Theorem 2onn 6788

Description: The ordinal 2 is a natural number. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6682	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1onn 6787	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
3		peano2 4740	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → suc 1o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2311	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2209  suc csuc 4508  ωcom 4735  1_oc1o 6674  2_oc2o 6675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-uni 3934  df-int 3969  df-suc 4514  df-iom 4736  df-1o 6681  df-2o 6682

This theorem is referenced by:  3onn  6789  2ssom  6791  nn2m  6794  1ndom2  7160  pw1fin  7211  2omap  7312  2omapen  7313  fipwfi  7315  nninfex  7455  infnninfOLD  7459  nnnninf  7460  isomnimap  7471  enomnilem  7472  fodjuf  7479  ismkvmap  7488  ismkvnex  7489  enmkvlem  7495  iswomnimap  7500  enwomnilem  7503  nninfdcinf  7505  nninfwlporlem  7507  nninfwlpoimlemg  7509  exmidonfinlem  7539  exmidfodomrlemr  7548  exmidfodomrlemrALT  7549  pw1ne3  7583  3nsssucpw1  7589  2onetap  7615  2omotaplemap  7617  2omotaplemst  7618  exmidmotap  7621  prarloclemarch2  7780  nq02m  7826  prarloclemlt  7854  prarloclemlo  7855  prarloclem3  7858  prarloclemn  7860  prarloclem5  7861  prarloclemcalc  7863  hash3  11237  hashpwfi  11252  hash2en  11278  unct  13316  xpsfrnel  13648  xpscf  13651  znidom  14975  znidomb  14976  upgrfi  16326  3dom  17001  2o01f  17007  pwle2  17011  pwf1oexmid  17012  subctctexmid  17013  0nninf  17021  nnsf  17022  nninfsellemdc  17027  nninfself  17030  nninffeq  17037  isomninnlem  17053  iswomninnlem  17073  ismkvnnlem  17076