ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2 GIF version

Theorem peano2 4376
Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
peano2 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2623 . 2 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ V)
2 simpl 107 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}) → 𝐴 ∈ V)
3 eleq1 2147 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑧𝐴𝑧))
4 suceq 4196 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → suc 𝑥 = suc 𝐴)
54eleq1d 2153 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (suc 𝑥𝑧 ↔ suc 𝐴𝑧))
63, 5imbi12d 232 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑧 → suc 𝑥𝑧) ↔ (𝐴𝑧 → suc 𝐴𝑧)))
76adantl 271 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((𝑥𝑧 → suc 𝑥𝑧) ↔ (𝐴𝑧 → suc 𝐴𝑧)))
8 df-clab 2072 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} ↔ [𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦))
9 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12 ((∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦) → ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)
10 df-ral 2360 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑥(𝑥𝑦 → suc 𝑥𝑦))
119, 10sylib 120 . . . . . . . . . . 11 ((∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦) → ∀𝑥(𝑥𝑦 → suc 𝑥𝑦))
1211sbimi 1691 . . . . . . . . . 10 ([𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦) → [𝑧 / 𝑦]∀𝑥(𝑥𝑦 → suc 𝑥𝑦))
13 sbim 1872 . . . . . . . . . . . 12 ([𝑧 / 𝑦](𝑥𝑦 → suc 𝑥𝑦) ↔ ([𝑧 / 𝑦]𝑥𝑦 → [𝑧 / 𝑦]suc 𝑥𝑦))
14 elsb4 1898 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝑧 / 𝑦]𝑥𝑦𝑥𝑧)
15 clelsb4 2190 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝑧 / 𝑦]suc 𝑥𝑦 ↔ suc 𝑥𝑧)
1614, 15imbi12i 237 . . . . . . . . . . . 12 (([𝑧 / 𝑦]𝑥𝑦 → [𝑧 / 𝑦]suc 𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑧 → suc 𝑥𝑧))
1713, 16bitri 182 . . . . . . . . . . 11 ([𝑧 / 𝑦](𝑥𝑦 → suc 𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑧 → suc 𝑥𝑧))
1817sbalv 1926 . . . . . . . . . 10 ([𝑧 / 𝑦]∀𝑥(𝑥𝑦 → suc 𝑥𝑦) ↔ ∀𝑥(𝑥𝑧 → suc 𝑥𝑧))
1912, 18sylib 120 . . . . . . . . 9 ([𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦) → ∀𝑥(𝑥𝑧 → suc 𝑥𝑧))
208, 19sylbi 119 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} → ∀𝑥(𝑥𝑧 → suc 𝑥𝑧))
212019.21bi 1493 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} → (𝑥𝑧 → suc 𝑥𝑧))
2221adantl 271 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}) → (𝑥𝑧 → suc 𝑥𝑧))
23 nfv 1464 . . . . . . 7 𝑥 𝐴 ∈ V
24 nfv 1464 . . . . . . . . 9 𝑥∅ ∈ 𝑦
25 nfra1 2405 . . . . . . . . 9 𝑥𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦
2624, 25nfan 1500 . . . . . . . 8 𝑥(∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)
2726nfsab 2077 . . . . . . 7 𝑥 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}
2823, 27nfan 1500 . . . . . 6 𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)})
29 nfcvd 2226 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}) → 𝑥𝐴)
30 nfvd 1465 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}) → Ⅎ𝑥(𝐴𝑧 → suc 𝐴𝑧))
312, 7, 22, 28, 29, 30vtocldf 2663 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}) → (𝐴𝑧 → suc 𝐴𝑧))
3231ralrimiva 2442 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} (𝐴𝑧 → suc 𝐴𝑧))
33 ralim 2430 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} (𝐴𝑧 → suc 𝐴𝑧) → (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}𝐴𝑧 → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}suc 𝐴𝑧))
34 elintg 3673 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (𝐴 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}𝐴𝑧))
35 sucexg 4281 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → suc 𝐴 ∈ V)
36 elintg 3673 . . . . . . 7 (suc 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}suc 𝐴𝑧))
3735, 36syl 14 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}suc 𝐴𝑧))
3834, 37imbi12d 232 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → ((𝐴 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} → suc 𝐴 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}𝐴𝑧 → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}suc 𝐴𝑧)))
3933, 38syl5ibr 154 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} (𝐴𝑧 → suc 𝐴𝑧) → (𝐴 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} → suc 𝐴 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)})))
4032, 39mpd 13 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} → suc 𝐴 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}))
41 dfom3 4373 . . . 4 ω = {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}
4241eleq2i 2151 . . 3 (𝐴 ∈ ω ↔ 𝐴 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)})
4341eleq2i 2151 . . 3 (suc 𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)})
4440, 42, 433imtr4g 203 . 2 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω))
451, 44mpcom 36 1 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wal 1285   = wceq 1287  wcel 1436  [wsb 1689  {cab 2071  wral 2355  Vcvv 2614  c0 3272   cint 3665  suc csuc 4159  ωcom 4371
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2616  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-uni 3631  df-int 3666  df-suc 4165  df-iom 4372
This theorem is referenced by:  peano5  4379  limom  4394  peano2b  4395  nnregexmid  4400  omsinds  4401  freccllem  6102  frecfcllem  6104  frecsuclem  6106  frecrdg  6108  nnacl  6176  nnacom  6180  nnmsucr  6184  nnsucsssuc  6188  nnaword  6203  1onn  6212  2onn  6213  3onn  6214  4onn  6215  nnaordex  6219  php5  6507  phplem4dom  6511  php5dom  6512  phplem4on  6516  dif1en  6528  findcard  6537  findcard2  6538  findcard2s  6539  infnfi  6544  unsnfi  6559  infnninf  6726  nnnninf  6727  frec2uzrand  9715  frecuzrdgsuc  9724  frecuzrdgsuctlem  9733  frecfzennn  9736  hashunlem  10061  0nninf  11249  nnsf  11251  peano4nninf  11252  nninfalllemn  11254  nninfsellemdc  11258  nninfsellemsuc  11260  nninfself  11261  nninfsellemeqinf  11264
  Copyright terms: Public domain W3C validator