Theorem tposssxp 6480

Description: The transposition is a subset of a cross product. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
tposssxp	|- tpos F C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F )

Proof of Theorem tposssxp

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tpos 6476	. . 3 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
2		cossxp 5285	. . 3 |- ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) X. ran F )
3	1, 2	eqsstri 3270	. 2 |- tpos F C_ ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) X. ran F )
4		eqid 2232	. . . 4 |- ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
5	4	dmmptss 5259	. . 3 |- dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( `' dom F u. { (/) } )
6		xpss1 4860	. . 3 |- ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( `' dom F u. { (/) } ) -> ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) X. ran F ) C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) X. ran F ) C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F )
8	3, 7	sstri 3247	1 |- tpos F C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F )

Syntax hints:   u. cun 3209   C_ wss 3211   (/)c0 3508   {csn 3689   U.cuni 3914   |-> cmpt 4171   X. cxp 4747   `'ccnv 4748   dom cdm 4749   ran crn 4750   o. ccom 4753  tpos ctpos 6475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-tpos 6476

This theorem is referenced by:  reltpos  6481  tposexg  6489