Theorem 2onn 6675

Description: The ordinal 2 is a natural number. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6569	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1onn 6674	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
3		peano2 4687	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → suc 1o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2302	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  suc csuc 4456  ωcom 4682  1_oc1o 6561  2_oc2o 6562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889  df-int 3924  df-suc 4462  df-iom 4683  df-1o 6568  df-2o 6569

This theorem is referenced by:  3onn  6676  2ssom  6678  nn2m  6681  1ndom2  7034  pw1fin  7080  nninfex  7296  infnninfOLD  7300  nnnninf  7301  isomnimap  7312  enomnilem  7313  fodjuf  7320  ismkvmap  7329  ismkvnex  7330  enmkvlem  7336  iswomnimap  7341  enwomnilem  7344  nninfdcinf  7346  nninfwlporlem  7348  nninfwlpoimlemg  7350  exmidonfinlem  7379  exmidfodomrlemr  7388  exmidfodomrlemrALT  7389  pw1ne3  7423  3nsssucpw1  7429  2onetap  7449  2omotaplemap  7451  2omotaplemst  7452  exmidmotap  7455  prarloclemarch2  7614  nq02m  7660  prarloclemlt  7688  prarloclemlo  7689  prarloclem3  7692  prarloclemn  7694  prarloclem5  7695  prarloclemcalc  7697  hash3  11043  hash2en  11073  unct  13021  xpsfrnel  13385  xpscf  13388  znidom  14629  znidomb  14630  upgrfi  15910  3dom  16381  2o01f  16387  2omap  16388  2omapen  16389  pwle2  16393  pwf1oexmid  16394  subctctexmid  16395  0nninf  16400  nnsf  16401  nninfsellemdc  16406  nninfself  16409  nninffeq  16416  isomninnlem  16428  iswomninnlem  16447  ismkvnnlem  16450