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Theorem tfrcl 6111
Description: Closure for transfinite recursion. As with tfr1on 6097, the characteristic function must be defined up to a suitable point, not necessarily on all ordinals. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f  |-  F  = recs ( G )
tfrcl.g  |-  ( ph  ->  Fun  G )
tfrcl.x  |-  ( ph  ->  Ord  X )
tfrcl.ex  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
tfrcl.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
tfrcl.yx  |-  ( ph  ->  Y  e.  U. X
)
Assertion
Ref Expression
tfrcl  |-  ( ph  ->  ( F `  Y
)  e.  S )
Distinct variable groups:    f, F, x   
f, G, x    S, f, x    f, X, x    ph, f, x
Allowed substitution hints:    Y( x, f)

Proof of Theorem tfrcl
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfrcl.x . . . 4  |-  ( ph  ->  Ord  X )
2 orduni 4302 . . . 4  |-  ( Ord 
X  ->  Ord  U. X
)
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  Ord  U. X )
4 tfrcl.yx . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  U. X
)
5 ordelon 4201 . . 3  |-  ( ( Ord  U. X  /\  Y  e.  U. X )  ->  Y  e.  On )
63, 4, 5syl2anc 403 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  On )
74ancli 316 . 2  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  Y  e.  U. X ) )
8 eleq1 2150 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
w  e.  U. X  <->  k  e.  U. X ) )
98anbi2d 452 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  /\  w  e.  U. X )  <->  ( ph  /\  k  e.  U. X
) ) )
10 fveq2 5289 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  ( F `  w )  =  ( F `  k ) )
1110eleq1d 2156 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  (
( F `  w
)  e.  S  <->  ( F `  k )  e.  S
) )
129, 11imbi12d 232 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( ph  /\  w  e.  U. X )  ->  ( F `  w )  e.  S
)  <->  ( ( ph  /\  k  e.  U. X
)  ->  ( F `  k )  e.  S
) ) )
13 eleq1 2150 . . . . 5  |-  ( w  =  Y  ->  (
w  e.  U. X  <->  Y  e.  U. X ) )
1413anbi2d 452 . . . 4  |-  ( w  =  Y  ->  (
( ph  /\  w  e.  U. X )  <->  ( ph  /\  Y  e.  U. X
) ) )
15 fveq2 5289 . . . . 5  |-  ( w  =  Y  ->  ( F `  w )  =  ( F `  Y ) )
1615eleq1d 2156 . . . 4  |-  ( w  =  Y  ->  (
( F `  w
)  e.  S  <->  ( F `  Y )  e.  S
) )
1714, 16imbi12d 232 . . 3  |-  ( w  =  Y  ->  (
( ( ph  /\  w  e.  U. X )  ->  ( F `  w )  e.  S
)  <->  ( ( ph  /\  Y  e.  U. X
)  ->  ( F `  Y )  e.  S
) ) )
18 tfrcl.f . . . . . . 7  |-  F  = recs ( G )
19 tfrcl.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Fun  G )
2019ad2antrl 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  On  /\ 
A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S
) )  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  ->  Fun  G )
211ad2antrl 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  On  /\ 
A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S
) )  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  ->  Ord  X )
22 tfrcl.ex . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
23223adant1r 1167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  U. X )  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S
)
24233adant1l 1166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( w  e.  On  /\  A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S ) )  /\  ( ph  /\  w  e. 
U. X ) )  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S
)
25 tfrcl.u . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
2625adantlr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  U. X )  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
2726adantll 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( w  e.  On  /\  A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S ) )  /\  ( ph  /\  w  e. 
U. X ) )  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
28 simprr 499 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  On  /\ 
A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S
) )  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  ->  w  e.  U. X )
2918, 20, 21, 24, 27, 28tfrcldm 6110 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  e.  On  /\ 
A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S
) )  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  ->  w  e.  dom  F )
3018tfr2a 6068 . . . . . 6  |-  ( w  e.  dom  F  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 ( F  |`  w ) ) )
3129, 30syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( w  e.  On  /\ 
A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S
) )  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  -> 
( F `  w
)  =  ( G `
 ( F  |`  w ) ) )
3219ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e. 
