3 |- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
2		supiso.2	. . 3 |- ( ph -> C C_ A )
3	1, 2	jca 304	. 2 |- ( ph -> ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) )
4		simpll 524	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> F Isom R , S ( A , B ) )
5	4	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. C ) -> F Isom R , S ( A , B ) )
6		simplr 525	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. C ) -> D e. A )
7		simplr 525	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> C C_ A )
8	7	sselda 3147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. C ) -> y e. A )
9		isorel 5787	. . . . . . 7 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( D e. A /\ y e. A ) ) -> ( D R y <-> ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
10	5, 6, 8, 9	syl12anc 1231	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. C ) -> ( D R y <-> ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
11	10	notbid 662	. . . . 5 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. C ) -> ( -. D R y <-> -. ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
12	11	ralbidva 2466	. . . 4 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. y e. C -. D R y <-> A. y e. C -. ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
13		isof1o 5786	. . . . . . 7 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
14	4, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> F : A -1-1-onto-> B )
15		f1ofn 5443	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F Fn A )
16	14, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> F Fn A )
17		breq2 3993	. . . . . . 7 |- ( w = ( F ` y ) -> ( ( F ` D ) S w <-> ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
18	17	notbid 662	. . . . . 6 |- ( w = ( F ` y ) -> ( -. ( F ` D ) S w <-> -. ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
19	18	ralima 5735	. . . . 5 |- ( ( F Fn A /\ C C_ A ) -> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w <-> A. y e. C -. ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
20	16, 7, 19	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w <-> A. y e. C -. ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
21	12, 20	bitr4d 190	. . 3 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. y e. C -. D R y <-> A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w ) )
22	4	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> F Isom R , S ( A , B ) )
23		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> y e. A )
24		simplr 525	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> D e. A )
25		isorel 5787	. . . . . . 7 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( y e. A /\ D e. A ) ) -> ( y R D <-> ( F ` y ) S ( F ` D ) ) )
26	22, 23, 24, 25	syl12anc 1231	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> ( y R D <-> ( F ` y ) S ( F ` D ) ) )
27	22	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) /\ z e. C ) -> F Isom R , S ( A , B ) )
28		simplr 525	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) /\ z e. C ) -> y e. A )
29	7	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> C C_ A )
30	29	sselda 3147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) /\ z e. C ) -> z e. A )
31		isorel 5787	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> ( y R z <-> ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
32	27, 28, 30, 31	syl12anc 1231	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) /\ z e. C ) -> ( y R z <-> ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
33	32	rexbidva 2467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> ( E. z e. C y R z <-> E. z e. C ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
34	16	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> F Fn A )
35		breq2 3993	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( F ` z ) -> ( ( F ` y ) S v <-> ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
36	35	rexima 5734	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn A /\ C C_ A ) -> ( E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v <-> E. z e. C ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
37	34, 29, 36	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> ( E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v <-> E. z e. C ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
38	33, 37	bitr4d 190	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> ( E. z e. C y R z <-> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) )
39	26, 38	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( y R D -> E. z e. C y R z ) <-> ( ( F ` y ) S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) ) )
40	39	ralbidva 2466	. . . 4 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. y e. A ( y R D -> E. z e. C y R z ) <-> A. y e. A ( ( F ` y ) S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) ) )
41		f1ofo 5449	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -onto-> B )
42		breq1 3992	. . . . . . 7 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( F ` y ) S ( F ` D ) <-> w S ( F ` D ) ) )
43		breq1 3992	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( F ` y ) S v <-> w S v ) )
44	43	rexbidv 2471	. . . . . . 7 |- ( ( F ` y ) = w -> ( E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v <-> E. v e. ( F " C ) w S v ) )
45	42, 44	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( ( F ` y ) S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) <-> ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
46	45	cbvfo 5764	. . . . 5 |- ( F : A -onto-> B -> ( A. y e. A ( ( F ` y ) S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) <-> A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
47	14, 41, 46	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. y e. A ( ( F ` y ) S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) <-> A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
48	40, 47	bitrd 187	. . 3 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. y e. A ( y R D -> E. z e. C y R z ) <-> A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
49	21, 48	anbi12d 470	. 2 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( ( A. y e. C -. D R y /\ A. y e. A ( y R D -> E. z e. C y R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
50	3, 49	sylan 281	1 |- ( ( ph /\ D e. A ) -> ( ( A. y e. C -. D R y /\ A. y e. A ( y R D -> E. z e. C y R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   "cima 4614   Fn wfn 5193   -onto->wfo 5196   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198   Isom wiso 5199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207

This theorem is referenced by:  supisoex  6986  supisoti  6987