Theorem xrltne 9489

Description: 'Less than' implies not equal for extended reals. (Contributed by NM, 20-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrltne	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem xrltne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltnr 9459	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2		breq2 3899	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐴))
3	2	notbid 639	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐴))
4	1, 3	syl5ibrcom 156	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 = 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
5	4	necon2ad 2339	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐴))
6	5	imp 123	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
7	6	3adant2 983	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 945   = wceq 1314   ∈ wcel 1463   ≠ wne 2282   class class class wbr 3895  ℝ^*cxr 7723   < clt 7724

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-pre-ltirr 7657

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-xp 4505  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729

This theorem is referenced by: (None)