Theorem xp1en 7125

Description: One times a cardinal number. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xp1en	|- ( A e. V -> ( A X. 1o ) ~~ A )

Proof of Theorem xp1en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 6705	. . 3 |- 1o = { (/) }
2	1	xpeq2i 4797	. 2 |- ( A X. 1o ) = ( A X. { (/) } )
3		0ex 4262	. . 3 |- (/) e. _V
4		xpsneng 7124	. . 3 |- ( ( A e. V /\ (/) e. _V ) -> ( A X. { (/) } ) ~~ A )
5	3, 4	mpan2 429	. 2 |- ( A e. V -> ( A X. { (/) } ) ~~ A )
6	2, 5	eqbrtrid 4166	1 |- ( A e. V -> ( A X. 1o ) ~~ A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   {csn 3709   class class class wbr 4131   X. cxp 4774   1oc1o 6684   ~~ cen 7024

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-suc 4518  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-1o 6691  df-en 7027

This theorem is used by: (None)