Theorem 2onn 6794

Description: The ordinal 2 is a natural number. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6688	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1onn 6793	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
3		peano2 4742	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → suc 1o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2311	1 ⊢ 2o ∈ ω

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  suc csuc 4510  ωcom 4737  1_oc1o 6680  2_oc2o 6681

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-suc 4516  df-iom 4738  df-1o 6687  df-2o 6688

This theorem is used by:  3onn  6795  2ssom  6797  nn2m  6800  1ndom2  7166  pw1fin  7217  2omap  7319  2omapen  7320  fipwfi  7322  nninfex  7462  infnninfOLD  7466  nnnninf  7467  isomnimap  7478  enomnilem  7479  fodjuf  7486  ismkvmap  7495  ismkvnex  7496  enmkvlem  7502  iswomnimap  7507  enwomnilem  7510  nninfdcinf  7512  nninfwlporlem  7514  nninfwlpoimlemg  7516  exmidonfinlem  7546  exmidfodomrlemr  7555  exmidfodomrlemrALT  7556  pw1ne3  7590  3nsssucpw1  7596  2onetap  7622  2omotaplemap  7624  2omotaplemst  7625  exmidmotap  7628  prarloclemarch2  7787  nq02m  7833  prarloclemlt  7861  prarloclemlo  7862  prarloclem3  7865  prarloclemn  7867  prarloclem5  7868  prarloclemcalc  7870  hash3  11269  hashpwfi  11284  hash2en  11310  unct  13384  xpsfrnel  13716  xpscf  13719  znidom  15043  znidomb  15044  upgrfi  16465  3dom  17140  2o01f  17146  pwle2  17150  pwf1oexmid  17151  subctctexmid  17152  0nninf  17169  nnsf  17170  nninfsellemdc  17175  nninfself  17178  nninffeq  17185  isomninnlem  17201  iswomninnlem  17221  ismkvnnlem  17224