Theorem 2onn 6581

Description: The ordinal 2 is a natural number. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6477	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1onn 6580	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
3		peano2 4632	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → suc 1o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2269	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  suc csuc 4401  ωcom 4627  1_oc1o 6469  2_oc2o 6470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-int 3876  df-suc 4407  df-iom 4628  df-1o 6476  df-2o 6477

This theorem is referenced by:  3onn  6582  2ssom  6584  nn2m  6587  pw1fin  6973  nninfex  7189  infnninfOLD  7193  nnnninf  7194  isomnimap  7205  enomnilem  7206  fodjuf  7213  ismkvmap  7222  ismkvnex  7223  enmkvlem  7229  iswomnimap  7234  enwomnilem  7237  nninfdcinf  7239  nninfwlporlem  7241  nninfwlpoimlemg  7243  exmidonfinlem  7263  exmidfodomrlemr  7272  exmidfodomrlemrALT  7273  pw1ne3  7300  3nsssucpw1  7306  2onetap  7325  2omotaplemap  7327  2omotaplemst  7328  exmidmotap  7331  prarloclemarch2  7489  nq02m  7535  prarloclemlt  7563  prarloclemlo  7564  prarloclem3  7567  prarloclemn  7569  prarloclem5  7570  prarloclemcalc  7572  hash3  10908  unct  12670  xpsfrnel  13013  xpscf  13016  znidom  14239  znidomb  14240  2o01f  15667  pwle2  15669  pwf1oexmid  15670  subctctexmid  15671  0nninf  15675  nnsf  15676  nninfsellemdc  15681  nninfself  15684  nninffeq  15691  isomninnlem  15701  iswomninnlem  15720  ismkvnnlem  15723