Theorem xrltne 9723

Description: 'Less than' implies not equal for extended reals. (Contributed by NM, 20-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrltne	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem xrltne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltnr 9692	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2		breq2 3971	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐴))
3	2	notbid 657	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐴))
4	1, 3	syl5ibrcom 156	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 = 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
5	4	necon2ad 2384	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐴))
6	5	imp 123	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
7	6	3adant2 1001	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 963   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ≠ wne 2327   class class class wbr 3967  ℝ^*cxr 7913   < clt 7914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-pre-ltirr 7846

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-xp 4594  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919

This theorem is referenced by: (None)