Theorem 3onn 6799

Description: The ordinal 3 is a natural number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
3onn	⊢ 3o ∈ ω

Proof of Theorem 3onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3o 6693	. 2 ⊢ 3o = suc 2o
2		2onn 6798	. . 3 ⊢ 2o ∈ ω
3		peano2 4744	. . 3 ⊢ (2o ∈ ω → suc 2o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 2o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2311	1 ⊢ 3o ∈ ω

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  suc csuc 4512  ωcom 4739  2_oc2o 6685  3_oc3o 6686

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-suc 4518  df-iom 4740  df-1o 6691  df-2o 6692  df-3o 6693

This theorem is used by:  4onn  6800  hash4  11277  pw1ninf  17226