Theorem 3onn 6580

Description: The ordinal 3 is a natural number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
3onn	⊢ 3o ∈ ω

Proof of Theorem 3onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3o 6476	. 2 ⊢ 3o = suc 2o
2		2onn 6579	. . 3 ⊢ 2o ∈ ω
3		peano2 4631	. . 3 ⊢ (2o ∈ ω → suc 2o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 2o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2269	1 ⊢ 3o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  suc csuc 4400  ωcom 4626  2_oc2o 6468  3_oc3o 6469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840  df-int 3875  df-suc 4406  df-iom 4627  df-1o 6474  df-2o 6475  df-3o 6476

This theorem is referenced by:  4onn  6581  hash4  10906