Theorem xp1en 6877

Description: One times a cardinal number. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xp1en	|- ( A e. V -> ( A X. 1o ) ~~ A )

Proof of Theorem xp1en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 6482	. . 3 |- 1o = { (/) }
2	1	xpeq2i 4680	. 2 |- ( A X. 1o ) = ( A X. { (/) } )
3		0ex 4156	. . 3 |- (/) e. _V
4		xpsneng 6876	. . 3 |- ( ( A e. V /\ (/) e. _V ) -> ( A X. { (/) } ) ~~ A )
5	3, 4	mpan2 425	. 2 |- ( A e. V -> ( A X. { (/) } ) ~~ A )
6	2, 5	eqbrtrid 4064	1 |- ( A e. V -> ( A X. 1o ) ~~ A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   (/)c0 3446   {csn 3618   class class class wbr 4029   X. cxp 4657   1oc1o 6462   ~~ cen 6792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-suc 4402  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-1o 6469  df-en 6795

This theorem is referenced by: (None)