Theorem tfrcl 6595

Description: Closure for transfinite recursion. As with tfr1on 6581, the characteristic function must be defined up to a suitable point, not necessarily on all ordinals. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	|- F = recs ( G )
tfrcl.g	|- ( ph -> Fun G )
tfrcl.x	|- ( ph -> Ord X )
tfrcl.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
tfrcl.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfrcl.yx	|- ( ph -> Y e. U. X )

Assertion

Ref	Expression
tfrcl	|- ( ph -> ( F ` Y ) e. S )

Distinct variable groups:   f, F, x   f, G, x   S, f, x   f, X, x   ph, f, x

Allowed substitution hints:   Y( x, f)

Proof of Theorem tfrcl

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcl.x	. . . 4 |- ( ph -> Ord X )
2		orduni 4617	. . . 4 |- ( Ord X -> Ord U. X )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> Ord U. X )
4		tfrcl.yx	. . 3 |- ( ph -> Y e. U. X )
5		ordelon 4504	. . 3 |- ( ( Ord U. X /\ Y e. U. X ) -> Y e. On )
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> Y e. On )
7	4	ancli 323	. 2 |- ( ph -> ( ph /\ Y e. U. X ) )
8		eleq1 2295	. . . . 5 |- ( w = k -> ( w e. U. X <-> k e. U. X ) )
9	8	anbi2d 464	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( ph /\ w e. U. X ) <-> ( ph /\ k e. U. X ) ) )
10		fveq2 5670	. . . . 5 |- ( w = k -> ( F ` w ) = ( F ` k ) )
11	10	eleq1d 2301	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( F ` w ) e. S <-> ( F ` k ) e. S ) )
12	9, 11	imbi12d 234	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ( ph /\ w e. U. X ) -> ( F ` w ) e. S ) <-> ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) )
13		eleq1 2295	. . . . 5 |- ( w = Y -> ( w e. U. X <-> Y e. U. X ) )
14	13	anbi2d 464	. . . 4 |- ( w = Y -> ( ( ph /\ w e. U. X ) <-> ( ph /\ Y e. U. X ) ) )
15		fveq2 5670	. . . . 5 |- ( w = Y -> ( F ` w ) = ( F ` Y ) )
16	15	eleq1d 2301	. . . 4 |- ( w = Y -> ( ( F ` w ) e. S <-> ( F ` Y ) e. S ) )
17	14, 16	imbi12d 234	. . 3 |- ( w = Y -> ( ( ( ph /\ w e. U. X ) -> ( F ` w ) e. S ) <-> ( ( ph /\ Y e. U. X ) -> ( F ` Y ) e. S ) ) )
18		tfrcl.f	. . . . . . 7 |- F = recs ( G )
19		tfrcl.g	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Fun G )
20	19	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> Fun G )
21	1	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> Ord X )
22		tfrcl.ex	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
23	22	3adant1r 1258	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w e. U. X ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
24	23	3adant1l 1257	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
25		tfrcl.u	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
26	25	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w e. U. X ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
27	26	adantll 476	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
28		simprr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> w e. U. X )
29	18, 20, 21, 24, 27, 28	tfrcldm 6594	. . . . . 6 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> w e. dom F )
30	18	tfr2a 6552	. . . . . 6 |- ( w e. dom F -> ( F ` w ) = ( G ` ( F |` w ) ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( F ` w ) = ( G ` ( F |` w ) ) )
32	19	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> Fun G )
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> Fun G )
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) -> Fun G )
35	1	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> Ord X )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> Ord X )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) -> Ord X )
38		simplrl 537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> ph )
39	38, 22	syl3an1 1307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
40	39	3adant1r 1258	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
41	38, 25	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
42	41	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
43	36, 2	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> Ord U. X )
44		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> k e. w )
45		simplrr 538	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> w e. U. X )
46	44, 45	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> ( k e. w /\ w e. U. X ) )
47		ordtr1 4509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Ord U. X -> ( ( k e. w /\ w e. U. X ) -> k e. U. X ) )
48	43, 46, 47	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> k e. U. X )
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) -> k e. U. X )
50	18, 34, 37, 40, 42, 49	tfrcldm 6594	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) -> k e. dom F )
51	38, 48	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> ( ph /\ k e. U. X ) )
52	51	imim1i 60	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) -> ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> ( F ` k ) e. S ) )
53	52	impcom 125	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) -> ( F ` k ) e. S )
