Theorem tfrcllemsucfn 6406

Description: We can extend an acceptable function by one element to produce a function. Lemma for tfrcl 6417. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	|- F = recs ( G )
tfrcl.g	|- ( ph -> Fun G )
tfrcl.x	|- ( ph -> Ord X )
tfrcl.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
tfrcllemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfrcllemsucfn.3	|- ( ph -> z e. X )
tfrcllemsucfn.4	|- ( ph -> g : z --> S )
tfrcllemsucfn.5	|- ( ph -> g e. A )

Assertion

Ref	Expression
tfrcllemsucfn	|- ( ph -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S )

Distinct variable groups:   f, G, x   S, f, x   f, X, x   f, g   ph, f, x   z, f, x

Allowed substitution hints:   ph( y, z, g)   A( x, y, z, f, g)   S( y, z, g)   F( x, y, z, f, g)   G( y, z, g)   X( y, z, g)

Proof of Theorem tfrcllemsucfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcllemsucfn.4	. . 3 |- ( ph -> g : z --> S )
2		tfrcllemsucfn.3	. . . 4 |- ( ph -> z e. X )
3	2	elexd 2773	. . 3 |- ( ph -> z e. _V )
4		tfrcl.x	. . . . 5 |- ( ph -> Ord X )
5		ordelon 4414	. . . . 5 |- ( ( Ord X /\ z e. X ) -> z e. On )
6	4, 2, 5	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> z e. On )
7		eloni 4406	. . . 4 |- ( z e. On -> Ord z )
8		ordirr 4574	. . . 4 |- ( Ord z -> -. z e. z )
9	6, 7, 8	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> -. z e. z )
10		feq2 5387	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( f : x --> S <-> f : z --> S ) )
11	10	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) ) )
12	11	albidv 1835	. . . . 5 |- ( x = z -> ( A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> A. f ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) ) )
13		tfrcl.ex	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
14	13	3expia 1207	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
15	14	alrimiv 1885	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
16	15	ralrimiva 2567	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
17	12, 16, 2	rspcdva 2869	. . . 4 |- ( ph -> A. f ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
18		feq1 5386	. . . . . 6 |- ( f = g -> ( f : z --> S <-> g : z --> S ) )
19		fveq2 5554	. . . . . . 7 |- ( f = g -> ( G ` f ) = ( G ` g ) )
20	19	eleq1d 2262	. . . . . 6 |- ( f = g -> ( ( G ` f ) e. S <-> ( G ` g ) e. S ) )
21	18, 20	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( f = g -> ( ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( g : z --> S -> ( G ` g ) e. S ) ) )
22	21	spv 1871	. . . 4 |- ( A. f ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) -> ( g : z --> S -> ( G ` g ) e. S ) )
23	17, 1, 22	sylc 62	. . 3 |- ( ph -> ( G ` g ) e. S )
24		fsnunf 5758	. . 3 |- ( ( g : z --> S /\ ( z e. _V /\ -. z e. z ) /\ ( G ` g ) e. S ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : ( z u. { z } ) --> S )
25	1, 3, 9, 23, 24	syl121anc 1254	. 2 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : ( z u. { z } ) --> S )
26		df-suc 4402	. . 3 |- suc z = ( z u. { z } )
27	26	feq2i 5397	. 2 |- ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : ( z u. { z } ) --> S )
28	25, 27	sylibr 134	1 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   A.wral 2472   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   u. cun 3151   {csn 3618   <.cop 3621   Ord word 4393   Oncon0 4394   suc csuc 4396   |` cres 4661   Fun wfun 5248   -->wf 5250   ` cfv 5254  recscrecs 6357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262

This theorem is referenced by:  tfrcllemsucaccv  6407  tfrcllembfn  6410