Theorem 2onn 6500

Description: The ordinal 2 is a natural number. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6396	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1onn 6499	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
3		peano2 4579	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → suc 1o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2243	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  suc csuc 4350  ωcom 4574  1_oc1o 6388  2_oc2o 6389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-suc 4356  df-iom 4575  df-1o 6395  df-2o 6396

This theorem is referenced by:  3onn  6501  2ssom  6503  nn2m  6506  pw1fin  6888  nninfex  7098  infnninfOLD  7101  nnnninf  7102  isomnimap  7113  enomnilem  7114  fodjuf  7121  ismkvmap  7130  ismkvnex  7131  enmkvlem  7137  iswomnimap  7142  enwomnilem  7145  nninfdcinf  7147  nninfwlporlem  7149  nninfwlpoimlemg  7151  exmidonfinlem  7170  exmidfodomrlemr  7179  exmidfodomrlemrALT  7180  pw1ne3  7207  3nsssucpw1  7213  prarloclemarch2  7381  nq02m  7427  prarloclemlt  7455  prarloclemlo  7456  prarloclem3  7459  prarloclemn  7461  prarloclem5  7462  prarloclemcalc  7464  hash3  10748  unct  12397  2o01f  14029  pwle2  14031  pwf1oexmid  14032  subctctexmid  14034  0nninf  14037  nnsf  14038  nninfsellemdc  14043  nninfself  14046  nninffeq  14053  isomninnlem  14062  iswomninnlem  14081  ismkvnnlem  14084