Theorem tfrcllemssrecs 6627

Description: Lemma for tfrcl 6639. The union of functions acceptable for tfrcl 6639 is a subset of recs. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcllemssrecs.1	|- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfrcllemssrecs.x	|- ( ph -> Ord X )

Assertion

Ref	Expression
tfrcllemssrecs	|- ( ph -> U. A C_ recs ( G ) )

Distinct variable groups:   f, G, x, y   x, X   ph, f

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y, f)   S( x, y, f)   X( y, f)

Proof of Theorem tfrcllemssrecs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcllemssrecs.1	. . . 4 |- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
2		tfrcllemssrecs.x	. . . . . 6 |- ( ph -> Ord X )
3		ordsson 4641	. . . . . 6 |- ( Ord X -> X C_ On )
4		ssrexv 3313	. . . . . 6 |- ( X C_ On -> ( E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) -> E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) ) )
5	2, 3, 4	3syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) -> E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) ) )
6	5	ss2abdv 3321	. . . 4 |- ( ph -> { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) } C_ { f | E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) } )
7	1, 6	eqsstrid 3294	. . 3 |- ( ph -> A C_ { f | E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) } )
8	7	unissd 3959	. 2 |- ( ph -> U. A C_ U. { f | E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) } )
9		ffn 5536	. . . . . . 7 |- ( f : x --> S -> f Fn x )
10	9	anim1i 340	. . . . . 6 |- ( ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) -> ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) )
11	10	reximi 2647	. . . . 5 |- ( E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) -> E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) )
12	11	ss2abi 3320	. . . 4 |- { f | E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) } C_ { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
13	12	unissi 3958	. . 3 |- U. { f | E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) } C_ U. { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
14		df-recs 6580	. . 3 |- recs ( G ) = U. { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
15	13, 14	sseqtrri 3283	. 2 |- U. { f | E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) } C_ recs ( G )
16	8, 15	sstrdi 3260	1 |- ( ph -> U. A C_ recs ( G ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   {cab 2224   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220   U.cuni 3935   Ord word 4509   Oncon0 4510   |` cres 4778   Fn wfn 5375   -->wf 5376   ` cfv 5380  recscrecs 6579

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-uni 3936  df-tr 4232  df-iord 4513  df-on 4515  df-f 5384  df-recs 6580

This theorem is used by:  tfrcllembfn  6632  tfrcllemubacc  6634  tfrcllemres  6637