Theorem xp1en 7111

Description: One times a cardinal number. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xp1en	|- ( A e. V -> ( A X. 1o ) ~~ A )

Proof of Theorem xp1en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 6691	. . 3 |- 1o = { (/) }
2	1	xpeq2i 4790	. 2 |- ( A X. 1o ) = ( A X. { (/) } )
3		0ex 4255	. . 3 |- (/) e. _V
4		xpsneng 7110	. . 3 |- ( ( A e. V /\ (/) e. _V ) -> ( A X. { (/) } ) ~~ A )
5	3, 4	mpan2 429	. 2 |- ( A e. V -> ( A X. { (/) } ) ~~ A )
6	2, 5	eqbrtrid 4160	1 |- ( A e. V -> ( A X. 1o ) ~~ A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   {csn 3705   class class class wbr 4125   X. cxp 4767   1oc1o 6670   ~~ cen 7010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-suc 4511  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-1o 6677  df-en 7013

This theorem is referenced by: (None)