Theorem tposssxp 6334

Description: The transposition is a subset of a cross product. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
tposssxp	|- tpos F C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F )

Proof of Theorem tposssxp

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tpos 6330	. . 3 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
2		cossxp 5204	. . 3 |- ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) X. ran F )
3	1, 2	eqsstri 3224	. 2 |- tpos F C_ ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) X. ran F )
4		eqid 2204	. . . 4 |- ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
5	4	dmmptss 5178	. . 3 |- dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( `' dom F u. { (/) } )
6		xpss1 4784	. . 3 |- ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( `' dom F u. { (/) } ) -> ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) X. ran F ) C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) X. ran F ) C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F )
8	3, 7	sstri 3201	1 |- tpos F C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F )

Syntax hints:   u. cun 3163   C_ wss 3165   (/)c0 3459   {csn 3632   U.cuni 3849   |-> cmpt 4104   X. cxp 4672   `'ccnv 4673   dom cdm 4674   ran crn 4675   o. ccom 4678  tpos ctpos 6329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-tpos 6330

This theorem is referenced by:  reltpos  6335  tposexg  6343