Theorem peano2 4595

Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
peano2	⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2749	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ V)
2		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}) → 𝐴 ∈ V)
3		eleq1 2240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝐴 ∈ 𝑧))
4		suceq 4403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → suc 𝑥 = suc 𝐴)
5	4	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (suc 𝑥 ∈ 𝑧 ↔ suc 𝐴 ∈ 𝑧))
6	3, 5	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ (𝐴 ∈ 𝑧 → suc 𝐴 ∈ 𝑧)))
7	6	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ (𝐴 ∈ 𝑧 → suc 𝐴 ∈ 𝑧)))
8		df-clab 2164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ↔ [𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦))
9		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)
10		df-ral 2460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → suc 𝑥 ∈ 𝑦))
11	9, 10	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → suc 𝑥 ∈ 𝑦))
12	11	sbimi 1764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → [𝑧 / 𝑦]∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → suc 𝑥 ∈ 𝑦))
13		sbim 1953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([𝑧 / 𝑦](𝑥 ∈ 𝑦 → suc 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ ([𝑧 / 𝑦]𝑥 ∈ 𝑦 → [𝑧 / 𝑦]suc 𝑥 ∈ 𝑦))
14		clelsb2 2283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝑧 / 𝑦]𝑥 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑧)
15		clelsb2 2283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝑧 / 𝑦]suc 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ suc 𝑥 ∈ 𝑧)
16	14, 15	imbi12i 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (([𝑧 / 𝑦]𝑥 ∈ 𝑦 → [𝑧 / 𝑦]suc 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧))
17	13, 16	bitri 184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([𝑧 / 𝑦](𝑥 ∈ 𝑦 → suc 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧))
18	17	sbalv 2005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([𝑧 / 𝑦]∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → suc 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧))
19	12, 18	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ ([𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧))
20	8, 19	sylbi 121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧))
21	20	19.21bi 1558	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} → (𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧))
22	21	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}) → (𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧))
23		nfv 1528	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ V
24		nfv 1528	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∅ ∈ 𝑦
25		nfra1 2508	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦
26	24, 25	nfan 1565	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)
27	26	nfsab 2169	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}
28	23, 27	nfan 1565	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)})
29		nfcvd 2320	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}) → Ⅎ𝑥𝐴)
30		nfvd 1529	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}) → Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ 𝑧 → suc 𝐴 ∈ 𝑧))
31	2, 7, 22, 28, 29, 30	vtocldf 2789	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}) → (𝐴 ∈ 𝑧 → suc 𝐴 ∈ 𝑧))
32	31	ralrimiva 2550	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} (𝐴 ∈ 𝑧 → suc 𝐴 ∈ 𝑧))
33		ralim 2536	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} (𝐴 ∈ 𝑧 → suc 𝐴 ∈ 𝑧) → (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}𝐴 ∈ 𝑧 → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}suc 𝐴 ∈ 𝑧))
34		elintg 3853	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}𝐴 ∈ 𝑧))
35		sucexg 4498	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → suc 𝐴 ∈ V)
36		elintg 3853	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}suc 𝐴 ∈ 𝑧))
37	35, 36	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}suc 𝐴 ∈ 𝑧))
38	34, 37	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} → suc 𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}𝐴 ∈ 𝑧 → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}suc 𝐴 ∈ 𝑧)))
39	33, 38	imbitrrid 156	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} (𝐴 ∈ 𝑧 → suc 𝐴 ∈ 𝑧) → (𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} → suc 𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)})))
40	32, 39	mpd 13	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} → suc 𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}))
41		dfom3 4592	. . . 4 ⊢ ω = ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}
42	41	eleq2i 2244	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)})
43	41	eleq2i 2244	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)})
44	40, 42, 43	3imtr4g 205	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω))
45	1, 44	mpcom 36	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1351   = wceq 1353  [wsb 1762   ∈ wcel 2148  {cab 2163  ∀wral 2455  Vcvv 2738  ∅c0 3423  ∩ cint 3845  suc csuc 4366  ωcom 4590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-uni 3811  df-int 3846  df-suc 4372  df-iom 4591

This theorem is referenced by:  peano5  4598  limom  4614  peano2b  4615  nnregexmid  4621  omsinds  4622  freccllem  6403  frecfcllem  6405  frecsuclem  6407  frecrdg  6409  nnacl  6481  nnacom  6485  nnmsucr  6489  nnsucsssuc  6493  nnaword  6512  1onn  6521  2onn  6522  3onn  6523  4onn  6524  nnaordex  6529  php5  6858  phplem4dom  6862  php5dom  6863  phplem4on  6867  dif1en  6879  findcard  6888  findcard2  6889  findcard2s  6890  infnfi  6895  unsnfi  6918  omp1eomlem  7093  ctmlemr  7107  infnninf  7122  infnninfOLD  7123  nnnninf  7124  nnnninfeq  7126  nninfwlpoimlemg  7173  nninfwlpoimlemginf  7174  frec2uzrand  10405  frecuzrdgsuc  10414  frecuzrdgsuctlem  10423  frecfzennn  10426  hashunlem  10784  ennnfonelemk  12401  ennnfonelemg  12404  ennnfonelemkh  12413  ennnfonelemhf1o  12414  ennnfonelemex  12415  ennnfonelemrn  12420  ennnfonelemnn0  12423  ctinfomlemom  12428  0nninf  14756  nnsf  14757  peano4nninf  14758  nninfsellemdc  14762  nninfsellemsuc  14764  nninfself  14765  nninfsellemeqinf  14768