Theorem 2onn 6689

Description: The ordinal 2 is a natural number. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6583	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1onn 6688	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
3		peano2 4693	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → suc 1o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2304	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  suc csuc 4462  ωcom 4688  1_oc1o 6575  2_oc2o 6576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-int 3929  df-suc 4468  df-iom 4689  df-1o 6582  df-2o 6583

This theorem is referenced by:  3onn  6690  2ssom  6692  nn2m  6695  1ndom2  7051  pw1fin  7102  nninfex  7320  infnninfOLD  7324  nnnninf  7325  isomnimap  7336  enomnilem  7337  fodjuf  7344  ismkvmap  7353  ismkvnex  7354  enmkvlem  7360  iswomnimap  7365  enwomnilem  7368  nninfdcinf  7370  nninfwlporlem  7372  nninfwlpoimlemg  7374  exmidonfinlem  7404  exmidfodomrlemr  7413  exmidfodomrlemrALT  7414  pw1ne3  7448  3nsssucpw1  7454  2onetap  7474  2omotaplemap  7476  2omotaplemst  7477  exmidmotap  7480  prarloclemarch2  7639  nq02m  7685  prarloclemlt  7713  prarloclemlo  7714  prarloclem3  7717  prarloclemn  7719  prarloclem5  7720  prarloclemcalc  7722  hash3  11078  hash2en  11108  unct  13068  xpsfrnel  13432  xpscf  13435  znidom  14677  znidomb  14678  upgrfi  15959  3dom  16613  2o01f  16619  2omap  16620  2omapen  16621  pwle2  16625  pwf1oexmid  16626  subctctexmid  16627  0nninf  16632  nnsf  16633  nninfsellemdc  16638  nninfself  16641  nninffeq  16648  isomninnlem  16660  iswomninnlem  16679  ismkvnnlem  16682