ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xp1en GIF version

Theorem xp1en 6469
Description: One times a cardinal number. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xp1en (𝐴𝑉 → (𝐴 × 1𝑜) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem xp1en
StepHypRef Expression
1 df1o2 6126 . . 3 1𝑜 = {∅}
21xpeq2i 4422 . 2 (𝐴 × 1𝑜) = (𝐴 × {∅})
3 0ex 3931 . . 3 ∅ ∈ V
4 xpsneng 6468 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
53, 4mpan2 416 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
62, 5syl5eqbr 3844 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 × 1𝑜) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1434  Vcvv 2612  c0 3269  {csn 3422   class class class wbr 3811   × cxp 4399  1𝑜c1o 6106  cen 6385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-suc 4162  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-1o 6113  df-en 6388
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator