Theorem tposssxp 6247

Description: The transposition is a subset of a cross product. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
tposssxp	|- tpos F C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F )

Proof of Theorem tposssxp

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tpos 6243	. . 3 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
2		cossxp 5150	. . 3 |- ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) X. ran F )
3	1, 2	eqsstri 3187	. 2 |- tpos F C_ ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) X. ran F )
4		eqid 2177	. . . 4 |- ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
5	4	dmmptss 5124	. . 3 |- dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( `' dom F u. { (/) } )
6		xpss1 4735	. . 3 |- ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( `' dom F u. { (/) } ) -> ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) X. ran F ) C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) X. ran F ) C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F )
8	3, 7	sstri 3164	1 |- tpos F C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F )

Syntax hints:   u. cun 3127   C_ wss 3129   (/)c0 3422   {csn 3592   U.cuni 3809   |-> cmpt 4063   X. cxp 4623   `'ccnv 4624   dom cdm 4625   ran crn 4626   o. ccom 4629  tpos ctpos 6242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-tpos 6243

This theorem is referenced by:  reltpos  6248  tposexg  6256