Theorem tposssxp 6228

Description: The transposition is a subset of a cross product. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
tposssxp	|- tpos F C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F )

Proof of Theorem tposssxp

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tpos 6224	. . 3 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
2		cossxp 5133	. . 3 |- ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) X. ran F )
3	1, 2	eqsstri 3179	. 2 |- tpos F C_ ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) X. ran F )
4		eqid 2170	. . . 4 |- ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
5	4	dmmptss 5107	. . 3 |- dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( `' dom F u. { (/) } )
6		xpss1 4721	. . 3 |- ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( `' dom F u. { (/) } ) -> ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) X. ran F ) C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- ( dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) X. ran F ) C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F )
8	3, 7	sstri 3156	1 |- tpos F C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F )

Syntax hints:   u. cun 3119   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   U.cuni 3796   |-> cmpt 4050   X. cxp 4609   `'ccnv 4610   dom cdm 4611   ran crn 4612   o. ccom 4615  tpos ctpos 6223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-tpos 6224

This theorem is referenced by:  reltpos  6229  tposexg  6237