Theorem 2onn 6489

Description: The ordinal 2 is a natural number. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6385	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1onn 6488	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
3		peano2 4572	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → suc 1o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2239	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2136  suc csuc 4343  ωcom 4567  1_oc1o 6377  2_oc2o 6378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-int 3825  df-suc 4349  df-iom 4568  df-1o 6384  df-2o 6385

This theorem is referenced by:  3onn  6490  nn2m  6494  pw1fin  6876  nninfex  7086  infnninfOLD  7089  nnnninf  7090  isomnimap  7101  enomnilem  7102  fodjuf  7109  ismkvmap  7118  ismkvnex  7119  enmkvlem  7125  iswomnimap  7130  enwomnilem  7133  exmidonfinlem  7149  exmidfodomrlemr  7158  exmidfodomrlemrALT  7159  pw1ne3  7186  3nsssucpw1  7192  prarloclemarch2  7360  nq02m  7406  prarloclemlt  7434  prarloclemlo  7435  prarloclem3  7438  prarloclemn  7440  prarloclem5  7441  prarloclemcalc  7443  hash3  10726  unct  12375  2ssom  13684  2o01f  13876  pwle2  13878  pwf1oexmid  13879  subctctexmid  13881  0nninf  13884  nnsf  13885  nninfsellemdc  13890  nninfself  13893  nninffeq  13900  isomninnlem  13909  iswomninnlem  13928  ismkvnnlem  13931