Theorem 2onn 6794

Description: The ordinal 2 is a natural number. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6688	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1onn 6793	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
3		peano2 4742	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → suc 1o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2311	1 ⊢ 2o ∈ ω

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  suc csuc 4510  ωcom 4737  1_oc1o 6680  2_oc2o 6681

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-suc 4516  df-iom 4738  df-1o 6687  df-2o 6688

This theorem is used by:  3onn  6795  2ssom  6797  nn2m  6800  1ndom2  7166  pw1fin  7217  2omap  7318  2omapen  7319  fipwfi  7321  nninfex  7461  infnninfOLD  7465  nnnninf  7466  isomnimap  7477  enomnilem  7478  fodjuf  7485  ismkvmap  7494  ismkvnex  7495  enmkvlem  7501  iswomnimap  7506  enwomnilem  7509  nninfdcinf  7511  nninfwlporlem  7513  nninfwlpoimlemg  7515  exmidonfinlem  7545  exmidfodomrlemr  7554  exmidfodomrlemrALT  7555  pw1ne3  7589  3nsssucpw1  7595  2onetap  7621  2omotaplemap  7623  2omotaplemst  7624  exmidmotap  7627  prarloclemarch2  7786  nq02m  7832  prarloclemlt  7860  prarloclemlo  7861  prarloclem3  7864  prarloclemn  7866  prarloclem5  7867  prarloclemcalc  7869  hash3  11256  hashpwfi  11271  hash2en  11297  unct  13335  xpsfrnel  13667  xpscf  13670  znidom  14994  znidomb  14995  upgrfi  16355  3dom  17030  2o01f  17036  pwle2  17040  pwf1oexmid  17041  subctctexmid  17042  0nninf  17059  nnsf  17060  nninfsellemdc  17065  nninfself  17068  nninffeq  17075  isomninnlem  17091  iswomninnlem  17111  ismkvnnlem  17114