Theorem xrltne 9809

Description: 'Less than' implies not equal for extended reals. (Contributed by NM, 20-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrltne	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) -> B =/= A )

Proof of Theorem xrltne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltnr 9775	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> -. A < A )
2		breq2 4006	. . . . . 6 |- ( B = A -> ( A < B <-> A < A ) )
3	2	notbid 667	. . . . 5 |- ( B = A -> ( -. A < B <-> -. A < A ) )
4	1, 3	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( A e. RR* -> ( B = A -> -. A < B ) )
5	4	necon2ad 2404	. . 3 |- ( A e. RR* -> ( A < B -> B =/= A ) )
6	5	imp 124	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ A < B ) -> B =/= A )
7	6	3adant2 1016	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) -> B =/= A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   class class class wbr 4002   RR*cxr 7987   < clt 7988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-pre-ltirr 7920

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-xp 4631  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993

This theorem is referenced by: (None)