Theorem tposexg 6519

Description: The transposition of a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposexg	|- ( F e. V -> tpos F e. _V )

Proof of Theorem tposexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposssxp 6510	. 2 |- tpos F C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F )
2		dmexg 5041	. . . . 5 |- ( F e. V -> dom F e. _V )
3		cnvexg 5320	. . . . 5 |- ( dom F e. _V -> `' dom F e. _V )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( F e. V -> `' dom F e. _V )
5		p0ex 4320	. . . 4 |- { (/) } e. _V
6		unexg 4584	. . . 4 |- ( ( `' dom F e. _V /\ { (/) } e. _V ) -> ( `' dom F u. { (/) } ) e. _V )
7	4, 5, 6	sylancl 417	. . 3 |- ( F e. V -> ( `' dom F u. { (/) } ) e. _V )
8		rnexg 5042	. . 3 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
9		xpexg 4884	. . 3 |- ( ( ( `' dom F u. { (/) } ) e. _V /\ ran F e. _V ) -> ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) e. _V )
10	7, 8, 9	syl2anc 415	. 2 |- ( F e. V -> ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) e. _V )
11		ssexg 4267	. 2 |- ( (tpos F C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) /\ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) e. _V ) -> tpos F e. _V )
12	1, 10, 11	sylancr 418	1 |- ( F e. V -> tpos F e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3705   X. cxp 4767   `'ccnv 4768   dom cdm 4769   ran crn 4770  tpos ctpos 6505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-tpos 6506

This theorem is referenced by:  tposex  6539  opprvalg  14347  opprmulfvalg  14348  opprex  14351  opprsllem  14352