Theorem 2onn 6576

Description: The ordinal 2 is a natural number. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6472	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1onn 6575	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
3		peano2 4628	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → suc 1o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2266	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2164  suc csuc 4397  ωcom 4623  1_oc1o 6464  2_oc2o 6465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-uni 3837  df-int 3872  df-suc 4403  df-iom 4624  df-1o 6471  df-2o 6472

This theorem is referenced by:  3onn  6577  2ssom  6579  nn2m  6582  pw1fin  6968  nninfex  7182  infnninfOLD  7186  nnnninf  7187  isomnimap  7198  enomnilem  7199  fodjuf  7206  ismkvmap  7215  ismkvnex  7216  enmkvlem  7222  iswomnimap  7227  enwomnilem  7230  nninfdcinf  7232  nninfwlporlem  7234  nninfwlpoimlemg  7236  exmidonfinlem  7255  exmidfodomrlemr  7264  exmidfodomrlemrALT  7265  pw1ne3  7292  3nsssucpw1  7298  2onetap  7317  2omotaplemap  7319  2omotaplemst  7320  exmidmotap  7323  prarloclemarch2  7481  nq02m  7527  prarloclemlt  7555  prarloclemlo  7556  prarloclem3  7559  prarloclemn  7561  prarloclem5  7562  prarloclemcalc  7564  hash3  10887  unct  12602  xpsfrnel  12930  xpscf  12933  znidom  14156  znidomb  14157  2o01f  15557  pwle2  15559  pwf1oexmid  15560  subctctexmid  15561  0nninf  15564  nnsf  15565  nninfsellemdc  15570  nninfself  15573  nninffeq  15580  isomninnlem  15590  iswomninnlem  15609  ismkvnnlem  15612