Theorem tfrcl 6635

Description: Closure for transfinite recursion. As with tfr1on 6621, the characteristic function must be defined up to a suitable point, not necessarily on all ordinals. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	|- F = recs ( G )
tfrcl.g	|- ( ph -> Fun G )
tfrcl.x	|- ( ph -> Ord X )
tfrcl.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
tfrcl.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfrcl.yx	|- ( ph -> Y e. U. X )

Assertion

Ref	Expression
tfrcl	|- ( ph -> ( F ` Y ) e. S )

Distinct variable groups:   f, F, x   f, G, x   S, f, x   f, X, x   ph, f, x

Allowed substitution hints:   Y( x, f)

Proof of Theorem tfrcl

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcl.x	. . . 4 |- ( ph -> Ord X )
2		orduni 4642	. . . 4 |- ( Ord X -> Ord U. X )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> Ord U. X )
4		tfrcl.yx	. . 3 |- ( ph -> Y e. U. X )
5		ordelon 4528	. . 3 |- ( ( Ord U. X /\ Y e. U. X ) -> Y e. On )
6	3, 4, 5	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> Y e. On )
7	4	ancli 323	. 2 |- ( ph -> ( ph /\ Y e. U. X ) )
8		eleq1 2301	. . . . 5 |- ( w = k -> ( w e. U. X <-> k e. U. X ) )
9	8	anbi2d 468	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( ph /\ w e. U. X ) <-> ( ph /\ k e. U. X ) ) )
10		fveq2 5695	. . . . 5 |- ( w = k -> ( F ` w ) = ( F ` k ) )
11	10	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( F ` w ) e. S <-> ( F ` k ) e. S ) )
12	9, 11	imbi12d 234	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ( ph /\ w e. U. X ) -> ( F ` w ) e. S ) <-> ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) )
13		eleq1 2301	. . . . 5 |- ( w = Y -> ( w e. U. X <-> Y e. U. X ) )
14	13	anbi2d 468	. . . 4 |- ( w = Y -> ( ( ph /\ w e. U. X ) <-> ( ph /\ Y e. U. X ) ) )
15		fveq2 5695	. . . . 5 |- ( w = Y -> ( F ` w ) = ( F ` Y ) )
16	15	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( w = Y -> ( ( F ` w ) e. S <-> ( F ` Y ) e. S ) )
17	14, 16	imbi12d 234	. . 3 |- ( w = Y -> ( ( ( ph /\ w e. U. X ) -> ( F ` w ) e. S ) <-> ( ( ph /\ Y e. U. X ) -> ( F ` Y ) e. S ) ) )
18		tfrcl.f	. . . . . . 7 |- F = recs ( G )
19		tfrcl.g	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Fun G )
20	19	ad2antrl 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> Fun G )
21	1	ad2antrl 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> Ord X )
22		tfrcl.ex	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
23	22	3adant1r 1262	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w e. U. X ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
24	23	3adant1l 1261	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
25		tfrcl.u	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
26	25	adantlr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w e. U. X ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
27	26	adantll 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
28		simprr 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> w e. U. X )
29	18, 20, 21, 24, 27, 28	tfrcldm 6634	. . . . . 6 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> w e. dom F )
30	18	tfr2a 6592	. . . . . 6 |- ( w e. dom F -> ( F ` w ) = ( G ` ( F |` w ) ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( F ` w ) = ( G ` ( F |` w ) ) )
32	19	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> Fun G )
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> Fun G )
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) -> Fun G )
35	1	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> Ord X )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> Ord X )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) -> Ord X )
38		simplrl 541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> ph )
39	38, 22	syl3an1 1311	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
40	39	3adant1r 1262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
41	38, 25	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
42	41	adantlr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
43	36, 2	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> Ord U. X )
44		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> k e. w )
45		simplrr 542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> w e. U. X )
46	44, 45	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> ( k e. w /\ w e. U. X ) )
47		ordtr1 4533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Ord U. X -> ( ( k e. w /\ w e. U. X ) -> k e. U. X ) )
48	43, 46, 47	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> k e. U. X )
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) -> k e. U. X )
50	18, 34, 37, 40, 42, 49	tfrcldm 6634	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) -> k e. dom F )
51	38, 48	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> ( ph /\ k e. U. X ) )
52	51	imim1i 60	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) -> ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> ( F ` k ) e. S ) )
53	52	impcom 125	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) -> ( F ` k ) e. S )
54	50, 53	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) /\ ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) -> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. S ) )
