Theorem tfrcllemssrecs 6249

Description: Lemma for tfrcl 6261. The union of functions acceptable for tfrcl 6261 is a subset of recs. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcllemssrecs.1	|- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfrcllemssrecs.x	|- ( ph -> Ord X )

Assertion

Ref	Expression
tfrcllemssrecs	|- ( ph -> U. A C_ recs ( G ) )

Distinct variable groups:   f, G, x, y   x, X   ph, f

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y, f)   S( x, y, f)   X( y, f)

Proof of Theorem tfrcllemssrecs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcllemssrecs.1	. . . 4 |- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
2		tfrcllemssrecs.x	. . . . . 6 |- ( ph -> Ord X )
3		ordsson 4408	. . . . . 6 |- ( Ord X -> X C_ On )
4		ssrexv 3162	. . . . . 6 |- ( X C_ On -> ( E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) -> E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) ) )
5	2, 3, 4	3syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) -> E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) ) )
6	5	ss2abdv 3170	. . . 4 |- ( ph -> { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) } C_ { f | E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) } )
7	1, 6	eqsstrid 3143	. . 3 |- ( ph -> A C_ { f | E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) } )
8	7	unissd 3760	. 2 |- ( ph -> U. A C_ U. { f | E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) } )
9		ffn 5272	. . . . . . 7 |- ( f : x --> S -> f Fn x )
10	9	anim1i 338	. . . . . 6 |- ( ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) -> ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) )
11	10	reximi 2529	. . . . 5 |- ( E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) -> E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) )
12	11	ss2abi 3169	. . . 4 |- { f | E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) } C_ { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
13	12	unissi 3759	. . 3 |- U. { f | E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) } C_ U. { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
14		df-recs 6202	. . 3 |- recs ( G ) = U. { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
15	13, 14	sseqtrri 3132	. 2 |- U. { f | E. x e. On ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) } C_ recs ( G )
16	8, 15	sstrdi 3109	1 |- ( ph -> U. A C_ recs ( G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   {cab 2125   A.wral 2416   E.wrex 2417   C_ wss 3071   U.cuni 3736   Ord word 4284   Oncon0 4285   |` cres 4541   Fn wfn 5118   -->wf 5119   ` cfv 5123  recscrecs 6201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084  df-uni 3737  df-tr 4027  df-iord 4288  df-on 4290  df-f 5127  df-recs 6202

This theorem is referenced by:  tfrcllembfn  6254  tfrcllemubacc  6256  tfrcllemres  6259