ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2 GIF version

Theorem peano2 4509
Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
peano2 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2697 . 2 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ V)
2 simpl 108 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}) → 𝐴 ∈ V)
3 eleq1 2202 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑧𝐴𝑧))
4 suceq 4324 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → suc 𝑥 = suc 𝐴)
54eleq1d 2208 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (suc 𝑥𝑧 ↔ suc 𝐴𝑧))
63, 5imbi12d 233 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑧 → suc 𝑥𝑧) ↔ (𝐴𝑧 → suc 𝐴𝑧)))
76adantl 275 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((𝑥𝑧 → suc 𝑥𝑧) ↔ (𝐴𝑧 → suc 𝐴𝑧)))
8 df-clab 2126 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} ↔ [𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦))
9 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 ((∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦) → ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)
10 df-ral 2421 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑥(𝑥𝑦 → suc 𝑥𝑦))
119, 10sylib 121 . . . . . . . . . . 11 ((∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦) → ∀𝑥(𝑥𝑦 → suc 𝑥𝑦))
1211sbimi 1737 . . . . . . . . . 10 ([𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦) → [𝑧 / 𝑦]∀𝑥(𝑥𝑦 → suc 𝑥𝑦))
13 sbim 1926 . . . . . . . . . . . 12 ([𝑧 / 𝑦](𝑥𝑦 → suc 𝑥𝑦) ↔ ([𝑧 / 𝑦]𝑥𝑦 → [𝑧 / 𝑦]suc 𝑥𝑦))
14 clelsb4 2245 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝑧 / 𝑦]𝑥𝑦𝑥𝑧)
15 clelsb4 2245 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝑧 / 𝑦]suc 𝑥𝑦 ↔ suc 𝑥𝑧)
1614, 15imbi12i 238 . . . . . . . . . . . 12 (([𝑧 / 𝑦]𝑥𝑦 → [𝑧 / 𝑦]suc 𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑧 → suc 𝑥𝑧))
1713, 16bitri 183 . . . . . . . . . . 11 ([𝑧 / 𝑦](𝑥𝑦 → suc 𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑧 → suc 𝑥𝑧))
1817sbalv 1980 . . . . . . . . . 10 ([𝑧 / 𝑦]∀𝑥(𝑥𝑦 → suc 𝑥𝑦) ↔ ∀𝑥(𝑥𝑧 → suc 𝑥𝑧))
1912, 18sylib 121 . . . . . . . . 9 ([𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦) → ∀𝑥(𝑥𝑧 → suc 𝑥𝑧))
208, 19sylbi 120 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} → ∀𝑥(𝑥𝑧 → suc 𝑥𝑧))
212019.21bi 1537 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} → (𝑥𝑧 → suc 𝑥𝑧))
2221adantl 275 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}) → (𝑥𝑧 → suc 𝑥𝑧))
23 nfv 1508 . . . . . . 7 𝑥 𝐴 ∈ V
24 nfv 1508 . . . . . . . . 9 𝑥∅ ∈ 𝑦
25 nfra1 2466 . . . . . . . . 9 𝑥𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦
2624, 25nfan 1544 . . . . . . . 8 𝑥(∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)
2726nfsab 2131 . . . . . . 7 𝑥 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}
2823, 27nfan 1544 . . . . . 6 𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)})
29 nfcvd 2282 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}) → 𝑥𝐴)
30 nfvd 1509 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}) → Ⅎ𝑥(𝐴𝑧 → suc 𝐴𝑧))
312, 7, 22, 28, 29, 30vtocldf 2737 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}) → (𝐴𝑧 → suc 𝐴𝑧))
3231ralrimiva 2505 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} (𝐴𝑧 → suc 𝐴𝑧))
33 ralim 2491 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} (𝐴𝑧 → suc 𝐴𝑧) → (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}𝐴𝑧 → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}suc 𝐴𝑧))
34 elintg 3779 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (𝐴 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}𝐴𝑧))
35 sucexg 4414 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → suc 𝐴 ∈ V)
36 elintg 3779 . . . . . . 7 (suc 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}suc 𝐴𝑧))
3735, 36syl 14 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}suc 𝐴𝑧))
3834, 37imbi12d 233 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → ((𝐴 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} → suc 𝐴 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}𝐴𝑧 → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}suc 𝐴𝑧)))
3933, 38syl5ibr 155 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} (𝐴𝑧 → suc 𝐴𝑧) → (𝐴 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} → suc 𝐴 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)})))
4032, 39mpd 13 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} → suc 𝐴 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}))
41 dfom3 4506 . . . 4 ω = {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}
4241eleq2i 2206 . . 3 (𝐴 ∈ ω ↔ 𝐴 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)})
4341eleq2i 2206 . . 3 (suc 𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)})
4440, 42, 433imtr4g 204 . 2 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω))
451, 44mpcom 36 1 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wal 1329   = wceq 1331  wcel 1480  [wsb 1735  {cab 2125  wral 2416  Vcvv 2686  c0 3363   cint 3771  suc csuc 4287  ωcom 4504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-int 3772  df-suc 4293  df-iom 4505
This theorem is referenced by:  peano5  4512  limom  4527  peano2b  4528  nnregexmid  4534  omsinds  4535  freccllem  6299  frecfcllem  6301  frecsuclem  6303  frecrdg  6305  nnacl  6376  nnacom  6380  nnmsucr  6384  nnsucsssuc  6388  nnaword  6407  1onn  6416  2onn  6417  3onn  6418  4onn  6419  nnaordex  6423  php5  6752  phplem4dom  6756  php5dom  6757  phplem4on  6761  dif1en  6773  findcard  6782  findcard2  6783  findcard2s  6784  infnfi  6789  unsnfi  6807  omp1eomlem  6979  ctmlemr  6993  infnninf  7022  nnnninf  7023  frec2uzrand  10185  frecuzrdgsuc  10194  frecuzrdgsuctlem  10203  frecfzennn  10206  hashunlem  10557  ennnfonelemk  11920  ennnfonelemg  11923  ennnfonelemkh  11932  ennnfonelemhf1o  11933  ennnfonelemex  11934  ennnfonelemrn  11939  ennnfonelemnn0  11942  ctinfomlemom  11947  0nninf  13211  nnsf  13213  peano4nninf  13214  nninfalllemn  13216  nninfsellemdc  13220  nninfsellemsuc  13222  nninfself  13223  nninfsellemeqinf  13226
  Copyright terms: Public domain W3C validator