ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrltne GIF version

Theorem xrltne 9489
Description: 'Less than' implies not equal for extended reals. (Contributed by NM, 20-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrltne ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem xrltne
StepHypRef Expression
1 xrltnr 9459 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2 breq2 3899 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐴 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐴))
32notbid 639 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐴))
41, 3syl5ibrcom 156 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 = 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
54necon2ad 2339 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
65imp 123 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
763adant2 983 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463  wne 2282   class class class wbr 3895  *cxr 7723   < clt 7724
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-pre-ltirr 7657
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-xp 4505  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator