Theorem peano2 4594

Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
peano2	⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2748	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ V)
2		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}) → 𝐴 ∈ V)
3		eleq1 2240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝐴 ∈ 𝑧))
4		suceq 4402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → suc 𝑥 = suc 𝐴)
5	4	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (suc 𝑥 ∈ 𝑧 ↔ suc 𝐴 ∈ 𝑧))
6	3, 5	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ (𝐴 ∈ 𝑧 → suc 𝐴 ∈ 𝑧)))
7	6	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ (𝐴 ∈ 𝑧 → suc 𝐴 ∈ 𝑧)))
8		df-clab 2164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ↔ [𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦))
9		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)
10		df-ral 2460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → suc 𝑥 ∈ 𝑦))
11	9, 10	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → suc 𝑥 ∈ 𝑦))
12	11	sbimi 1764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → [𝑧 / 𝑦]∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → suc 𝑥 ∈ 𝑦))
13		sbim 1953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([𝑧 / 𝑦](𝑥 ∈ 𝑦 → suc 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ ([𝑧 / 𝑦]𝑥 ∈ 𝑦 → [𝑧 / 𝑦]suc 𝑥 ∈ 𝑦))
14		clelsb2 2283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝑧 / 𝑦]𝑥 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑧)
15		clelsb2 2283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝑧 / 𝑦]suc 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ suc 𝑥 ∈ 𝑧)
16	14, 15	imbi12i 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (([𝑧 / 𝑦]𝑥 ∈ 𝑦 → [𝑧 / 𝑦]suc 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧))
17	13, 16	bitri 184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([𝑧 / 𝑦](𝑥 ∈ 𝑦 → suc 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧))
18	17	sbalv 2005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([𝑧 / 𝑦]∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑦 → suc 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧))
19	12, 18	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ ([𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧))
20	8, 19	sylbi 121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧))
21	20	19.21bi 1558	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} → (𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧))
22	21	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}) → (𝑥 ∈ 𝑧 → suc 𝑥 ∈ 𝑧))
23		nfv 1528	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ V
24		nfv 1528	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∅ ∈ 𝑦
25		nfra1 2508	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦
26	24, 25	nfan 1565	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)
27	26	nfsab 2169	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}
28	23, 27	nfan 1565	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)})
29		nfcvd 2320	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}) → Ⅎ𝑥𝐴)
30		nfvd 1529	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}) → Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ 𝑧 → suc 𝐴 ∈ 𝑧))
31	2, 7, 22, 28, 29, 30	vtocldf 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}) → (𝐴 ∈ 𝑧 → suc 𝐴 ∈ 𝑧))
32	31	ralrimiva 2550	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} (𝐴 ∈ 𝑧 → suc 𝐴 ∈ 𝑧))
33		ralim 2536	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} (𝐴 ∈ 𝑧 → suc 𝐴 ∈ 𝑧) → (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}𝐴 ∈ 𝑧 → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}suc 𝐴 ∈ 𝑧))
34		elintg 3852	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}𝐴 ∈ 𝑧))
35		sucexg 4497	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → suc 𝐴 ∈ V)
36		elintg 3852	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}suc 𝐴 ∈ 𝑧))
37	35, 36	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}suc 𝐴 ∈ 𝑧))
38	34, 37	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} → suc 𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}𝐴 ∈ 𝑧 → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}suc 𝐴 ∈ 𝑧)))
39	33, 38	imbitrrid 156	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} (𝐴 ∈ 𝑧 → suc 𝐴 ∈ 𝑧) → (𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} → suc 𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)})))
40	32, 39	mpd 13	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} → suc 𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}))
41		dfom3 4591	. . . 4 ⊢ ω = ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}
42	41	eleq2i 2244	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)})
43	41	eleq2i 2244	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)})
44	40, 42, 43	3imtr4g 205	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω))
45	1, 44	mpcom 36	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1351   = wceq 1353  [wsb 1762   ∈ wcel 2148  {cab 2163  ∀wral 2455  Vcvv 2737  ∅c0 3422  ∩ cint 3844  suc csuc 4365  ωcom 4589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-uni 3810  df-int 3845  df-suc 4371  df-iom 4590

This theorem is referenced by:  peano5  4597  limom  4613  peano2b  4614  nnregexmid  4620  omsinds  4621  freccllem  6402  frecfcllem  6404  frecsuclem  6406  frecrdg  6408  nnacl  6480  nnacom  6484  nnmsucr  6488  nnsucsssuc  6492  nnaword  6511  1onn  6520  2onn  6521  3onn  6522  4onn  6523  nnaordex  6528  php5  6857  phplem4dom  6861  php5dom  6862  phplem4on  6866  dif1en  6878  findcard  6887  findcard2  6888  findcard2s  6889  infnfi  6894  unsnfi  6917  omp1eomlem  7092  ctmlemr  7106  infnninf  7121  infnninfOLD  7122  nnnninf  7123  nnnninfeq  7125  nninfwlpoimlemg  7172  nninfwlpoimlemginf  7173  frec2uzrand  10404  frecuzrdgsuc  10413  frecuzrdgsuctlem  10422  frecfzennn  10425  hashunlem  10783  ennnfonelemk  12400  ennnfonelemg  12403  ennnfonelemkh  12412  ennnfonelemhf1o  12413  ennnfonelemex  12414  ennnfonelemrn  12419  ennnfonelemnn0  12422  ctinfomlemom  12427  0nninf  14689  nnsf  14690  peano4nninf  14691  nninfsellemdc  14695  nninfsellemsuc  14697  nninfself  14698  nninfsellemeqinf  14701