54	50, 53	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) -> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. S ) )
55	54	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> ( ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) -> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. S ) ) )
56	55	ralimdva 2609	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) -> A. k e. w ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. S ) ) )
57	56	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) -> A. k e. w ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. S ) )
58	57	an32s 570	. . . . . . . 8 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> A. k e. w ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. S ) )
59		tfrfun 6551	. . . . . . . . . . 11 |- Fun recs ( G )
60	18	funeqi 5373	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun F <-> Fun recs ( G ) )
61	59, 60	mpbir 146	. . . . . . . . . 10 |- Fun F
62	61	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> Fun F )
63		ffvresb 5840	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> ( ( F |` w ) : w --> S <-> A. k e. w ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. S ) ) )
64	62, 63	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( ( F |` w ) : w --> S <-> A. k e. w ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. S ) ) )
65	58, 64	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( F |` w ) : w --> S )
66		vex 2816	. . . . . . 7 |- w e. _V
67		fex 5915	. . . . . . 7 |- ( ( ( F |` w ) : w --> S /\ w e. _V ) -> ( F |` w ) e. _V )
68	65, 66, 67	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( F |` w ) e. _V )
69		feq2 5492	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( f : x --> S <-> f : w --> S ) )
70	69	imbi1d 231	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( f : w --> S -> ( G ` f ) e. S ) ) )
71	70	albidv 1873	. . . . . . 7 |- ( x = w -> ( A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> A. f ( f : w --> S -> ( G ` f ) e. S ) ) )
72	22	3expia 1232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
73	72	alrimiv 1923	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
74	73	ralrimiva 2615	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. X A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
75	74	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> A. x e. X A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
76	66	sucid 4538	. . . . . . . . . 10 |- w e. suc w
77	76	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> w e. suc w )
78		suceq 4523	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> suc x = suc w )
79	78	eleq1d 2301	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( suc x e. X <-> suc w e. X ) )
80	25	ralrimiva 2615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. U. X suc x e. X )
81	80	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> A. x e. U. X suc x e. X )
82	79, 81, 28	rspcdva 2926	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> suc w e. X )
83	77, 82	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( w e. suc w /\ suc w e. X ) )
84		ordtr1 4509	. . . . . . . 8 |- ( Ord X -> ( ( w e. suc w /\ suc w e. X ) -> w e. X ) )
85	21, 83, 84	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> w e. X )
86	71, 75, 85	rspcdva 2926	. . . . . 6 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> A. f ( f : w --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
87		feq1 5491	. . . . . . . 8 |- ( f = ( F |` w ) -> ( f : w --> S <-> ( F |` w ) : w --> S ) )
88		fveq2 5670	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( F |` w ) -> ( G ` f ) = ( G ` ( F |` w ) ) )
89	88	eleq1d 2301	. . . . . . . 8 |- ( f = ( F |` w ) -> ( ( G ` f ) e. S <-> ( G ` ( F |` w ) ) e. S ) )
90	87, 89	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( f = ( F |` w ) -> ( ( f : w --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( ( F |` w ) : w --> S -> ( G ` ( F |` w ) ) e. S ) ) )
91	90	spcgv 2904	. . . . . 6 |- ( ( F |` w ) e. _V -> ( A. f ( f : w --> S -> ( G ` f ) e. S ) -> ( ( F |` w ) : w --> S -> ( G ` ( F |` w ) ) e. S ) ) )
92	68, 86, 65, 91	syl3c 63	. . . . 5 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( G ` ( F |` w ) ) e. S )
93	31, 92	eqeltrd 2309	. . . 4 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( F ` w ) e. S )
94	93	exp31 364	. . 3 |- ( w e. On -> ( A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) -> ( ( ph /\ w e. U. X ) -> ( F ` w ) e. S ) ) )
95	12, 17, 94	tfis3 4708	. 2 |- ( Y e. On -> ( ( ph /\ Y e. U. X ) -> ( F ` Y ) e. S ) )
96	6, 7, 95	sylc 62	1 |- ( ph -> ( F ` Y ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   _Vcvv 2813   U.cuni 3914   Ord word 4483   Oncon0 4484   suc csuc 4486   dom cdm 4749   |` cres 4751   Fun wfun 5346   -->wf 5348   ` cfv 5352  recscrecs 6535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-recs 6536

This theorem is referenced by:  rdgon  6617  freccllem  6633  frecfcllem  6635