Theorem tposexg 6261

Description: The transposition of a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposexg	|- ( F e. V -> tpos F e. _V )

Proof of Theorem tposexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposssxp 6252	. 2 |- tpos F C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F )
2		dmexg 4893	. . . . 5 |- ( F e. V -> dom F e. _V )
3		cnvexg 5168	. . . . 5 |- ( dom F e. _V -> `' dom F e. _V )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( F e. V -> `' dom F e. _V )
5		p0ex 4190	. . . 4 |- { (/) } e. _V
6		unexg 4445	. . . 4 |- ( ( `' dom F e. _V /\ { (/) } e. _V ) -> ( `' dom F u. { (/) } ) e. _V )
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . 3 |- ( F e. V -> ( `' dom F u. { (/) } ) e. _V )
8		rnexg 4894	. . 3 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
9		xpexg 4742	. . 3 |- ( ( ( `' dom F u. { (/) } ) e. _V /\ ran F e. _V ) -> ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) e. _V )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( F e. V -> ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) e. _V )
11		ssexg 4144	. 2 |- ( (tpos F C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) /\ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) e. _V ) -> tpos F e. _V )
12	1, 10, 11	sylancr 414	1 |- ( F e. V -> tpos F e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   u. cun 3129   C_ wss 3131   (/)c0 3424   {csn 3594   X. cxp 4626   `'ccnv 4627   dom cdm 4628   ran crn 4629  tpos ctpos 6247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-tpos 6248

This theorem is referenced by:  tposex  6281  opprvalg  13246  opprmulfvalg  13247  opprex  13250  opprsllem  13251