Theorem 2onn 6732

Description: The ordinal 2 is a natural number. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6626	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1onn 6731	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
3		peano2 4699	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → suc 1o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2304	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  suc csuc 4468  ωcom 4694  1_oc1o 6618  2_oc2o 6619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-int 3934  df-suc 4474  df-iom 4695  df-1o 6625  df-2o 6626

This theorem is referenced by:  3onn  6733  2ssom  6735  nn2m  6738  1ndom2  7094  pw1fin  7145  nninfex  7363  infnninfOLD  7367  nnnninf  7368  isomnimap  7379  enomnilem  7380  fodjuf  7387  ismkvmap  7396  ismkvnex  7397  enmkvlem  7403  iswomnimap  7408  enwomnilem  7411  nninfdcinf  7413  nninfwlporlem  7415  nninfwlpoimlemg  7417  exmidonfinlem  7447  exmidfodomrlemr  7456  exmidfodomrlemrALT  7457  pw1ne3  7491  3nsssucpw1  7497  2onetap  7517  2omotaplemap  7519  2omotaplemst  7520  exmidmotap  7523  prarloclemarch2  7682  nq02m  7728  prarloclemlt  7756  prarloclemlo  7757  prarloclem3  7760  prarloclemn  7762  prarloclem5  7763  prarloclemcalc  7765  hash3  11121  hash2en  11151  unct  13124  xpsfrnel  13488  xpscf  13491  znidom  14733  znidomb  14734  upgrfi  16023  3dom  16688  2o01f  16694  2omap  16695  2omapen  16696  pwle2  16700  pwf1oexmid  16701  subctctexmid  16702  0nninf  16710  nnsf  16711  nninfsellemdc  16716  nninfself  16719  nninffeq  16726  isomninnlem  16742  iswomninnlem  16762  ismkvnnlem  16765