Theorem 2onn 6799

Description: The ordinal 2 is a natural number. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6693	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1onn 6798	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
3		peano2 4744	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → suc 1o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2311	1 ⊢ 2o ∈ ω

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  suc csuc 4512  ωcom 4739  1_oc1o 6685  2_oc2o 6686

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-suc 4518  df-iom 4740  df-1o 6692  df-2o 6693

This theorem is used by:  3onn  6800  2ssom  6802  nn2m  6805  1ndom2  7172  pw1fin  7223  2omap  7325  2omapen  7326  fipwfi  7328  nninfex  7468  infnninfOLD  7472  nnnninf  7473  isomnimap  7484  enomnilem  7485  fodjuf  7492  ismkvmap  7501  ismkvnex  7502  enmkvlem  7508  iswomnimap  7513  enwomnilem  7516  nninfdcinf  7518  nninfwlporlem  7520  nninfwlpoimlemg  7522  exmidonfinlem  7552  exmidfodomrlemr  7561  exmidfodomrlemrALT  7562  pw1ne3  7596  3nsssucpw1  7602  2onetap  7628  2omotaplemap  7630  2omotaplemst  7631  exmidmotap  7634  prarloclemarch2  7793  nq02m  7839  prarloclemlt  7867  prarloclemlo  7868  prarloclem3  7871  prarloclemn  7873  prarloclem5  7874  prarloclemcalc  7876  hash3  11276  hashpwfi  11291  hash2en  11317  unct  13391  xpsfrnel  13724  xpscf  13727  znidom  15101  znidomb  15102  upgrfi  16581  3dom  17256  2o01f  17262  pwle2  17266  pwf1oexmid  17267  subctctexmid  17268  0nninf  17286  nnsf  17287  nninfsellemdc  17292  nninfself  17295  nninffeq  17302  isomninnlem  17318  iswomninnlem  17339  ismkvnnlem  17342