Theorem xrletrd 10197

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	|- ( ph -> A e. RR* )
xrlttrd.2	|- ( ph -> B e. RR* )
xrlttrd.3	|- ( ph -> C e. RR* )
xrletrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
xrletrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	|- ( ph -> A <_ C )

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		xrletrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		xrlttrd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR* )
4		xrlttrd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR* )
5		xrlttrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR* )
6		xrletr 10193	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 437	1 |- ( ph -> A <_ C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4128   RR*cxr 8353   <_ cle 8355

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-cnv 4780  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360

This theorem is used by:  xaddge0  10263  xblss2ps  15488  xblss2  15489  comet  15583  xmetxp  15591