Theorem 2onn 6684

Description: The ordinal 2 is a natural number. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 6578	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1onn 6683	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
3		peano2 4691	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → suc 1o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2302	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  suc csuc 4460  ωcom 4686  1_oc1o 6570  2_oc2o 6571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-uni 3892  df-int 3927  df-suc 4466  df-iom 4687  df-1o 6577  df-2o 6578

This theorem is referenced by:  3onn  6685  2ssom  6687  nn2m  6690  1ndom2  7046  pw1fin  7097  nninfex  7314  infnninfOLD  7318  nnnninf  7319  isomnimap  7330  enomnilem  7331  fodjuf  7338  ismkvmap  7347  ismkvnex  7348  enmkvlem  7354  iswomnimap  7359  enwomnilem  7362  nninfdcinf  7364  nninfwlporlem  7366  nninfwlpoimlemg  7368  exmidonfinlem  7397  exmidfodomrlemr  7406  exmidfodomrlemrALT  7407  pw1ne3  7441  3nsssucpw1  7447  2onetap  7467  2omotaplemap  7469  2omotaplemst  7470  exmidmotap  7473  prarloclemarch2  7632  nq02m  7678  prarloclemlt  7706  prarloclemlo  7707  prarloclem3  7710  prarloclemn  7712  prarloclem5  7713  prarloclemcalc  7715  hash3  11070  hash2en  11100  unct  13056  xpsfrnel  13420  xpscf  13423  znidom  14664  znidomb  14665  upgrfi  15946  3dom  16537  2o01f  16543  2omap  16544  2omapen  16545  pwle2  16549  pwf1oexmid  16550  subctctexmid  16551  0nninf  16556  nnsf  16557  nninfsellemdc  16562  nninfself  16565  nninffeq  16572  isomninnlem  16584  iswomninnlem  16603  ismkvnnlem  16606