Theorem peano2 4742

Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
peano2	⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ V)
2		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}) → 𝐴 ∈ V)
3		eleq1 2301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝐴 ∈ 𝑧))
4		suceq 4547	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → suc 𝑥 = suc 𝐴)
5	4	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (suc 𝑥 ∈ 𝑧 ↔ suc 𝐴 ∈ 𝑧))
6	3, 5	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ (𝐴 ∈ 𝑧 → suc 𝐴 ∈ 𝑧)))
7	6	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ (𝐴 ∈ 𝑧 → suc 𝐴 ∈ 𝑧)))
8		df-clab 2225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ↔ [𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦))
9		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)
10		df-ral 2533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → suc 𝑥 ∈ 𝑦))
11	9, 10	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → suc 𝑥 ∈ 𝑦))
12	11	sbimi 1817	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → [𝑧 / 𝑦]∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → suc 𝑥 ∈ 𝑦))
13		sbim 2013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([𝑧 / 𝑦](𝑥 ∈ 𝑦 → suc 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ ([𝑧 / 𝑦]𝑥 ∈ 𝑦 → [𝑧 / 𝑦]suc 𝑥 ∈ 𝑦))
14		clelsb2 2344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝑧 / 𝑦]𝑥 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑧)
15		clelsb2 2344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝑧 / 𝑦]suc 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ suc 𝑥 ∈ 𝑧)
16	14, 15	imbi12i 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (([𝑧 / 𝑦]𝑥 ∈ 𝑦 → [𝑧 / 𝑦]suc 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧))
17	13, 16	bitri 184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([𝑧 / 𝑦](𝑥 ∈ 𝑦 → suc 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧))
18	17	sbalv 2065	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([𝑧 / 𝑦]∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → suc 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧))
19	12, 18	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ ([𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧))
20	8, 19	sylbi 121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧))
21	20	19.21bi 1611	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} → (𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧))
22	21	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}) → (𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧))
23		nfv 1581	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ V
24		nfv 1581	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∅ ∈ 𝑦
25		nfra1 2581	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦
26	24, 25	nfan 1618	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)
27	26	nfsab 2230	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}
28	23, 27	nfan 1618	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)})
29		nfcvd 2393	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}) → Ⅎ𝑥𝐴)
30		nfvd 1582	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}) → Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ 𝑧 → suc 𝐴 ∈ 𝑧))
31	2, 7, 22, 28, 29, 30	vtocldf 2874	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}) → (𝐴 ∈ 𝑧 → suc 𝐴 ∈ 𝑧))
32	31	ralrimiva 2623	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} (𝐴 ∈ 𝑧 → suc 𝐴 ∈ 𝑧))
33		ralim 2609	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} (𝐴 ∈ 𝑧 → suc 𝐴 ∈ 𝑧) → (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}𝐴 ∈ 𝑧 → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}suc 𝐴 ∈ 𝑧))
34		elintg 3978	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}𝐴 ∈ 𝑧))
35		sucexg 4645	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → suc 𝐴 ∈ V)
36		elintg 3978	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}suc 𝐴 ∈ 𝑧))
37	35, 36	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}suc 𝐴 ∈ 𝑧))
38	34, 37	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} → suc 𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}𝐴 ∈ 𝑧 → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}suc 𝐴 ∈ 𝑧)))
39	33, 38	imbitrrid 156	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} (𝐴 ∈ 𝑧 → suc 𝐴 ∈ 𝑧) → (𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} → suc 𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)})))
40	32, 39	mpd 13	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} → suc 𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}))
41		dfom3 4739	. . . 4 ⊢ ω = ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}
42	41	eleq2i 2305	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)})
43	41	eleq2i 2305	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)})
44	40, 42, 43	3imtr4g 205	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω))
45	1, 44	mpcom 36	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1400   = wceq 1402  [wsb 1815   ∈ wcel 2209  {cab 2224  ∀wral 2528  Vcvv 2821  ∅c0 3520  ∩ cint 3970  suc csuc 4510  ωcom 4737

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-suc 4516  df-iom 4738

This theorem is used by:  peano5  4745  limom  4761  peano2b  4762  nnregexmid  4768  omsinds  4769  freccllem  6673  frecfcllem  6675  frecsuclem  6677  frecrdg  6679  nnacl  6753  nnacom  6757  nnmsucr  6761  nnsucsssuc  6765  nnaword  6784  1onn  6793  2onn  6794  3onn  6795  4onn  6796  nnaordex  6801  php5  7159  phplem4dom  7163  php5dom  7164  phplem4on  7169  dif1en  7183  findcard  7192  findcard2  7193  findcard2s  7194  infnfi  7199  unsnfi  7226  omp1eomlem  7434  ctmlemr  7448  nninfninc  7463  infnninf  7464  infnninfOLD  7465  nnnninf  7466  nnnninfeq  7468  nninfwlpoimlemg  7515  nninfwlpoimlemginf  7516  frec2uzrand  10842  frecuzrdgsuc  10851  frecuzrdgsuctlem  10860  frecfzennn  10863  hashunlem  11244  ennnfonelemk  13291  ennnfonelemg  13294  ennnfonelemkh  13303  ennnfonelemhf1o  13304  ennnfonelemex  13305  ennnfonelemrn  13310  ennnfonelemnn0  13313  ctinfomlemom  13318  0nninf  17047  nnsf  17048  peano4nninf  17049  nninfsellemdc  17053  nninfsellemsuc  17055  nninfself  17056  nninfsellemeqinf  17059  nnnninfex  17065