Theorem eltg3i 11924

Description: The union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg3i	|- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> U. A e. ( topGen ` B ) )

Proof of Theorem eltg3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> A C_ B )
2		pwuni 4048	. . . . 5 |- A C_ ~P U. A
3	1, 2	jctir 307	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> ( A C_ B /\ A C_ ~P U. A ) )
4		ssin 3237	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ A C_ ~P U. A ) <-> A C_ ( B i^i ~P U. A ) )
5	3, 4	sylib 121	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> A C_ ( B i^i ~P U. A ) )
6	5	unissd 3699	. 2 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> U. A C_ U. ( B i^i ~P U. A ) )
7		eltg 11920	. . 3 |- ( B e. V -> ( U. A e. ( topGen ` B ) <-> U. A C_ U. ( B i^i ~P U. A ) ) )
8	7	adantr 271	. 2 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> ( U. A e. ( topGen ` B ) <-> U. A C_ U. ( B i^i ~P U. A ) ) )
9	6, 8	mpbird 166	1 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> U. A e. ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1445   i^i cin 3012   C_ wss 3013   ~Pcpw 3449   U.cuni 3675   ` cfv 5049   topGenctg 11835

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-sbc 2855  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-topgen 11841

This theorem is referenced by:  eltg3  11925  tgiun  11941  tgidm  11942  tgrest  12037