Theorem xp1en 6879

Description: One times a cardinal number. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xp1en	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 1o) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem xp1en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 6484	. . 3 ⊢ 1o = {∅}
2	1	xpeq2i 4681	. 2 ⊢ (𝐴 × 1o) = (𝐴 × {∅})
3		0ex 4157	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4		xpsneng 6878	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
5	3, 4	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
6	2, 5	eqbrtrid 4065	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 1o) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  ∅c0 3447  {csn 3619   class class class wbr 4030   × cxp 4658  1_oc1o 6464   ≈ cen 6794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-suc 4403  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-1o 6471  df-en 6797

This theorem is referenced by: (None)