Theorem 2onn 6574

Description: The ordinal 2 is a natural number. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6470	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1onn 6573	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
3		peano2 4627	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → suc 1o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2266	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2164  suc csuc 4396  ωcom 4622  1_oc1o 6462  2_oc2o 6463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-int 3871  df-suc 4402  df-iom 4623  df-1o 6469  df-2o 6470

This theorem is referenced by:  3onn  6575  2ssom  6577  nn2m  6580  pw1fin  6966  nninfex  7180  infnninfOLD  7184  nnnninf  7185  isomnimap  7196  enomnilem  7197  fodjuf  7204  ismkvmap  7213  ismkvnex  7214  enmkvlem  7220  iswomnimap  7225  enwomnilem  7228  nninfdcinf  7230  nninfwlporlem  7232  nninfwlpoimlemg  7234  exmidonfinlem  7253  exmidfodomrlemr  7262  exmidfodomrlemrALT  7263  pw1ne3  7290  3nsssucpw1  7296  2onetap  7315  2omotaplemap  7317  2omotaplemst  7318  exmidmotap  7321  prarloclemarch2  7479  nq02m  7525  prarloclemlt  7553  prarloclemlo  7554  prarloclem3  7557  prarloclemn  7559  prarloclem5  7560  prarloclemcalc  7562  hash3  10884  unct  12599  xpsfrnel  12927  xpscf  12930  znidom  14145  znidomb  14146  2o01f  15487  pwle2  15489  pwf1oexmid  15490  subctctexmid  15491  0nninf  15494  nnsf  15495  nninfsellemdc  15500  nninfself  15503  nninffeq  15510  isomninnlem  15520  iswomninnlem  15539  ismkvnnlem  15542