Theorem eltg3i 12214

Description: The union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg3i	|- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> U. A e. ( topGen ` B ) )

Proof of Theorem eltg3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> A C_ B )
2		pwuni 4111	. . . . 5 |- A C_ ~P U. A
3	1, 2	jctir 311	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> ( A C_ B /\ A C_ ~P U. A ) )
4		ssin 3293	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ A C_ ~P U. A ) <-> A C_ ( B i^i ~P U. A ) )
5	3, 4	sylib 121	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> A C_ ( B i^i ~P U. A ) )
6	5	unissd 3755	. 2 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> U. A C_ U. ( B i^i ~P U. A ) )
7		eltg 12210	. . 3 |- ( B e. V -> ( U. A e. ( topGen ` B ) <-> U. A C_ U. ( B i^i ~P U. A ) ) )
8	7	adantr 274	. 2 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> ( U. A e. ( topGen ` B ) <-> U. A C_ U. ( B i^i ~P U. A ) ) )
9	6, 8	mpbird 166	1 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> U. A e. ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   i^i cin 3065   C_ wss 3066   ~Pcpw 3505   U.cuni 3731   ` cfv 5118   topGenctg 12124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-topgen 12130

This theorem is referenced by:  eltg3  12215  tgiun  12231  tgidm  12232  tgrest  12327