Theorem 2onn 6680

Description: The ordinal 2 is a natural number. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6574	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1onn 6679	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
3		peano2 4688	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → suc 1o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2302	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  suc csuc 4457  ωcom 4683  1_oc1o 6566  2_oc2o 6567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889  df-int 3924  df-suc 4463  df-iom 4684  df-1o 6573  df-2o 6574

This theorem is referenced by:  3onn  6681  2ssom  6683  nn2m  6686  1ndom2  7039  pw1fin  7088  nninfex  7304  infnninfOLD  7308  nnnninf  7309  isomnimap  7320  enomnilem  7321  fodjuf  7328  ismkvmap  7337  ismkvnex  7338  enmkvlem  7344  iswomnimap  7349  enwomnilem  7352  nninfdcinf  7354  nninfwlporlem  7356  nninfwlpoimlemg  7358  exmidonfinlem  7387  exmidfodomrlemr  7396  exmidfodomrlemrALT  7397  pw1ne3  7431  3nsssucpw1  7437  2onetap  7457  2omotaplemap  7459  2omotaplemst  7460  exmidmotap  7463  prarloclemarch2  7622  nq02m  7668  prarloclemlt  7696  prarloclemlo  7697  prarloclem3  7700  prarloclemn  7702  prarloclem5  7703  prarloclemcalc  7705  hash3  11053  hash2en  11083  unct  13034  xpsfrnel  13398  xpscf  13401  znidom  14642  znidomb  14643  upgrfi  15923  3dom  16465  2o01f  16471  2omap  16472  2omapen  16473  pwle2  16477  pwf1oexmid  16478  subctctexmid  16479  0nninf  16484  nnsf  16485  nninfsellemdc  16490  nninfself  16493  nninffeq  16500  isomninnlem  16512  iswomninnlem  16531  ismkvnnlem  16534