Theorem tfrcl 6269

Description: Closure for transfinite recursion. As with tfr1on 6255, the characteristic function must be defined up to a suitable point, not necessarily on all ordinals. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	|- F = recs ( G )
tfrcl.g	|- ( ph -> Fun G )
tfrcl.x	|- ( ph -> Ord X )
tfrcl.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
tfrcl.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfrcl.yx	|- ( ph -> Y e. U. X )

Assertion

Ref	Expression
tfrcl	|- ( ph -> ( F ` Y ) e. S )

Distinct variable groups:   f, F, x   f, G, x   S, f, x   f, X, x   ph, f, x

Allowed substitution hints:   Y( x, f)

Proof of Theorem tfrcl

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcl.x	. . . 4 |- ( ph -> Ord X )
2		orduni 4419	. . . 4 |- ( Ord X -> Ord U. X )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> Ord U. X )
4		tfrcl.yx	. . 3 |- ( ph -> Y e. U. X )
5		ordelon 4313	. . 3 |- ( ( Ord U. X /\ Y e. U. X ) -> Y e. On )
6	3, 4, 5	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> Y e. On )
7	4	ancli 321	. 2 |- ( ph -> ( ph /\ Y e. U. X ) )
8		eleq1 2203	. . . . 5 |- ( w = k -> ( w e. U. X <-> k e. U. X ) )
9	8	anbi2d 460	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( ph /\ w e. U. X ) <-> ( ph /\ k e. U. X ) ) )
10		fveq2 5429	. . . . 5 |- ( w = k -> ( F ` w ) = ( F ` k ) )
11	10	eleq1d 2209	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( F ` w ) e. S <-> ( F ` k ) e. S ) )
12	9, 11	imbi12d 233	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ( ph /\ w e. U. X ) -> ( F ` w ) e. S ) <-> ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) )
13		eleq1 2203	. . . . 5 |- ( w = Y -> ( w e. U. X <-> Y e. U. X ) )
14	13	anbi2d 460	. . . 4 |- ( w = Y -> ( ( ph /\ w e. U. X ) <-> ( ph /\ Y e. U. X ) ) )
15		fveq2 5429	. . . . 5 |- ( w = Y -> ( F ` w ) = ( F ` Y ) )
16	15	eleq1d 2209	. . . 4 |- ( w = Y -> ( ( F ` w ) e. S <-> ( F ` Y ) e. S ) )
17	14, 16	imbi12d 233	. . 3 |- ( w = Y -> ( ( ( ph /\ w e. U. X ) -> ( F ` w ) e. S ) <-> ( ( ph /\ Y e. U. X ) -> ( F ` Y ) e. S ) ) )
18		tfrcl.f	. . . . . . 7 |- F = recs ( G )
19		tfrcl.g	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Fun G )
20	19	ad2antrl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> Fun G )
21	1	ad2antrl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> Ord X )
22		tfrcl.ex	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
23	22	3adant1r 1210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w e. U. X ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
24	23	3adant1l 1209	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
25		tfrcl.u	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
26	25	adantlr 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w e. U. X ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
27	26	adantll 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
28		simprr 522	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> w e. U. X )
29	18, 20, 21, 24, 27, 28	tfrcldm 6268	. . . . . 6 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> w e. dom F )
30	18	tfr2a 6226	. . . . . 6 |- ( w e. dom F -> ( F ` w ) = ( G ` ( F |` w ) ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( F ` w ) = ( G ` ( F |` w ) ) )
32	19	ad2antrl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> Fun G )
33	32	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> Fun G )
34	33	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) -> Fun G )
35	1	ad2antrl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> Ord X )
36	35	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> Ord X )
37	36	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) -> Ord X )
38		simplrl 525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> ph )
39	38, 22	syl3an1 1250	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
40	39	3adant1r 1210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
41	38, 25	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
42	41	adantlr 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
43	36, 2	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> Ord U. X )
44		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> k e. w )
45		simplrr 526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> w e. U. X )
46	44, 45	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> ( k e. w /\ w e. U. X ) )
47		ordtr1 4318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Ord U. X -> ( ( k e. w /\ w e. U. X ) -> k e. U. X ) )
48	43, 46, 47	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> k e. U. X )
49	48	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) -> k e. U. X )
50	18, 34, 37, 40, 42, 49	tfrcldm 6268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) -> k e. dom F )
51	38, 48	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> ( ph /\ k e. U. X ) )
52	51	imim1i 60	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) -> ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> ( F ` k ) e. S ) )
53	52	impcom 124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) -> ( F ` k ) e. S )
