ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tposssxp Unicode version

Theorem tposssxp 6247
Description: The transposition is a subset of a cross product. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
tposssxp  |- tpos  F  C_  ( ( `' dom  F  u.  { (/) } )  X.  ran  F )

Proof of Theorem tposssxp
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-tpos 6243 . . 3  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )
2 cossxp 5150 . . 3  |-  ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  X.  ran  F )
31, 2eqsstri 3187 . 2  |- tpos  F  C_  ( dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  X.  ran  F )
4 eqid 2177 . . . 4  |-  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } )  =  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )
54dmmptss 5124 . . 3  |-  dom  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) 
C_  ( `' dom  F  u.  { (/) } )
6 xpss1 4735 . . 3  |-  ( dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) 
C_  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  ->  ( dom  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  X.  ran  F ) 
C_  ( ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  X.  ran  F ) )
75, 6ax-mp 5 . 2  |-  ( dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  X.  ran  F ) 
C_  ( ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  X.  ran  F )
83, 7sstri 3164 1  |- tpos  F  C_  ( ( `' dom  F  u.  { (/) } )  X.  ran  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    u. cun 3127    C_ wss 3129   (/)c0 3422   {csn 3592   U.cuni 3809    |-> cmpt 4063    X. cxp 4623   `'ccnv 4624   dom cdm 4625   ran crn 4626    o. ccom 4629  tpos ctpos 6242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-tpos 6243
This theorem is referenced by:  reltpos  6248  tposexg  6256
  Copyright terms: Public domain W3C validator