Theorem 2onn 6425

Description: The ordinal 2 is a natural number. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6322	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1onn 6424	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
3		peano2 4517	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → suc 1o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2213	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 1481  suc csuc 4295  ωcom 4512  1_oc1o 6314  2_oc2o 6315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-uni 3745  df-int 3780  df-suc 4301  df-iom 4513  df-1o 6321  df-2o 6322

This theorem is referenced by:  3onn  6426  nn2m  6430  isomnimap  7017  enomnilem  7018  fodjuf  7025  infnninf  7030  nnnninf  7031  ismkvmap  7036  ismkvnex  7037  enmkvlem  7043  iswomnimap  7048  enwomnilem  7050  exmidonfinlem  7066  exmidfodomrlemr  7075  exmidfodomrlemrALT  7076  prarloclemarch2  7251  nq02m  7297  prarloclemlt  7325  prarloclemlo  7326  prarloclem3  7329  prarloclemn  7331  prarloclem5  7332  prarloclemcalc  7334  hash3  10591  unct  11991  2o01f  13364  pwle2  13366  pwf1oexmid  13367  subctctexmid  13369  0nninf  13372  nnsf  13374  nninfex  13380  nninfsellemdc  13381  nninfself  13384  nninffeq  13391  isomninnlem  13400  iswomninnlem  13417  ismkvnnlem  13419