Theorem xrltne 10092

Description: 'Less than' implies not equal for extended reals. (Contributed by NM, 20-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrltne	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) -> B =/= A )

Proof of Theorem xrltne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltnr 10058	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> -. A < A )
2		breq2 4097	. . . . . 6 |- ( B = A -> ( A < B <-> A < A ) )
3	2	notbid 673	. . . . 5 |- ( B = A -> ( -. A < B <-> -. A < A ) )
4	1, 3	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( A e. RR* -> ( B = A -> -. A < B ) )
5	4	necon2ad 2460	. . 3 |- ( A e. RR* -> ( A < B -> B =/= A ) )
6	5	imp 124	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ A < B ) -> B =/= A )
7	6	3adant2 1043	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) -> B =/= A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   class class class wbr 4093   RR*cxr 8255   < clt 8256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-pre-ltirr 8187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261

This theorem is referenced by: (None)