Theorem tfrcllemssrecs 6405

Description: Lemma for tfrcl 6417. The union of functions acceptable for tfrcl 6417 is a subset of recs. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcllemssrecs.1	|- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfrcllemssrecs.x	|- ( ph -> Ord X )

Assertion

Ref	Expression
tfrcllemssrecs	|- ( ph -> U. A C_ recs ( G ) )

Distinct variable groups:   f, G, x, y   x, X   ph, f

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y, f)   S( x, y, f)   X( y, f)

Proof of Theorem tfrcllemssrecs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcllemssrecs.1	. . . 4 |- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
2		tfrcllemssrecs.x	. . . . . 6 |- ( ph -> Ord X )
3		ordsson 4524	. . . . . 6 |- ( Ord X -> X C_ On )
4		ssrexv 3244	. . . . . 6 |- ( X C_ On -> ( E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) -> E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) ) )
5	2, 3, 4	3syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) -> E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) ) )
6	5	ss2abdv 3252	. . . 4 |- ( ph -> { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) } C_ { f | E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) } )
7	1, 6	eqsstrid 3225	. . 3 |- ( ph -> A C_ { f | E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) } )
8	7	unissd 3859	. 2 |- ( ph -> U. A C_ U. { f | E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) } )
9		ffn 5403	. . . . . . 7 |- ( f : x --> S -> f Fn x )
10	9	anim1i 340	. . . . . 6 |- ( ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) -> ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) )
11	10	reximi 2591	. . . . 5 |- ( E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) -> E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) )
12	11	ss2abi 3251	. . . 4 |- { f | E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) } C_ { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
13	12	unissi 3858	. . 3 |- U. { f | E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) } C_ U. { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
14		df-recs 6358	. . 3 |- recs ( G ) = U. { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
15	13, 14	sseqtrri 3214	. 2 |- U. { f | E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) } C_ recs ( G )
16	8, 15	sstrdi 3191	1 |- ( ph -> U. A C_ recs ( G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   {cab 2179   A.wral 2472   E.wrex 2473   C_ wss 3153   U.cuni 3835   Ord word 4393   Oncon0 4394   |` cres 4661   Fn wfn 5249   -->wf 5250   ` cfv 5254  recscrecs 6357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-in 3159  df-ss 3166  df-uni 3836  df-tr 4128  df-iord 4397  df-on 4399  df-f 5258  df-recs 6358

This theorem is referenced by:  tfrcllembfn  6410  tfrcllemubacc  6412  tfrcllemres  6415