U. X ) )  ->  Fun  G )
3332adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  /\  k  e.  w
)  ->  Fun  G )
3433adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X
) )  /\  k  e.  w )  /\  (
( ph  /\  k  e.  U. X )  -> 
( F `  k
)  e.  S ) )  ->  Fun  G )
351ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e. 
U. X ) )  ->  Ord  X )
3635adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  /\  k  e.  w
)  ->  Ord  X )
3736adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X
) )  /\  k  e.  w )  /\  (
( ph  /\  k  e.  U. X )  -> 
( F `  k
)  e.  S ) )  ->  Ord  X )
38 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  /\  k  e.  w
)  ->  ph )
3938, 22syl3an1 1207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X
) )  /\  k  e.  w )  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S
)
40393adant1r 1167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  /\  k  e.  w )  /\  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S
) )  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S
)
4138, 25sylan 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X
) )  /\  k  e.  w )  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
4241adantlr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  /\  k  e.  w )  /\  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S
) )  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
4336, 2syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  /\  k  e.  w
)  ->  Ord  U. X
)
44 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  /\  k  e.  w
)  ->  k  e.  w )
45 simplrr 503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  /\  k  e.  w
)  ->  w  e.  U. X )
4644, 45jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  /\  k  e.  w
)  ->  ( k  e.  w  /\  w  e.  U. X ) )
47 ordtr1 4206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Ord  U. X  ->  ( ( k  e.  w  /\  w  e.  U. X )  ->  k  e.  U. X ) )
4843, 46, 47sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  /\  k  e.  w
)  ->  k  e.  U. X )
4948adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X
) )  /\  k  e.  w )  /\  (
( ph  /\  k  e.  U. X )  -> 
( F `  k
)  e.  S ) )  ->  k  e.  U. X )
5018, 34, 37, 40, 42, 49tfrcldm 6110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X
) )  /\  k  e.  w )  /\  (
( ph  /\  k  e.  U. X )  -> 
( F `  k
)  e.  S ) )  ->  k  e.  dom  F )
5138, 48jca 300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  /\  k  e.  w
)  ->  ( ph  /\  k  e.  U. X
) )
5251imim1i 59 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  -> 
( F `  k
)  e.  S )  ->  ( ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e. 
U. X ) )  /\  k  e.  w
)  ->  ( F `  k )  e.  S
) )
5352impcom 123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X
) )  /\  k  e.  w )  /\  (
( ph  /\  k  e.  U. X )  -> 
( F `  k
)  e.  S ) )  ->  ( F `  k )  e.  S
)
5450, 53jca 300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X
) )  /\  k  e.  w )  /\  (
( ph  /\  k  e.  U. X )  -> 
( F `  k
)  e.  S ) )  ->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  S ) )
5554ex 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  /\  k  e.  w
)  ->  ( (
( ph  /\  k  e.  U. X )  -> 
( F `  k
)  e.  S )  ->  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  S ) ) )
5655ralimdva 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e. 
U. X ) )  ->  ( A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S )  ->  A. k  e.  w  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  S ) ) )
5756imp 122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  e.  On  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  /\  A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X
)  ->  ( F `  k )  e.  S
) )  ->  A. k  e.  w  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  S ) )
5857an32s 535 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  e.  On  /\ 
A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S
) )  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  ->  A. k  e.  w  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  S
) )
59 tfrfun 6067 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun recs ( G )
6018funeqi 5022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  <->  Fun recs ( G ) )
6159, 60mpbir 144 . . . . . . . . . 10  |-  Fun  F
6261a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  e.  On  /\ 
A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S
) )  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  ->  Fun  F )
63 ffvresb 5445 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  ( ( F  |`  w ) : w --> S  <->  A. k  e.  w  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  S ) ) )
6462, 63syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  e.  On  /\ 
A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S
) )  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  -> 
( ( F  |`  w ) : w --> S  <->  A. k  e.  w  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  S
) ) )
6558, 64mpbird 165 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  On  /\ 
A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S
) )  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  -> 
( F  |`  w
) : w --> S )
66 vex 2622 . . . . . . 7  |-  w  e. 