55	54	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ k e. w ) -> ( ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) -> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. S ) ) )
56	55	ralimdva 2617	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) -> A. k e. w ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. S ) ) )
57	56	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( w e. On /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) -> A. k e. w ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. S ) )
58	57	an32s 574	. . . . . . . 8 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> A. k e. w ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. S ) )
59		tfrfun 6591	. . . . . . . . . . 11 |- Fun recs ( G )
60	18	funeqi 5398	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun F <-> Fun recs ( G ) )
61	59, 60	mpbir 146	. . . . . . . . . 10 |- Fun F
62	61	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> Fun F )
63		ffvresb 5871	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> ( ( F |` w ) : w --> S <-> A. k e. w ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. S ) ) )
64	62, 63	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( ( F |` w ) : w --> S <-> A. k e. w ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. S ) ) )
65	58, 64	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( F |` w ) : w --> S )
66		vex 2824	. . . . . . 7 |- w e. _V
67		fex 5947	. . . . . . 7 |- ( ( ( F |` w ) : w --> S /\ w e. _V ) -> ( F |` w ) e. _V )
68	65, 66, 67	sylancl 417	. . . . . 6 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( F |` w ) e. _V )
69		feq2 5517	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( f : x --> S <-> f : w --> S ) )
70	69	imbi1d 231	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( f : w --> S -> ( G ` f ) e. S ) ) )
71	70	albidv 1877	. . . . . . 7 |- ( x = w -> ( A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> A. f ( f : w --> S -> ( G ` f ) e. S ) ) )
72	22	3expia 1236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
73	72	alrimiv 1927	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
74	73	ralrimiva 2623	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. X A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
75	74	ad2antrl 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> A. x e. X A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
76	66	sucid 4562	. . . . . . . . . 10 |- w e. suc w
77	76	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> w e. suc w )
78		suceq 4547	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> suc x = suc w )
79	78	eleq1d 2307	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( suc x e. X <-> suc w e. X ) )
80	25	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. U. X suc x e. X )
81	80	ad2antrl 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> A. x e. U. X suc x e. X )
82	79, 81, 28	rspcdva 2934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> suc w e. X )
83	77, 82	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( w e. suc w /\ suc w e. X ) )
84		ordtr1 4533	. . . . . . . 8 |- ( Ord X -> ( ( w e. suc w /\ suc w e. X ) -> w e. X ) )
85	21, 83, 84	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> w e. X )
86	71, 75, 85	rspcdva 2934	. . . . . 6 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> A. f ( f : w --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
87		feq1 5516	. . . . . . . 8 |- ( f = ( F |` w ) -> ( f : w --> S <-> ( F |` w ) : w --> S ) )
88		fveq2 5695	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( F |` w ) -> ( G ` f ) = ( G ` ( F |` w ) ) )
89	88	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 |- ( f = ( F |` w ) -> ( ( G ` f ) e. S <-> ( G ` ( F |` w ) ) e. S ) )
90	87, 89	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( f = ( F |` w ) -> ( ( f : w --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( ( F |` w ) : w --> S -> ( G ` ( F |` w ) ) e. S ) ) )
91	90	spcgv 2912	. . . . . 6 |- ( ( F |` w ) e. _V -> ( A. f ( f : w --> S -> ( G ` f ) e. S ) -> ( ( F |` w ) : w --> S -> ( G ` ( F |` w ) ) e. S ) ) )
92	68, 86, 65, 91	syl3c 63	. . . . 5 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( G ` ( F |` w ) ) e. S )
93	31, 92	eqeltrd 2315	. . . 4 |- ( ( ( w e. On /\ A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) ) /\ ( ph /\ w e. U. X ) ) -> ( F ` w ) e. S )
94	93	exp31 364	. . 3 |- ( w e. On -> ( A. k e. w ( ( ph /\ k e. U. X ) -> ( F ` k ) e. S ) -> ( ( ph /\ w e. U. X ) -> ( F ` w ) e. S ) ) )
95	12, 17, 94	tfis3 4733	. 2 |- ( Y e. On -> ( ( ph /\ Y e. U. X ) -> ( F ` Y ) e. S ) )
96	6, 7, 95	sylc 62	1 |- ( ph -> ( F ` Y ) e. S )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   A.wal 1400   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   U.cuni 3935   Ord word 4507   Oncon0 4508   suc csuc 4510   dom cdm 4774   |` cres 4776   Fun wfun 5371   -->wf 5373   ` cfv 5377  recscrecs 6575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-recs 6576

This theorem is used by:  rdgon  6657  freccllem  6673  frecfcllem  6675