Theorem 3onn 6577

Description: The ordinal 3 is a natural number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
3onn	⊢ 3o ∈ ω

Proof of Theorem 3onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3o 6473	. 2 ⊢ 3o = suc 2o
2		2onn 6576	. . 3 ⊢ 2o ∈ ω
3		peano2 4628	. . 3 ⊢ (2o ∈ ω → suc 2o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 2o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2266	1 ⊢ 3o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2164  suc csuc 4397  ωcom 4623  2_oc2o 6465  3_oc3o 6466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-uni 3837  df-int 3872  df-suc 4403  df-iom 4624  df-1o 6471  df-2o 6472  df-3o 6473

This theorem is referenced by:  4onn  6578  hash4  10888