54	50, 53	jca 304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) -> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. S ) )
55	54	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> ( ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) -> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. S ) ) )
56	55	ralimdva 2502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) -> A. k e. w ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. S ) ) )
57	56	imp 123	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) -> A. k e. w ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. S ) )
58	57	an32s 558	. . . . . . . 8 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> A. k e. w ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. S ) )
59		tfrfun 6225	. . . . . . . . . . 11 |- Fun recs ( G )
60	18	funeqi 5152	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun F <-> Fun recs ( G ) )
61	59, 60	mpbir 145	. . . . . . . . . 10 |- Fun F
62	61	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> Fun F )
63		ffvresb 5591	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> ( ( F |` w ) : w --> S <-> A. k e. w ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. S ) ) )
64	62, 63	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( ( F |` w ) : w --> S <-> A. k e. w ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. S ) ) )
65	58, 64	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( F |` w ) : w --> S )
66		vex 2692	. . . . . . 7 |- w e. _V
67		fex 5655	. . . . . . 7 |- ( ( ( F |` w ) : w --> S /\ w e. _V ) -> ( F |` w ) e. _V )
68	65, 66, 67	sylancl 410	. . . . . 6 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( F |` w ) e. _V )
69		feq2 5264	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( f : x --> S <-> f : w --> S ) )
70	69	imbi1d 230	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( f : w --> S -> ( G ` f ) e. S ) ) )
71	70	albidv 1797	. . . . . . 7 |- ( x = w -> ( A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> A. f ( f : w --> S -> ( G ` f ) e. S ) ) )
72	22	3expia 1184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
73	72	alrimiv 1847	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
74	73	ralrimiva 2508	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. X A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
75	74	ad2antrl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> A. x e. X A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
76	66	sucid 4347	. . . . . . . . . 10 |- w e. suc w
77	76	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> w e. suc w )
78		suceq 4332	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> suc x = suc w )
79	78	eleq1d 2209	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( suc x e. X <-> suc w e. X ) )
80	25	ralrimiva 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. U. X suc x e. X )
81	80	ad2antrl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> A. x e. U. X suc x e. X )
82	79, 81, 28	rspcdva 2798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> suc w e. X )
83	77, 82	jca 304	. . . . . . . 8 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( w e. suc w /\ suc w e. X ) )
84		ordtr1 4318	. . . . . . . 8 |- ( Ord X -> ( ( w e. suc w /\ suc w e. X ) -> w e. X ) )
85	21, 83, 84	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> w e. X )
86	71, 75, 85	rspcdva 2798	. . . . . 6 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> A. f ( f : w --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
87		feq1 5263	. . . . . . . 8 |- ( f = ( F |` w ) -> ( f : w --> S <-> ( F |` w ) : w --> S ) )
88		fveq2 5429	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( F |` w ) -> ( G ` f ) = ( G ` ( F |` w ) ) )
89	88	eleq1d 2209	. . . . . . . 8 |- ( f = ( F |` w ) -> ( ( G ` f ) e. S <-> ( G ` ( F |` w ) ) e. S ) )
90	87, 89	imbi12d 233	. . . . . . 7 |- ( f = ( F |` w ) -> ( ( f : w --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( ( F |` w ) : w --> S -> ( G ` ( F |` w ) ) e. S ) ) )
91	90	spcgv 2776	. . . . . 6 |- ( ( F |` w ) e. _V -> ( A. f ( f : w --> S -> ( G ` f ) e. S ) -> ( ( F |` w ) : w --> S -> ( G ` ( F |` w ) ) e. S ) ) )
92	68, 86, 65, 91	syl3c 63	. . . . 5 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( G ` ( F |` w ) ) e. S )
93	31, 92	eqeltrd 2217	. . . 4 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( F ` w ) e. S )
94	93	exp31 362	. . 3 |- ( w e. On -> ( A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) -> ( ( ph /\ w e. U. X ) -> ( F ` w ) e. S ) ) )
95	12, 17, 94	tfis3 4508	. 2 |- ( Y e. On -> ( ( ph /\ Y e. U. X ) -> ( F ` Y ) e. S ) )
96	6, 7, 95	sylc 62	1 |- ( ph -> ( F ` Y ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   A.wal 1330   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   _Vcvv 2689   U.cuni 3744   Ord word 4292   Oncon0 4293   suc csuc 4295   dom cdm 4547   |` cres 4549   Fun wfun 5125   -->wf 5127   ` cfv 5131  recscrecs 6209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-recs 6210

This theorem is referenced by:  rdgon  6291  freccllem  6307  frecfcllem  6309