Theorem 2onn 6617

Description: The ordinal 2 is a natural number. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6513	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1onn 6616	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
3		peano2 4648	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → suc 1o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2279	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2177  suc csuc 4417  ωcom 4643  1_oc1o 6505  2_oc2o 6506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-uni 3854  df-int 3889  df-suc 4423  df-iom 4644  df-1o 6512  df-2o 6513

This theorem is referenced by:  3onn  6618  2ssom  6620  nn2m  6623  pw1fin  7019  nninfex  7235  infnninfOLD  7239  nnnninf  7240  isomnimap  7251  enomnilem  7252  fodjuf  7259  ismkvmap  7268  ismkvnex  7269  enmkvlem  7275  iswomnimap  7280  enwomnilem  7283  nninfdcinf  7285  nninfwlporlem  7287  nninfwlpoimlemg  7289  exmidonfinlem  7314  exmidfodomrlemr  7323  exmidfodomrlemrALT  7324  pw1ne3  7355  3nsssucpw1  7361  2onetap  7380  2omotaplemap  7382  2omotaplemst  7383  exmidmotap  7386  prarloclemarch2  7545  nq02m  7591  prarloclemlt  7619  prarloclemlo  7620  prarloclem3  7623  prarloclemn  7625  prarloclem5  7626  prarloclemcalc  7628  hash3  10971  hash2en  11001  unct  12863  xpsfrnel  13226  xpscf  13229  znidom  14469  znidomb  14470  upgrfi  15748  2o01f  16046  2omap  16047  2omapen  16048  pwle2  16050  pwf1oexmid  16051  subctctexmid  16052  0nninf  16056  nnsf  16057  nninfsellemdc  16062  nninfself  16065  nninffeq  16072  isomninnlem  16084  iswomninnlem  16103  ismkvnnlem  16106