_V
67 fex 5506 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  |`  w
) : w --> S  /\  w  e.  _V )  ->  ( F  |`  w
)  e.  _V )
6865, 66, 67sylancl 404 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  e.  On  /\ 
A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S
) )  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  -> 
( F  |`  w
)  e.  _V )
69 feq2 5132 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
f : x --> S  <->  f :
w --> S ) )
7069imbi1d 229 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
)  <->  ( f : w --> S  ->  ( G `  f )  e.  S ) ) )
7170albidv 1752 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  ( A. f ( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S )  <->  A. f
( f : w --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) ) )
72223expia 1145 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
f : x --> S  -> 
( G `  f
)  e.  S ) )
7372alrimiv 1802 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. f
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) )
7473ralrimiva 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. f ( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S ) )
7574ad2antrl 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  On  /\ 
A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S
) )  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  ->  A. x  e.  X  A. f ( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S ) )
7666sucid 4235 . . . . . . . . . 10  |-  w  e. 
suc  w
7776a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  e.  On  /\ 
A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S
) )  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  ->  w  e.  suc  w )
78 suceq 4220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  suc  x  =  suc  w )
7978eleq1d 2156 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  ( suc  x  e.  X  <->  suc  w  e.  X ) )
8025ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U. X  suc  x  e.  X
)
8180ad2antrl 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  e.  On  /\ 
A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S
) )  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  ->  A. x  e.  U. X  suc  x  e.  X )
8279, 81, 28rspcdva 2727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  e.  On  /\ 
A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S
) )  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  ->  suc  w  e.  X )
8377, 82jca 300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  e.  On  /\ 
A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S
) )  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  -> 
( w  e.  suc  w  /\  suc  w  e.  X ) )
84 ordtr1 4206 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
X  ->  ( (
w  e.  suc  w  /\  suc  w  e.  X
)  ->  w  e.  X ) )
8521, 83, 84sylc 61 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  On  /\ 
A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S
) )  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  ->  w  e.  X )
8671, 75, 85rspcdva 2727 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  e.  On  /\ 
A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S
) )  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  ->  A. f ( f : w --> S  ->  ( G `  f )  e.  S ) )
87 feq1 5131 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( F  |`  w )  ->  (
f : w --> S  <->  ( F  |`  w ) : w --> S ) )
88 fveq2 5289 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( F  |`  w )  ->  ( G `  f )  =  ( G `  ( F  |`  w ) ) )
8988eleq1d 2156 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( F  |`  w )  ->  (
( G `  f
)  e.  S  <->  ( G `  ( F  |`  w
) )  e.  S
) )
9087, 89imbi12d 232 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( F  |`  w )  ->  (
( f : w --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
)  <->  ( ( F  |`  w ) : w --> S  ->  ( G `  ( F  |`  w
) )  e.  S
) ) )
9190spcgv 2706 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  w )  e.  _V  ->  ( A. f ( f : w --> S  ->  ( G `  f )  e.  S )  ->  (
( F  |`  w
) : w --> S  -> 
( G `  ( F  |`  w ) )  e.  S ) ) )
9268, 86, 65, 91syl3c 62 . . . . 5  |-  ( ( ( w  e.  On  /\ 
A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S
) )  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  -> 
( G `  ( F  |`  w ) )  e.  S )
9331, 92eqeltrd 2164 . . . 4  |-  ( ( ( w  e.  On  /\ 
A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S
) )  /\  ( ph  /\  w  e.  U. X ) )  -> 
( F `  w
)  e.  S )
9493exp31 356 . . 3  |-  ( w  e.  On  ->  ( A. k  e.  w  ( ( ph  /\  k  e.  U. X )  ->  ( F `  k )  e.  S
)  ->  ( ( ph  /\  w  e.  U. X )  ->  ( F `  w )  e.  S ) ) )
9512, 17, 94tfis3 4391 . 2  |-  ( Y  e.  On  ->  (
( ph  /\  Y  e. 
U. X )  -> 
( F `  Y
)  e.  S ) )
966, 7, 95sylc 61 1  |-  ( ph  ->  ( F `  Y
)  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924   A.wal 1287    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   _Vcvv 2619   U.cuni 3648   Ord word 4180   Oncon0 4181   suc csuc 4183   dom cdm 4428    |` cres 4430   Fun wfun 4996   -->wf 4998   ` cfv 5002  recscrecs 6051
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-recs 6052
This theorem is referenced by:  rdgon  6133  freccllem  6149  frecfcllem  6151
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