ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tposssxp Unicode version

Theorem tposssxp 6268
Description: The transposition is a subset of a cross product. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
tposssxp  |- tpos  F  C_  ( ( `' dom  F  u.  { (/) } )  X.  ran  F )

Proof of Theorem tposssxp
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-tpos 6264 . . 3  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )
2 cossxp 5166 . . 3  |-  ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  X.  ran  F )
31, 2eqsstri 3202 . 2  |- tpos  F  C_  ( dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  X.  ran  F )
4 eqid 2189 . . . 4  |-  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } )  =  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )
54dmmptss 5140 . . 3  |-  dom  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) 
C_  ( `' dom  F  u.  { (/) } )
6 xpss1 4751 . . 3  |-  ( dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) 
C_  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  ->  ( dom  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  X.  ran  F ) 
C_  ( ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  X.  ran  F ) )
75, 6ax-mp 5 . 2  |-  ( dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  X.  ran  F ) 
C_  ( ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  X.  ran  F )
83, 7sstri 3179 1  |- tpos  F  C_  ( ( `' dom  F  u.  { (/) } )  X.  ran  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    u. cun 3142    C_ wss 3144   (/)c0 3437   {csn 3607   U.cuni 3824    |-> cmpt 4079    X. cxp 4639   `'ccnv 4640   dom cdm 4641   ran crn 4642    o. ccom 4645  tpos ctpos 6263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-tpos 6264
This theorem is referenced by:  reltpos  6269  tposexg  6277
  Copyright terms: Public domain W3C validator