Theorem xp1en 6789

Description: One times a cardinal number. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xp1en	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 1o) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem xp1en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 6397	. . 3 ⊢ 1o = {∅}
2	1	xpeq2i 4625	. 2 ⊢ (𝐴 × 1o) = (𝐴 × {∅})
3		0ex 4109	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4		xpsneng 6788	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
5	3, 4	mpan2 422	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
6	2, 5	eqbrtrid 4017	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 1o) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726  ∅c0 3409  {csn 3576   class class class wbr 3982   × cxp 4602  1_oc1o 6377   ≈ cen 6704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-suc 4349  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-1o 6384  df-en 6707

This theorem is referenced by: (None)