Theorem suppeqfsuppbi 7295

Description: If two functions have the same support, one function is finitely supported iff the other one is finitely supported. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppeqfsuppbi	⊢ (((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺)) → ((𝐹 supp 𝑍) = (𝐺 supp 𝑍) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ 𝐺 finSupp 𝑍)))

Proof of Theorem suppeqfsuppbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfsupp 7287	. . . . 5 ⊢ Rel finSupp
2	1	brrelex2i 4819	. . . 4 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺)) ∧ (𝐹 supp 𝑍) = (𝐺 supp 𝑍)) → (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V))
4	1	brrelex2i 4819	. . . 4 ⊢ (𝐺 finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
5	4	a1i 9	. . 3 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺)) ∧ (𝐹 supp 𝑍) = (𝐺 supp 𝑍)) → (𝐺 finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V))
6		simprlr 544	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺))) → Fun 𝐹)
7		simprll 543	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺))) → 𝐹 ∈ 𝑈)
8		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺))) → 𝑍 ∈ V)
9		funisfsupp 7291	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑈 ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺))) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
11	10	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ ((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺))) ∧ (𝐹 supp 𝑍) = (𝐺 supp 𝑍)) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
12		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) → Fun 𝐺)
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ 𝑍 ∈ V) → Fun 𝐺)
14		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) → 𝐺 ∈ 𝑉)
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐺 ∈ 𝑉)
16		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑍 ∈ V)
17		funisfsupp 7291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
18	13, 15, 16, 17	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
19	18	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) → (𝑍 ∈ V → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)))
20	19	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺)) → (𝑍 ∈ V → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)))
21	20	impcom 125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺))) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
22		eleq1 2301	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 supp 𝑍) = (𝐺 supp 𝑍) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
23	22	bicomd 141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 supp 𝑍) = (𝐺 supp 𝑍) → ((𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
24	21, 23	sylan9bb 466	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ ((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺))) ∧ (𝐹 supp 𝑍) = (𝐺 supp 𝑍)) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
25	11, 24	bitr4d 191	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ ((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺))) ∧ (𝐹 supp 𝑍) = (𝐺 supp 𝑍)) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ 𝐺 finSupp 𝑍))
26	25	expl 378	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ V → ((((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺)) ∧ (𝐹 supp 𝑍) = (𝐺 supp 𝑍)) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ 𝐺 finSupp 𝑍)))
27	26	com12 30	. . 3 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺)) ∧ (𝐹 supp 𝑍) = (𝐺 supp 𝑍)) → (𝑍 ∈ V → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ 𝐺 finSupp 𝑍)))
28	3, 5, 27	pm5.21ndd 717	. 2 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺)) ∧ (𝐹 supp 𝑍) = (𝐺 supp 𝑍)) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ 𝐺 finSupp 𝑍))
29	28	ex 115	1 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺)) → ((𝐹 supp 𝑍) = (𝐺 supp 𝑍) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ 𝐺 finSupp 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   class class class wbr 4130  Fun wfun 5371  (class class class)co 6085   supp csupp 6475  Fincfn 7022   finSupp cfsupp 7285

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-fsupp 7286

This theorem is used by: (None)