ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfrcllemsucfn Unicode version

Theorem tfrcllemsucfn 6118
Description: We can extend an acceptable function by one element to produce a function. Lemma for tfrcl 6129. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f  |-  F  = recs ( G )
tfrcl.g  |-  ( ph  ->  Fun  G )
tfrcl.x  |-  ( ph  ->  Ord  X )
tfrcl.ex  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
tfrcllemsucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrcllemsucfn.3  |-  ( ph  ->  z  e.  X )
tfrcllemsucfn.4  |-  ( ph  ->  g : z --> S )
tfrcllemsucfn.5  |-  ( ph  ->  g  e.  A )
Assertion
Ref Expression
tfrcllemsucfn  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) : suc  z
--> S )
Distinct variable groups:    f, G, x    S, f, x    f, X, x    f, g    ph, f, x    z, f, x
Allowed substitution hints:    ph( y, z, g)    A( x, y, z, f, g)    S( y, z, g)    F( x, y, z, f, g)    G( y, z, g)    X( y, z, g)

Proof of Theorem tfrcllemsucfn
StepHypRef Expression
1 tfrcllemsucfn.4 . . 3  |-  ( ph  ->  g : z --> S )
2 tfrcllemsucfn.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  e.  X )
32elexd 2632 . . 3  |-  ( ph  ->  z  e.  _V )
4 tfrcl.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  Ord  X )
5 ordelon 4210 . . . . 5  |-  ( ( Ord  X  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  On )
64, 2, 5syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  e.  On )
7 eloni 4202 . . . 4  |-  ( z  e.  On  ->  Ord  z )
8 ordirr 4358 . . . 4  |-  ( Ord  z  ->  -.  z  e.  z )
96, 7, 83syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  z )
10 feq2 5146 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
f : x --> S  <->  f :
z --> S ) )
1110imbi1d 229 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
)  <->  ( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S ) ) )
1211albidv 1752 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( A. f ( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S )  <->  A. f
( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) ) )
13 tfrcl.ex . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
14133expia 1145 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
f : x --> S  -> 
( G `  f
)  e.  S ) )
1514alrimiv 1802 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. f
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) )
1615ralrimiva 2446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. f ( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S ) )
1712, 16, 2rspcdva 2727 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. f ( f : z --> S  -> 
( G `  f
)  e.  S ) )
18 feq1 5145 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
f : z --> S  <-> 
g : z --> S ) )
19 fveq2 5305 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  ( G `  f )  =  ( G `  g ) )
2019eleq1d 2156 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
( G `  f
)  e.  S  <->  ( G `  g )  e.  S
) )
2118, 20imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
)  <->  ( g : z --> S  ->  ( G `  g )  e.  S ) ) )
2221spv 1788 . . . 4  |-  ( A. f ( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S )  ->  (
g : z --> S  ->  ( G `  g )  e.  S
) )
2317, 1, 22sylc 61 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  g
)  e.  S )
24 fsnunf 5497 . . 3  |-  ( ( g : z --> S  /\  ( z  e. 
_V  /\  -.  z  e.  z )  /\  ( G `  g )  e.  S )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) : ( z  u. 
{ z } ) --> S )
251, 3, 9, 23, 24syl121anc 1179 . 2  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) : ( z  u.  { z } ) --> S )
26 df-suc 4198 . . 3  |-  suc  z  =  ( z  u. 
{ z } )
2726feq2i 5155 . 2  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) : suc  z --> S  <-> 
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) : ( z  u.  { z } ) --> S )
2825, 27sylibr 132 1  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) : suc  z
--> S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 924   A.wal 1287    = wceq 1289    e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   E.wrex 2360   _Vcvv 2619    u. cun 2997   {csn 3446   <.cop 3449   Ord word 4189   Oncon0 4190   suc csuc 4192    |` cres 4440   Fun wfun 5009   -->wf 5011   ` cfv 5015  recscrecs 6069
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-setind 4353
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023
This theorem is referenced by:  tfrcllemsucaccv  6119  tfrcllembfn  6122
  Copyright terms: Public domain W3C validator