ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eltg3i Unicode version

Theorem eltg3i 11924
Description: The union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg3i  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  U. A  e.  ( topGen `
 B ) )

Proof of Theorem eltg3i
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  A  C_  B )
2 pwuni 4048 . . . . 5  |-  A  C_  ~P U. A
31, 2jctir 307 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( A  C_  B  /\  A  C_  ~P U. A ) )
4 ssin 3237 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  A  C_  ~P U. A
)  <->  A  C_  ( B  i^i  ~P U. A
) )
53, 4sylib 121 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  A  C_  ( B  i^i  ~P
U. A ) )
65unissd 3699 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  U. A  C_  U. ( B  i^i  ~P U. A
) )
7 eltg 11920 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  ( U. A  e.  ( topGen `
 B )  <->  U. A  C_  U. ( B  i^i  ~P U. A ) ) )
87adantr 271 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( U. A  e.  ( topGen `  B )  <->  U. A  C_  U. ( B  i^i  ~P U. A
) ) )
96, 8mpbird 166 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  U. A  e.  ( topGen `
 B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1445    i^i cin 3012    C_ wss 3013   ~Pcpw 3449   U.cuni 3675   ` cfv 5049   topGenctg 11835
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-sbc 2855  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-topgen 11841
This theorem is referenced by:  eltg3  11925  tgiun  11941  tgidm  11942  tgrest  12037
  Copyright terms: Public domain W3C validator