Theorem tposexg 6226

Description: The transposition of a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposexg	|- ( F e. V -> tpos F e. _V )

Proof of Theorem tposexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposssxp 6217	. 2 |- tpos F C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F )
2		dmexg 4868	. . . . 5 |- ( F e. V -> dom F e. _V )
3		cnvexg 5141	. . . . 5 |- ( dom F e. _V -> `' dom F e. _V )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( F e. V -> `' dom F e. _V )
5		p0ex 4167	. . . 4 |- { (/) } e. _V
6		unexg 4421	. . . 4 |- ( ( `' dom F e. _V /\ { (/) } e. _V ) -> ( `' dom F u. { (/) } ) e. _V )
7	4, 5, 6	sylancl 410	. . 3 |- ( F e. V -> ( `' dom F u. { (/) } ) e. _V )
8		rnexg 4869	. . 3 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
9		xpexg 4718	. . 3 |- ( ( ( `' dom F u. { (/) } ) e. _V /\ ran F e. _V ) -> ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) e. _V )
10	7, 8, 9	syl2anc 409	. 2 |- ( F e. V -> ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) e. _V )
11		ssexg 4121	. 2 |- ( (tpos F C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) /\ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) e. _V ) -> tpos F e. _V )
12	1, 10, 11	sylancr 411	1 |- ( F e. V -> tpos F e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   u. cun 3114   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   X. cxp 4602   `'ccnv 4603   dom cdm 4604   ran crn 4605  tpos ctpos 6212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-tpos 6213

This theorem is referenced by:  tposex  6246