Theorem 2onn 6767

Description: The ordinal 2 is a natural number. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6661	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1onn 6766	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
3		peano2 4722	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → suc 1o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2307	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2205  suc csuc 4491  ωcom 4717  1_oc1o 6653  2_oc2o 6654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-uni 3920  df-int 3955  df-suc 4497  df-iom 4718  df-1o 6660  df-2o 6661

This theorem is referenced by:  3onn  6768  2ssom  6770  nn2m  6773  1ndom2  7132  pw1fin  7183  2omap  7282  2omapen  7283  fipwfi  7285  nninfex  7425  infnninfOLD  7429  nnnninf  7430  isomnimap  7441  enomnilem  7442  fodjuf  7449  ismkvmap  7458  ismkvnex  7459  enmkvlem  7465  iswomnimap  7470  enwomnilem  7473  nninfdcinf  7475  nninfwlporlem  7477  nninfwlpoimlemg  7479  exmidonfinlem  7509  exmidfodomrlemr  7518  exmidfodomrlemrALT  7519  pw1ne3  7553  3nsssucpw1  7559  2onetap  7585  2omotaplemap  7587  2omotaplemst  7588  exmidmotap  7591  prarloclemarch2  7750  nq02m  7796  prarloclemlt  7824  prarloclemlo  7825  prarloclem3  7828  prarloclemn  7830  prarloclem5  7831  prarloclemcalc  7833  hash3  11203  hashpwfi  11218  hash2en  11240  unct  13277  xpsfrnel  13641  xpscf  13644  znidom  14917  znidomb  14918  upgrfi  16209  3dom  16874  2o01f  16880  pwle2  16884  pwf1oexmid  16885  subctctexmid  16886  0nninf  16894  nnsf  16895  nninfsellemdc  16900  nninfself  16903  nninffeq  16910  isomninnlem  16926  iswomninnlem  16946  ismkvnnlem  16949