Theorem eltg3i 14779

Description: The union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg3i	|- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> U. A e. ( topGen ` B ) )

Proof of Theorem eltg3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> A C_ B )
2		pwuni 4282	. . . . 5 |- A C_ ~P U. A
3	1, 2	jctir 313	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> ( A C_ B /\ A C_ ~P U. A ) )
4		ssin 3429	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ A C_ ~P U. A ) <-> A C_ ( B i^i ~P U. A ) )
5	3, 4	sylib 122	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> A C_ ( B i^i ~P U. A ) )
6	5	unissd 3917	. 2 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> U. A C_ U. ( B i^i ~P U. A ) )
7		eltg 14775	. . 3 |- ( B e. V -> ( U. A e. ( topGen ` B ) <-> U. A C_ U. ( B i^i ~P U. A ) ) )
8	7	adantr 276	. 2 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> ( U. A e. ( topGen ` B ) <-> U. A C_ U. ( B i^i ~P U. A ) ) )
9	6, 8	mpbird 167	1 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> U. A e. ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   i^i cin 3199   C_ wss 3200   ~Pcpw 3652   U.cuni 3893   ` cfv 5326   topGenctg 13336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-topgen 13342

This theorem is referenced by:  eltg3  14780  tgiun  14796  tgidm  14797  tgrest  14892