Theorem tposssxp 6268

Description: The transposition is a subset of a cross product. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
tposssxp	|- tpos F C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F )

Proof of Theorem tposssxp

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tpos 6264	. . 3 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
2		cossxp 5166	. . 3 |- ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) X. ran F )
3	1, 2	eqsstri 3202	. 2 |- tpos F C_ ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) X. ran F )
4		eqid 2189	. . . 4 |- ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
5	4	dmmptss 5140	. . 3 |- dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( `' dom F u. { (/) } )
6		xpss1 4751	. . 3 |- ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( `' dom F u. { (/) } ) -> ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) X. ran F ) C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) X. ran F ) C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F )
8	3, 7	sstri 3179	1 |- tpos F C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F )

Syntax hints:   u. cun 3142   C_ wss 3144   (/)c0 3437   {csn 3607   U.cuni 3824   |-> cmpt 4079   X. cxp 4639   `'ccnv 4640   dom cdm 4641   ran crn 4642   o. ccom 4645  tpos ctpos 6263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-tpos 6264

This theorem is referenced by:  reltpos  6269  tposexg  6277